Todennkisyyslaskentaa 1 Klassinen todennkisyys T 055403 1 1

Todennäköisyyslaskentaa 1. Klassinen todennäköisyys T 055403 1

1. 1 Yleistä n Todennäköisyyttä ilmenee - sääennustuksissa - teollisuusprosesseissa - tiedonsiirtojärjestelmissä - lähes kaikissa inhimillisissä toiminnoissa. T 055403 2

Edellä luetelluille tilanteille on ominaista, että usein ajatellaan ”sattuman” vaikuttavan asioiden kulkuun. n Tällaisia asioita voidaan tutkia ja analysoida matemaattisesti. n T 055403 3

n Todennäköisyyslaskenta ja tilastotiede perehtyvät em. kaltaisiin ilmiöihin. T 055403 4

1. 2 Klassinen todennäköisyys Alkeistapaus = yksittäisen kokeen eri tulokset n Otosavaruus = Kaikkien alkeistapausten joukko n Tapahtuma = Se alkeistapausten jouk -ko, josta ollaan kiinnostuneita. n T 055403 5

n Esimerkki 1. Tarkastellaan nopanheittotapahtumaa, kun noppaa heitetään kerran. Otosavaruus E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Tapahtuma A = ”saadaan parillinen luku” T 055403 6

n Otetaan käyttöön muutamia merkintöjä, jotta todennäköisyyden käsite voitaisiin määritellä: N(A) = suotuisten alkeistapausten lkm. N(E) = kaikkien alkeistapausten lkm. T 055403 7

n Todennäköisyys sille, että tapahtuma A sattuu, on T 055403 8

Esimerkki 2. Heitetään noppaa kerran. Millä todennäköisyydellä saadaan parillinen luku? n Esimerkki 3. Kahta noppaa heitetään kerran. Millä todennäköisyydellä pistelukujen summa on 8? n T 055403 9

1. 3 Tn-laskennan perussäännöt Mahdoton tapahtuma, jonka sattumisen todennäköisyys on 0. n Varma tapahtuma on tapahtuma, jonka todennäköisyys on 1. n Kaikkien tapahtumien todennäköisyydet ovat välillä [0, 1]. n T 055403 10

n n Esimerkki 4. (varma tapahtuma) Nopanheitossa saadaan yhdellä nopalla pisteluku 1, 2, 3, 4, 5 tai 6. Esimerkki 5. (mahdoton tapahtuma) Nopan pisteluku on 7. T 055403 11

Todennäköisyyslaskennan tärkeimpiä käsitteitä on komplementtitapahtuma. n Se tarkoittaa tapahtuman A vastatapahtumaa. Komplementtitapahtuman todennäköisyys on n T 055403 12

E E A A n Tapahtuma A n T 055403 Komplementtitapahtuma 13

n Esimerkki 6. Noppaa heitetään kerran. Millä todennäköisyydellä saadaan silmäluvuksi korkeintaan 4? Mikä on ko. tapahtuman vastatapahtuma ja kuinka suuri on sen todennäköisyys? T 055403 14