2 3 1 Aritmeettinen jono jono jossa seuraava

2. 3. 1. Aritmeettinen jono -jono, jossa seuraava termi saadaan edellisestä lisäämällä sama luku a, a + d, a+2 d, a +3 d, … Aritmeettisessa jonossa kahden peräkkäisen termin erotus on aina vakio: Siis an+1 – an = d (vakio) Jonon yleinen termi: an = a + (n - 1)d missä a = jonon ensimmäinen termi d = erotusluku Aritmeettisen jonon ratkaiseminen Lasketaan kaavan an = a + (n - 1)d yhtälöstä kysytyn suureen (an, a, n tai d) arvo TAI ratkaistaan a ja d eo. yhtälöstä saatavan yhtälöparin avulla, sillä aritmeettinen jono on täsmälleen määrätty, jos tunnetaan a ja d.

E. 1. Mikä on aritmeettisen jonon 2, 5, 8, … sadas termi a=2 d = 5 - 2 =3 a 100 = 2 + (100 - 1) 3 = 299 E. 2. Määritä x siten, että jono x , x - 2, 2 x – 1, … on aritmeettinen (x – 2) – x = (2 x – 1) – (x – 2) -2 = x + 1 x = -3

E. 3. Luku 10 on aritmeettisen jonon …, 8, 10, … kahdeksas termi. Mikä on ensimmäinen termi? a 8 = 10 a + (8 -1) 2 = 10 a = -4 E. 4. Monesko termi on aritmeettisessa jonossa 1, 4, 7, … luku 1000? a=1 d=4– 1=3 1 + (n – 1) 3 = 1000 1 + 3 n – 3 = 1000 3 n = 1002 n = 334 an = a + (n - 1)d

E. 5. Aritmeettisen jonon kolmas termi on 12 ja yhdeksäs 30. Määritä jonon 10. termi. a 3 = a + (3 – 1) d a 9 = a + (9 – 1) d 6 d = 18 d=3 a=6 a 10 = 6 + (10 -1) 3 = 33 an = a + (n - 1)d

2. 3. 3. Aritmeettinen summa = summa, jonka yhteenlaskettavat muodostavat aritmeettisen jonon: Sn = a 1 + a 2 + a 3 + … + a n = missä (ak) on päättyvä aritmeettinen jono

ks. esimerkit 1 & 2 s. 94 - 95 EI KIRJOITETA Onko summa aritmeettinen 7 + 3 + (-1) + (-5) + (-9) 2 + 4 + 7 + 11 + 16 ak+1 – ak = (4(k+1) – 3 ) – (4 k – 3) = 4 k + 4 – 3 – 4 k + 3 = 4 on, k: stä riippumaton

Aritmeettisen summan kaava Sn = missä a 1 = ensimmäinen termi an = viimeinen termi n = termien lukumäärä

E. 6. Laske S 10, kun summa on 1 + 3 + 5 + … d=3– 1=2 a 10 = 1 + 9 2 = 19

E. 7. Laske kaikkien positiivisten alle 100 olevien 7: llä jaollisten kokonaislukujen summa. a 1 = 7 d = 7 an = 98 98 = 7 + (n – 1) 7 7 n = 98 n = 14

E. 8. Mistä n: n arvosta alkaen n: n ensimmäisen luonnollisen luvun summa on suurempi kuin 1000? a 1 = 1 d = 1 an = 1 + (n-1) 1 = n n + n 2 > 2000 n 2 + n – 2000 > 0 n 2 + n – 2000 = 0 RTK-kaavalla n 44, 2 (n -45, 2) V: n: n arvosta 45 alkaen

E. 9. Määritä aritmeettisen jonon a 1 ja d, kun a 4 = 9 ja S 9 = 99. a 1 = 9 – 3 d 18 d + 162 = 198 18 d = 36 d=2 a 1 sijoittamalla a 1 = 9 – 6 = 3 a 1 = 3, d = 2 Kirjan esimerkki 2 ja 4 sivut 97, 98

E. 2. s. 97 1. 9. 10 senttiä 2. 9. 20 senttiä Kuinka paljon syyskuun lopussa? Talletukset: aritmeettinen jono, a 1 = 10 d = 10 a 30 = 10 + (30 – 1) 10 = 300 (snt) V: 46, 50 € a 1, a 2, a 3, …, a 30 3. 9. 30 senttiä jne.

E. 4. s. 98 60 000 € lainaa / 15 vuotta Lainaa lyhennetään 2 krt / v maksaen joka kerta edellisen puolen vuoden korko Lyhennyseriä 15 2 = 30 Lyhennyserän suuruus = 60 000 / 30 = 2 000 (€) Jäljellä olevat lainamäärät: 60 000, 58 000, 56 000, …, 2000 Puolen vuoden korko 7, 5 / 2 = 3, 75 % Korot 1. 0, 0375 60 000 2. 0, 0375 58 000 3. 0, 0375 56 000 … 30. 0, 0375 2 000 Korot yhteensä 0, 0375 60 000 + 0, 0375 58 000 + … + 0, 0375 2 000 = 0, 0375(60 000 + 58 000 + … + 2000)

Summakaavojen todistaminen Aritmeettinen summa Johdanto S 7 = 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 S 7 = 19 + 16 + 13 + 10 + 7 + 4 + 1 2 S 7 = 20 + 20 + 20 2 S 7 = 7 20

Summakaavojen todistaminen Aritmeettinen summa Sn = a 1 + a 2 + … + an-1 Sn = a n + an-1 + … + a 2 + + an a 1 2 Sn = (a 1 +an) + (a 2 + an-1) +…. + (an-1+a 2) + (an +a 1) a 2 + an-1 = (a 1 + d) + (an – d) = a 1 + an

