1 1 Itseisarvo luvun etisyys nollasta E 2

1. 1. Itseisarvo * luvun etäisyys nollasta E. 2. Poista itseisarvot E. 3. a) lausekkeesta = x 2 x– 1≥ 0 = 3 x 2 + 1 b) x≥ 1 koska 3 x 2 + 1 ≥ 0 + 1 > 0

1. 1. 3. Itseisarvofunktio E. 7. Piirrä funktion kuvaaja x -3 -2 -1 0 1 abs

1. 2. Itseisarvoyhtälöt 1) E. 2. x +1 = 3 tai x+1 = -3 x = 3 -1 tai x = -3 - 1 x=2 tai x = -4

2) x 0 x - 1 = 2 x tai x - 1 = -2 x x - 2 x = 1 tai x +2 x = 1 -x = 1 tai 3 x = 1 x = -1 tai Vastaus: x = 1/3 x =1/3

4) E. 4. (x - 6)2 = (2 x)2 x 2 – 12 x + 36 = 4 x 2 x - 6 = 2 x tai x - 2 x = 6 tai -x = 6 tai x = -6 tai x - 6 = -2 x x +2 x = 6 3 x 2 + 12 x - 36 = 0 x 2 + 4 x – 12 = 0 3 x = 6 | : 3 x=2 Vastaus: x 1 = -6, x 2 = 2 Vastaus: x 1 = -2, x 2 = -6

E. 1. E. 2. | 3 x + 12 | < 3 -3 < 3 x + 12 < 3 -15 < 3 x < -9 -5 < x < -3 | 3 x -7 | > 2 3 x - 7 > 2 tai 3 x - 7 < -2 3 x > 9 tai 3 x < 5 x>3 tai x < 5/3

2. E. 3. (46 a) E. 4. (46 b)

3. E. 5. Nollakohdat:

Pisteen P(x, y) etäisyys x- tai y-akselista xy-koodinaatistossa Etäisyys x-akselista = | y |. Etäisyys y-akselista = | x | E. 1. Mikä on pisteen (4, -5) etäisyys a) x-akselista b) y-akselista c) origosta? a) |-5| = 5 b) |4| = 4 |-5| = 5 c) |4| = 4

Janan pituus yleisesti P 1 P 2 = P 1= (x 1, y 1) P 2= (x 2, y 2) E. 2. Mikä on pisteiden a) (2, 3) ja (5, -1) etäisyys =5

Janan keskipiste Pisteiden (x 1, y 1) ja (x 2, y 2) välisen janan keskipiste on E. 3. Laske janan keskipisteet, kun päätepistee ovat (4, 0) ja (-2, -8) = (1, -4)

Tutkiminen, onko piste jollakin yhtälön avulla määritellyllä käyrällä E. 4. Onko piste (3½, 4) suoralla y = 2 x - 3? 4 = 2 3½ - 3 4=4 tosi V: Piste on suoralla E. 5. Mikä on a, kun piste (2, 3) on käyrällä 3 x - ay + 6 = 0? 3 2 – 3 a + 6 = 0 6 – 3 a + 6 = 0 -3 a = -12 a=4

2. 2 Suora y = kx + b 2. 2. 1 Suoran piirtäminen y = 2 x + 4 E. 1. Piirrä suora y = 2 x + 4 TAPA I x y -1 2 (-1) + 4 = 2 0 4 1 6 . TAPA II Koordinaattiakselien leikkauspisteet: y-akseli, x = 0: y = 2 0 + 4 = 4 x-akseli, y = 0: 0 = 2 x + 4 2 x = - 4 x = -2

KULMAKERROIN x 1 ≠ x 2 E. 3. Määritä pisteiden (1, 2) ja (3, 8) kautta kulkevan suoran kulmakerroin

2. 2. 3 Suoran suuntakulma

E. 4. Mikä on suoran kulmakerroin , kun suuntakulma on a) 45° b) - 30 ° a) k = tan 45° = 1 b) k = tan -30° = -tan 30°= E. 5. Mikä on suoran suuntakulma, kun kulmakerroin on 2 tan = 2 63, 4 E. 6. Mikä on suoran y = 4 x + 5 suuntakulma? k=4 tan = 4 76, 0

y - y 0 = k(x - x 0) missä (x 0, y 0) suoralla oleva piste ja k suoran kulmakerroin Jos suoralla ei ole kulmakerrointa, niin suora on y-akselin suuntainen ja sen yhtälö on x = x 0

