2 5 Lukujonon rajaarvo 2 5 1 Rajaarvon

2. 5. Lukujonon raja-arvo 2. 5. 1. Raja-arvon määritelmä Jono (an) suppenee kohti raja-arvoa a, jos sen termit an saadaan mielivaltaisen lähelle lukua a, kun n valitaan riittävän suureksi. Merkintä: TAI lim an = a TAI an ® a, kun n ® ¥ Lukujono hajaantuu, jos sillä ei ole raja-arvoa Jos raja-arvo olemassa, niin se on yksikäsitteinen eli lukujonolla voi olla vain yksi raja-arvo.

E. 1. Lukujonon raja-arvo on ½. Miten suuri on luvun n oltava, jotta termien arvot poikkeaisivat raja-arvosta vähemmän kuin 0, 001? 0, 008 n + 0, 01 > 1 0, 008 n > 0, 99 n > 123, 75 V: n: n arvosta 124 allkaen jonon termit poikkeavat raja-arvosta vähemmän kuin 0, 001

Raja-arvoja ks. esimerkki 1 s. 116 - 117

Laskusääntöjä lim an = a ja lim bn = b 1. lim (can) = ca 2. lim (an + bn) = a + b 3. lim (an - bn) = a - b 4. lim (an · bn) = a · b 5. lim (an / bn) = a / b , lim bn = b ¹ 0

Raja-arvot lasketaan, kuten vastaavien funktioiden raja-arvot. 1) ”polynomi : polynomi” Supista, nimittäjän korkeimmalla n: n potenssilla. Tällöin äärettömyyteen menevät termit ovat nimittäjässä ja näiden termien rajaarvo on nolla. 2) ”juuri – juuri” Lavenna lausekkeella ”juuri + juuri”, pääset tilanteeseen ääretön : ääretön. Supista sitten nimittäjän korkeimmalla potenssilla. HUOM:

E. 2. Laske lukujonojen raja-arvot

E. 3. Laske lukujonon raja-arvo

2. 5. 3. Monotonisen jonon suppeneminen Jos jono on alhaalta rajoitettu ja jono on vähenevä niin jono suppenee. Jos jono on ylhäältä rajoitettu ja jono on kasvava, niin jono suppenee. E. 4. Osoita, että lukujono suppenee. >0 => an+1 > an x. Lukujono an on aidosti kasvava

Lukujono ylhäältä rajoitettu Koska lukujono on kasvava ja ylhäältä rajoitettu, niin se suppenee.

2. 5. 4. Geometrisen jonon suppeneminen Geometrinen jono an = aqn-1 (a ≠ 0) suppenee, jos -1 < q 1 Jos -1 < q < 1 niin lim aqn-1 = 0 Jos q = 1 jono on vakiojono a, a, a, … ja lim an = a Muulloin jono hajaantuu.

E. 5. Suppeneeko jono a) 1, 2, 4, 8, … b) 8, 4, 2, 1, … c) 2, -6, 18, -54, … d) 1, -1, … a) q = 2 : 1 = 2, ei suppene b) q = 4 : 8 = ½, suppenee c) q = -6 : 2 = -3, ei suppene d) q = -1, ei suppene

E. 6. Millä x: n arvoilla geometrinen jono a) 1, (x - 1)2, … b) 2, (3 x - 4), … suppenee? Geometrinen jono suppenee, kun -1 < q 1 a) b)

Jono heilahtelee rajoitetusti esim. silloin kun joka toinen termi lähestyy lukua a ja joka toinen lukua b, missä a ¹ b Jono heilahtelee rajatta esim. silloin kun joka toinen termi lähestyy + ¥ ja joka toinen lähestyy - ¥ (tai jotain äärellistä lukua a)