1 1 Captulo tres Descripcin de los datos

1 -1 Capítulo tres Descripción de los datos: medidas de ubicación OBJETIVOS Al terminar este capítulo podrá: UNO Calcular la media aritmética, mediana, moda, media ponderada y media geométrica. DOS Explicar las características, utilización, ventajas y desventajas de cada medida de ubicación. TRES Identificar la posición de la media aritmética, la mediana, y la moda, tanto para distribuciones simétricas como asimétricas o sesgadas. © 2001 Alfaomega Grupo Editor

3 -2 Media de la población • Para datos no agrupados, la media de la población es la suma de todos los valores en ella dividida entre el total de valores en la población: • • donde µ representa la media de la población. N es el número total de elementos en la población. X representa cualquier valor en particular. indica la operación de sumar. © 2001 Alfaomega Grupo Editor

3 -3 EJEMPLO 1 • Parámetro: una característica de una población. • La familia Kiers posee cuatro carros. Los datos son las millas recorridas por cada uno: 56 000, 23 000, 42 000 y 73 000. Encuentre el promedio de millas de los cuatro carros. • Esto es (56 000 + 23 000 + 42 000 + 73 000)/4 = 48 500 © 2001 Alfaomega Grupo Editor

3 -4 Media de una muestra • Para datos no agrupados, la media de una muestra es la suma de todos los valores divididos entre el número total de los mismos: • donde X denota la media muestral • n es el número total de valores en la muestra. © 2001 Alfaomega Grupo Editor

3 -5 EJEMPLO 2 • Dato estadístico: una característica de una muestra. • Una muestra de cinco ejecutivos recibió la siguiente cantidad en bonos el año pasado: $14 000, $15 000, $17 000, $16 000 y $15 000. Encuentre el promedio en bonos para los cinco ejecutivos. • Como estos valores representan la muestra de 5 ejecutivos, la media de la muestra es (14 000 + 15 000 + 17 000 + 16 000 + 15 000) / 5 = $15 400. © 2001 Alfaomega Grupo Editor

3 -6 Propiedades de la media aritmética • Todo conjunto de datos de nivel de intervalo y de nivel de razón tiene un valor medio. • Al evaluar la media se incluyen todos los valores. • Un conjunto de valores sólo tiene una media. • La cantidad de datos a evaluar rara vez afecta la media. • La media es la única medida de ubicación donde la suma de las desviaciones de cada valor con respecto a la media, siempre es cero. © 2001 Alfaomega Grupo Editor

3 -7 EJEMPLO 3 • Considere el conjunto de valores: 3, 8 y 4. La media es 5. Para ilustrar la quinta propiedad, (3 - 5) + (8 - 5) + (4 - 5) = - 2 + 3 - 1 = 0. En otras palabras, © 2001 Alfaomega Grupo Editor

3 -8 Media ponderada • La media ponderada de un conjunto de números X 1, X 2, . . . , Xn, con las ponderaciones correspondientes w 1, w 2, . . . , wn, se calcula con la fórmula: © 2001 Alfaomega Grupo Editor

3 -9 EJEMPLO 6 • Durante un periodo de una hora en una tarde calurosa de un sábado, el cantinero Chris sirvió cincuenta bebidas. Calcule la media ponderada de los precios de las bebidas. (Precio ($), cantidad vendida): (. 50, 5), (. 75, 15), (. 90, 15), (1. 10, 15). • La media ponderada es: $(. 50 x 5 +. 75 x 15 +. 90 x 15 + 1. 10 x 15) / (5 + 15) = $43. 75/50 = $0. 875 © 2001 Alfaomega Grupo Editor

3 -10 Mediana • Mediana: es el punto medio de los valores después de ordenarlos de menor a mayor, o de mayor a menor. La misma cantidad de valores se encuentra por arriba de la mediana que por debajo de ella. • Nota: para un conjunto con un número par de números, la mediana será el promedio aritmético de los dos números medios. © 2001 Alfaomega Grupo Editor

3 -11 EJEMPLO 4 • Calcule la mediana para los siguientes datos. • La edad de una muestra de cinco estudiantes es: 21, 25, 19, 20 y 22. • Al ordenar los datos de manera ascendente quedan: 19, 20, 21, 22, 25. La mediana es 21. • La altura, en pulgadas, de cuatro jugadores de basquetbol es 76, 73, 80 y 75. • Al ordenar los datos de manera ascendente quedan: 73, 75, 76, 80. La mediana es 75. 5. © 2001 Alfaomega Grupo Editor

3 -12 Propiedades de la mediana • La mediana es única para cada conjunto de datos. • No se ve afectada por valores muy grandes o muy pequeños, y por lo tanto es una medida valiosa de tendencia central cuando ocurren. • Puede obtenerse para datos de nivel de razón, de intervalo y ordinal. • Puede calcularse para una distribución de frecuencias con una clase de extremo abierto, si la mediana no se encuentra en una de estas clases. © 2001 Alfaomega Grupo Editor