E. 1. Kulmakerroin on 4 E. 2. Mikä on pisteiden (2, -3) ja (5, 1) kulkevan suoran yhtälö? suoralla on piste (2, -3). Mikä on suoran yhtälö? y - (-3) = 4(x - 2) y + 3 = 4 x - 8 y = 4 x - 8 -3 y = 4 x - 11 y – y 0 = k(x – x 0)

E. 1. Missä pisteessä -3 x + 4 y = 12 leikkaa koordinaattiakselit? Suoran ja x-akselin leikkauspiste: Suoran ja y-akselin leikkauspiste: y=0: x=0: -3 x + 4 0 = 12 -3 0 + 4 y = 12 -3 x = 12 |: (-3) 4 y = 12 x = -4 y=3 V: (-4, 0) V: (0, 3) |: 4

Kirjan E. 2. – s. 53 Määritä sen suoran yhtälö, joka on suoran 2 x – 3 y + 5 = 0 suuntainen ja kulkee pisteen (-2, 3) kautta. 2 x – 3 y + 5 = 0 TAI 2 x – 3 y + c = 0 sijoitus -4 – 9 + c = 0 c = 13 2 x – 3 y + 13 = 0

E. 1. Määritä suoran y = 3 x + 4 suuntaisten suorien parvi. y = 3 x + c E. 3. Muodosta pisteen (2, 3) kautta kulkevien suorien parvi. y – 3 = k(x – 2) tai x = 2 y = kx – 2 k + 3 tai x = 2 E. 4. Määritä suoran yhtälö, kun se on suoran 2 x+ 3 y + 4= 0 suuntainen ja se kulkee pisteen (7, -8) kautta 2 x + 3 y + c = 0 2 7 + 3 (-8) + c = 0 c = 10 V: 2 x + 3 y + 10 = 0

E. 1. Mikä on pisteen a) (1, 2) etäisyys suorasta y = 4? b) (5, 6) etäisyys suorasta x = -3? a) d = | 2 - 4 | = 2 b) d = | 5 – (-3) | = 8 Etäisyyden laskeminen yleisesti jostakin suorasta Suoran yhtälö on oltava yleisessä muodossa ax + by + c = 0 ja olkoon piste (x 0, y 0) (a ≠ 0 tai b ≠ 0) E. 2. Laske pisteen (1, 2) etäisyys suorasta 3 x - 4 y = 5 3 x – 4 y – 5 = 0 *******

E. 1. Tutki suorien y = 3 x - 4 , 6 x + 2 y = 3 ja 6 x - 2 y + 3 = 0 yhdensuuntaisuutta E. 2. Mikä on pisteen (1, 2) kautta kulkevan, suoran y = 3 x + 4 suuntaisen suoran yhtälö? y = 3 x – 4 k 1 = 3 6 x + 2 y = 3 2 y = -6 x + 3 y = -3 x + 3/2 k 2 =. 3 6 x - 2 y + 3 = 0 -2 y = -6 x – 3 y = 3 x + 3/2 k 3 = 3 V: Suorat y = 3 x – 4 ja 6 x + 2 y = 3 ovat yhdensuuntaisia k=3 y – y 0 = k(x – x 0) y – 2 = 3(x – 1) y – 2 = 3 x – 3 y = 3 x - 1

TAI Mikä on pisteen (1, 2) kautta kulkevan, suoran y = 3 x + 4 suuntaisen suoran yhtälö? 3 x – y + 4 = 0 Kuten edellä… TAI 3 x – y + c = 0 3 1– 2+c=0 c = -1 3 x – y – 1 = 0