2. 4. 1. Geometrinen jono Jonon seuraava termi saadaan kertomalla edellinen termi samalla luvulla Määritelmä Jono (an) on geometrinen, jos kaikilla n: n arvoilla pätee, että an+1 / an = q = vakio, jonka arvo ei riipu n: stä E. 1. Voiko jono a) 3, 6, 12, 24, … b) -1, -8, -27, -81, … olla geometrinen a) Kyllä q=2 b) Ei

Lukujonon osoittaminen geometriseksi Lasketaan an+1 / an mielivaltaisella kohtaa n. Jos tämä arvo ei riipu kohdasta n, on jono geometrinen. E. 2. Osoita, että jono an = 4· 5 n on geometrinen n: stä riippumaton vakio, joten lukujono on geometrinen

Geometrisen jonon yleinen termi an an = aqn-1 missä a = jonon ensimmäinen termi q = suhdeluku Geometrisen jonon ratkaiseminen Lasketaan kaavan an = aqn-1 yhtälöstä kysytyn suureen (an, a, n tai q) arvo TAI ratkaistaan a ja q eo. yhtälöstä saatavan yhtälöparin avulla, sillä geometrinen jono on täsmälleen määrätty, jos tunnetaan a ja q.

E. 3. Mikä on geometrisen jonon 3, 6, 12, 24, … kymmenes termi? a=3 q=6/3=2 a 10 = 3 210 -1 = 1536

E. 4. Luku 8 on geometrisen jonon …, 4, 8, … kahdeksas termi. Mikä on ensimmäinen termi? q = 8/4 = 2 a 8 = 8 8 = a 27 a = 1/16 an = aqn-1

E. 5. Monesko termi on luku 1 geometrisessa jonossa 256, 128, 64, …? a = 256 q = 128/256 = ½ 1 = 256 (½)n-1 = 1/256 lg(½)n-1 = lg(1/256) TAI (½)n – 1 = (½)8 n – 1= 8 n=9 n - 1 = lg(1/256)/lg(½) n– 1=8 n=9 an = aqn-1

E. 6. Geometrisessa jonossa a 1 = 8 ja a 13 = 1/8. Mikä on jonon suhdeluku? 1/8 = 8 q 13 - 1 q 12 = 1/64 q= an = aqn-1

E. 7. Geometrisen jonon suhdeluku on ½ ja a 7 = 3. Mikä on jonon ensimmäinen termi? a = 192 an = aqn-1

E. 8. Geometrisen jonon a 3 = 6 ja a 7 = 24. Määritä a 1 ja q. an = aqn-1

E. 9. Määritä x siten, että jono x , x - 2, 2 x – 1, … on geometrinen. 2 x 2 – x = x 2 – 4 x +4 x 2 + 3 x – 4 = 0 Ratkaisukaavalla x = 1 tai x = -4 an = aqn-1

2. 4. 2. Geometrinen summa = on summa, jonka yhteenlaskettavat muodostavat geometrisen jonon Sn = a 1 + a 1 q 2 + … + a 1 qn-1 = missä (ak) on päättyvä geometrinen jono ks. E. 1. s. 106

EI KIRJOITETA Onko summa geometrinen a) 8 + 16 + 32 + 64 on b) k: sta riippumaton vakio on c) 4 + 6 + 9 + 13 ei

Geometrisen summan kaava Sn = kun q ≠ 1 Sn = kun q = 1 missä a = ensimmäinen yhteenlaskettava q = suhdeluku n = yhteenlaskettavien lkm

E. 10. Laske S 10 summasta 2 + 4 + 8 + … a=2 q=4: 2=2

E. 11. Geometrisessa summassa S 10 = 1000 ja q = 2. Mikä on ensimmäinen termi? a(1 – 210) = -1000 a = 1000/1023

E. 12. Montako termiä summan 5 + 10 + 20 + … alusta on otettava, jotta summa ylittäisi 5115? a=5 q=2 5(1 – 2 n) = -5115 1 – 2 n = -1023 -2 n = -1024 2 n = 210 n = 10 V: 11 termiä, jotta summa ylittäisi 5115

Ks. kirjan esimerkit 2 – 3, s. 108 - 109 1. 9. 10 senttiä 2. 9. a) Kuinka paljon 10: ssä päivässä 20 senttiä 3. 9. 40 senttiä jne. b) Kuinka paljon syyskuun lopussa? a = 10 q=2 a) n = 10 b) n = 30 V: 102, 30 € V: 107 374 182, 30 €

E. 3. Joka kuukauden alussa 500 euroa tilille Vuotuinen korko 3, 0 %. Korko tilille kuukausittain a) Kolmen vuoden kuluttua? b) Milloin 41 000 €? Korko kuukautta kohden 3/12 = 0, 25 % 1. talletus 500 1, 002536 (36 kuukautta tilillä) 2. talletus 500 1, 002535 (35 kuukautta tilillä) 500 1, 0025 (kuukauden tilillä) … viimeinen 3. vuoden kuluttua rahaa tilillä: 500 1, 002536 + 500 1, 002535 +…+500 1, 0025 = 500(1, 0025 + 1, 00252 +…+1, 002536 )

b) Säästämisaika n kuukautta 1. talletus 500 1, 0025 n 2. talletus 500 1, 0025 n-1 … Viimeinen 500 1, 0025 n + 500 1, 0025 n-1 +…+500 1, 0025 = 500(1, 0025 + 1, 00252 +…+1, 0025 n ) -200 500(1 - 1, 0025 n) = 41000 1 - 1, 0025 n = -82/401 -1, 0025 n = -483/401 1, 0025 n = 483 / 401 n = lg (483/401)/lg 1, 0025 74, 5