3 -13 Moda • La moda es el valor de la observación que aparece con más frecuencia. • EJEMPLO 5: las calificaciones de un examen de diez estudantes son: 81, 93, 84, 75, 68, 87, 81, 75, 81, 87. Como la calificación 81 es la que más ocurre, la calificación modal es 81. © 2001 Alfaomega Grupo Editor

3 -14 Media geométrica • La media geométrica (MG) de un conjunto de n números positivos se define como la raíz nésima del producto de los n valores. Su fórmula es: · La media geométrica se usa para encontrar el promedio de porcentajes, razones, índices o tasas de crecimiento. © 2001 Alfaomega Grupo Editor

3 -15 EJEMPLO 7 • Las tasas de interés de tres bonos son 5%, 7% y 4%. • La media geométrica es = 5. 192. • La media aritmética es (6 + 3 + 2)/3 = 5. 333. • La MG da una cifra de ganancia más conservadora porque no tiene una ponderación alta para la tasa de 7%. © 2001 Alfaomega Grupo Editor

3 -16 Media geométrica continuación • Otra aplicación de la media geométrica es determinar el porcentaje promedio del incremento en ventas, producción u otros negocios o series económicas de un periodo a otro. La fórmula para este tipo de problema es: © 2001 Alfaomega Grupo Editor

3 -17 EJEMPLO 8 • El número total de mujeres inscritas en colegios americanos aumentó de 755 000 en 1986 a 835 000 en 1995. • Aquí n = 10, así (n - 1) = 9. • Es decir, la media geométrica de la tasa de crecimiento es 1. 27%. © 2001 Alfaomega Grupo Editor

3 -18 Media de datos agrupados • La media de una muestra de datos organizados en una distribución de frecuencias se calcula mediante la siguiente fórmula: © 2001 Alfaomega Grupo Editor

3 -19 EJEMPLO 9 • Una muestra de diez cines en una gran área metropolitana dio el número total de películas exhibidas la semana anterior. Calcule la media de las películas proyectadas. © 2001 Alfaomega Grupo Editor

3 -20 EJEMPLO 9 61/10 = 6. 1 películas © 2001 Alfaomega Grupo Editor continuación

3 -21 Mediana de datos agrupados • La mediana de una muestra de datos organizados en una distribución de frecuencias se calcula mediante la siguiente fórmula: • Mediana = L + [(n/2 - FA)/f] (i) • donde L es el límite inferior de la clase que contiene a la mediana, FA es la frecuencia acumulada que precede a la clase de la mediana, f es la frecuencia de clase de la mediana e i es el intervalo de clase de la mediana. © 2001 Alfaomega Grupo Editor

3 -22 Cálculo de la clase de la mediana Para determinar la clase de la mediana de datos agrupados: • Elabore una distribución de frecuencias acumulada. • Divida el número total de datos entre 2. • Determine qué clase contiene este valor. Por ejemplo, si n=50, 50/2 = 25, después determine qué clase contiene el 25° valor (la clase de la mediana). © 2001 Alfaomega Grupo Editor

3 -23 EJEMPLO 10 • La clase de la mediana es 5 - 6, ya que contiene el 5° valor (n/2 = 5) © 2001 Alfaomega Grupo Editor

3 -24 EJEMPLO 10 continuación • De la tabla, L = 5, n = 10, f = 3, i = 2, FA = 3. • Así, mediana = 5 + [((10/2) - 4)/3](2) = 6. 33 © 2001 Alfaomega Grupo Editor

3 -25 Moda de datos agrupados • La moda de los datos agrupados se aproxima por el punto medio de la clase que contiene la frecuencia de clase mayor. • Las modas en el EJEMPLO 10 son 5. 5 y 9. 5. Cuando dos valores ocurren una gran cantidad de veces, la distribución se llama bimodal, como en el ejemplo 10. © 2001 Alfaomega Grupo Editor

3 -26 Distribución simétrica • sesgo cero © 2001 Alfaomega Grupo Editor moda = mediana = media

3 -27 Distribución con asimetría positiva • sesgo a la derecha: media y mediana se encuentran a la derecha de la moda. • moda < mediana < media © 2001 Alfaomega Grupo Editor

3 -28 Distribución con asimetría negativa • sesgo a la izquierda: media y mediana están a la izquierda de la moda. • media < mediana < moda © 2001 Alfaomega Grupo Editor

3 -29 NOTA • Si se conocen dos promedios de una distribución de frecuencias con sesgo moderado, el tercero se puede aproximar. • moda = media - 3(media - mediana) • media = [3(mediana) - moda]/2 • mediana = [2(media) + moda]/3 © 2001 Alfaomega Grupo Editor