3. 1. 2. Suorien kohtisuoruus E. 1. Mikä on normaalin kulmakerroin, kun suoran kulmakerroin on a) k = 3 b) -4 E. 2. Tutki suorien L 1: y = 2 x + 3 , L 2: y = ½x - 1 ja L 3: y = -½x + 2 kohtisuoruutta. k 1 = 2 k 2 = ½ k 3 = -½ L 1 L 3, koska k 1 k 3 = 2 (-½)= -1 E. 3. Laske pisteen (1, 2) kautta kulkevan suoran y = 2 x + 3 normaalin yhtälö. k=2 y - 2 = -½(x - 1) y – 2 = -½x + ½ y = -½x + 2½

3. 1. 3 SUORIEN VÄLINEN KULMA Olkoon y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2 = suorien välinen kulma Kun < 90 , niin

E. x. (t. 198) Laske suorien a) 2 x – 8 y + 1 = 0 ja 2 x + y – 2 = 0

3. 2. 1 Suorien leikkauspiste E. 1. (t. 220) Laske suorien x + y + 2 =0, y = 2 x + 1 ja x – 2 = 0 rajoittaman kolmion ala. x + 2 x + 1 + 2 = 0 3 x = -3 x = -1 y = 2 (-1) + 1 = -1 2+y+2=0 y = -4 leikkauspiste B = (2, -4) y = 2 2 + 1 y=5 leikkauspiste C = (2, 5) A=

Kirjan E. 3. , s. 78

1) x + y = 1 E. 1. Missä sijaitsevat ne tason pisteet, joiden koordinaatit toteuttavat epäyhtälön x + y 1 2) y = -x + 1 3) Valitaan piste suoran yläpuolelta: (1, 2) Sijoitetaan piste yhtälöön: 1 + 2 = 3 ≥ 1, tosi 4) Valitaan piste suoran alapuolelta (0, 0) Sijoitetaan piste yhtälöön: 0 + 0 = 0 ≥ 1, epätosi 5) Vastaus: Epäyhtälö toteutuu suoralla x + y = 1 ja sen yläpuolella

E. 2. Piirrä epäyhtälöiden x 2, y 1, x+y 6 ja x +2 y 8 rajaama alue x 2 y 1

x+y 6 x+y = 6 y = -x + 6 Piste yläpuolelta: (5, 5) 5 + 5 = 10 > 6 tosi Piste alapuolelta: (0, 0) 0+0=0>6 epätosi

x +2 y 8 2 y = -x + 8 y = -0, 5 x + 4 Piste yläpuolelta: (4, 5) 4 + 2*5 = 14 > 8 tosi Piste alapuolelta: (0, 0) 0+0=0>8 epätosi

Yhdistetään tulokset x 2, y 1, x+y 6 x +2 y 8

E. 1. Ratkaise yhtälöpari | 2 y sijoittamalla | 1 3 + 4 y = 7 – 3 4 y = 4 9 x = 27 y=1 x=3 V: x = 3, y = 1 Tarkistus: 4 3 – 2 1 = 10 . /. 3+4 1=7 . /.

Ratkaise: E. 2. | 1 | (-1) 2 a - 4 b | 1 | (-1) 6 a -2 b = -4 = -12 Sijoittamalla 2 a - 4 0 = -4 2 a = -4 a= -2 10 b = 0 |: 10 V: a = -2, b = 0 ja c = -9 b=0 t a r k i s t u s c: 4 (-2) - 0 + c = -17 => c = -9

Kirjan esimerkki 2, sivu 96

3. 4. 3 Yhtälöitä vähemmän kuin tuntemattomia E. 1. (t. 260) Ratkaise yhtälöryhmät a) (-1) V: kaikki (x, y, z), joille x – 2 y + z – 3 = 0

b) 3 11 x x Sijoitus: 3(-z + 1) + y + 2 z = 5 -3 z + 3 + y + 2 z = 5 y=z+2 x = 1 – z, y = z +2, z R V: x = 1 – t, y = 2 + t, z = t, t R = -11 z + 11 | : 11 = -z + 1

c) (-1) V: Ei ratkaisua

3. 4. 3 Yhtälöitä enemmän kuin tuntemattomia E. 1. (t. 264) Ratkaise yhtälöryhmä Valitaan osaryhmä (-5) -18 x = 18 x = -1 5 x z: -z+3=0 7 x - 5 z - 3 = 0 5 (-1) – z = -3 z = -2 y: 3 (-1) + y – 2 (-2) – 4 = 0 y=3

Tutkittava toteuttaako, osaryhmän ratkaisu 4. yhtälön 5 x – 3 y – 4 z + 6 = 0 Sijoitus: 5 (-1) – 3 3 – 4 (-2) + 6 = 0 0=0 tosi V: Yhtälöryhmän ratkaisu x = -1, y = 3, z = -2 *******

4. 1 YMPYRÄ Yhtälö keskipistemuodossa (x - x 0)2 + (y - y 0)2 = r 2 , missä keskipiste on (x 0, y 0) ja säde on r. P 0(x 0, y 0) E. 1. Mikä on ympyrän yhtälö, kun K = (2, 3) ja r = 4 ? (x – 2)2 + (y – 3)2 = 42 (x – 2)2 + (y – 3)2 = 16 E. 2. Mikä on ympyrän (x - 1)2 + (y - 3)2 = 4 keskipiste ja säde? (1, 3) r=2

Yhtälön muodostamisia eri tilanteissa * Lasketaan annetuista tiedoista keskipiste ja säde. E. 3. Mikä on sen ympyrän yhtälö, jonka keskipiste on (2, 3) ja joka kulkee pisteen (5, -1) kautta? (x – 2)2 + (y – 3)2 = 52 (x – 2)2 + (y – 3)2 = 25 E. 4. Mikä on sen ympyrän yhtälö, jonka keskipiste on (3, -4) ja joka sivuaa y-akselia? r=3 (x – 3)2 + (y – (-4))2 = 32 (x – 3)2 + (y + 4)2 = 9

E. 5. Mikä on sen ympyrän yhtälö, jonka halkaisijan päätepisteet ovat ´ (1, 2) ja (-3, 4)?

4. 1. 2 Ympyrän yhtälö polynomimuodossa x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 E. 6. Esitä ympyrän (x - 1)2 + (y - 2)2 = 3 yleisessä muodossa. x 2 – 2 x + 1 + y 2 – 4 y + 4 = 3 x 2 + y 2 – 2 x – 4 y + 2 = 0 E. 7. Mikä on ympyrän x 2 + y 2 - 2 x + 4 y - 4 = 0 keskipiste ja säde? x 2 – 2 x + y 2 + 4 y = 4 x 2 – 2 x + 1+ y 2 +4 y + 4 = 4 + 1 + 4 (x – 1)2 + (y + 2)2 = 9 V: K = (1, -2) , r = 3

Yleisen yhtälön x 2 + y 2 + ax + by + b = 0 kuvaajat E. 8. Mikä on yhtälön a) x 2 + y 2 - 4 x + 8 y + 20 = 0 b) x 2 + y 2 - 10 x + 12 y + 62 = 0 kuvaaja? a) x 2 – 4 x + 4 + y 2 + 8 y + 16 = - 20 + 4 + 16 (x – 2)2 + (y + 4)2 = 0 Kuvaaja piste (2, -4) b) x 2 – 10 x + 25 + y 2 + 12 y + 36 = -62 + 25 + 36 (x – 5)2 +(y + 6)2 = -1 Ei kuvaajaa E. 9. Millä a: n arvoilla yhtälön x 2 + y 2 + 2 x - 4 y + a = 0 kuvaaja on ympyrä? x 2 +2 x + 1 + y 2 – 4 y + 4 = -a + 1 + 4 (x + 1)2 + (y – 2)2 = - a + 5 Ympyrä, jos -a+5>0 a<5

Suoran ja ympyrän leikkauspisteen laskeminen Ratkaistaan suoran ja ympyrän yhtälöiden muodostama yhtälöpari. E. 10. Laske suoran x - y = 4 ja ympyrän x 2 + y 2 = 16 leikkauspisteet. x 2 + (x – 4)2 = 16 x 2 + x 2 – 8 x + 16 = 16 2 x 2 – 8 x = 0 2 x(x – 4) = 0 x = 0 tai x– 4= 0 x=4 y sijoittamalla: y = 0 – 4 = -4 V: (0, -4) ja (4, 0) y=4– 4=0

E. 11. Laske ympyröiden x 2 + y 2 = 5 ja x 2 + y 2 - 2 x - 6 y + 5 = 0 leikkauspisteet. (-1) 2 x + 6 y – 5 = 5 2 x + 6 y = 10 Ratkaisukaavalla: y 1 = 1 y 2 = 2 x 1 = -3 1 + 5 = 2 x 2 = -3 2 + 5 = -1 V: (2, 1) , (-1, 2)

4. 1. 3 Ympyrän sekantti ja tangentti Sekantti = suora, jolla on ympyrän kanssa kaksi yhteistä pistettä Tangentti = suora, jolla yksi yhteinen piste ympyrän kanssa * tangentti on kohtisuorassa sivuamispisteen kautta kulkevaa sädettä vastaan * keskipiste on säteen etäisyydellä tangentista

E. 12. Mikä on ympyrän (x - 1)2 + (y - 2)2 = 10 pisteeseen (4, 3) piirretyn tangentin yhtälö? Piste (4, 3) on ympyrällä, sillä (4 – 1)2 + (3 – 2)2 = 10 (x 0, y 0) = (1, 2) Ympyrän keskipisteen (1, 2) ja pisteen (4, 3) määräämän suoran kulmakerroin: tangentin yhtälö: y - 3 = -3(x – 4) 3 x + y – 15 = 0

E. 13. Mikä on ympyrän x 2 + y 2 = 5 sen tangentin yhtälö, joka on suoran y = 2 x suuntainen? K = (0, 0) tangentin yhtälö y = 2 x + c 2 x – y + c = 0 V: y = 2 x c

E. 14. Laske pisteen (0, -5) kautta kulkevien ympyrän x 2 + y 2 = 5 tangenttien yhtälöt 02 + (-5)2 = 25 > 5, joten piste suoran ulkopuolella tangentti kulkee pisteen (0, -5) kautta, joten sen yhtälö on y + 5 = k(x – 0) kx – y – 5 = 0 x 0, y 0 = (0, 0) ja säde Keskipiste säteen etäisyydellä tangentista: 2 x – y – 5 = 0 -2 x – y – 5 = 0 2 x + y + 5 = 0

Huippumuotoinen yhtälö, kun paraabelin akseli y-akselin suuntainen Yhtälön y - y 0 = a(x - x 0)2 kuvaaja on paraabeli, jonka huippu on pisteessä (x 0, y 0) ja joka on yhtenevä paraabelin y = ax 2 kanssa akseli on y-akselin suuntainen, x = x 0

E. 1. Esitä huippumuodossa yhtälö paraabelille a) y = x 2 + 3 b) y = x 2 + 2 x a) y – 3 = x 2 y – 3 = (x – 0)2 b) y = x 2 + 2 x y + 1 = x 2+ 2 x + 1 y + 1 = (x + 1)2

Huipun laskeminen Sievennä yhtälö huippumuotoon ja katso siitä huippu. E. 2. Laske paraabelin y = x 2 - 4 x + 5 huippu y – 5 = x 2 – 4 x y – 5 + 4 = x 2 – 4 x + 4 y – 1 = (x – 2)2 Huippu pisteessä (2, 1) Jos paraabeli leikkaa x-akselin, niin huippu voidaan laskea myös paraabelin ja x -akselin leikkauspisteiden avulla: x 0 on leikkauspisteiden keskiarvo y 0 saadaan sijoittamalla paraabelin yhtälöön

Suoran ja paraabelin leikkauspisteen laskeminen E. 3. Laske paraabelin y = x 2 - 2 x - 3 ja suoran y = x - 5 leikkauspisteet. y sijoittamalla: y 1 = 2 – 5 = -3 y 2 = 1 – 5 = -4 V: (2, -3) ja (1, - 4) x 1 = 2 , x 2 = 1

Paraabelin tangentin laskeminen E. 4. Mikä on a, kun suora y = x + a sivuaa paraabelia y = x 2 - 3 x + 1? D = (-4)2 – 4 1 (1 – a) = 16 – 4 + 4 a = 12 + 4 a D = 0: 12 + 4 a = 0 4 a = -12 a = -3 V: y = x - 3