Sorozatok A diasorozat az Analzis 1 Mozaik Kiad

Sorozatok A diasorozat az Analízis 1. (Mozaik Kiadó 2005. ) c. könyvhöz készült. Készítette: Dr. Ábrahám István 1

Az ún. felsőbb matematika egyik alapfogalma, a határérték viszonylag könnyen megérthető a számsorozatok tanulmányozásával. A sorozat: valós számok egymásutánja. Például: A matematikában használatos a sorozat szó akkor is, amikor az elemek nem valós számok (algebrai kifejezések, függvények, stb. ). Mi most csak valós számsorozatokkal foglalkozunk. A sorozatot mindig végtelen sok elemből állónak értelmezzük. A végessok elemű sorozat az általános értelemben vett, tehát a végtelen sorozat része. A sorozat megadása Sorozatot megadni csak a sorozatképzés szabályának közlésével lehetséges! Végtelen sok elemet egymás után leírni (kimondani, feltüntetni) ugyanis lehetetlen, ehhez végtelen sok időre lenne szükség, tehát csak szabállyal tudunk sorozatot megadni! A sorozat megadható: 1. Szóbeli közléssel Például: A sorozatot az egész számok négyzetei alkotják. Ennek a sorozatnak az „eleje”: (0, 1, 4, 9, 16, …) 2. A sorozat egy részének konkrét megadásával Olyan részletet adunk meg a sorozatból, amelyen a szabályosság látszik, amely szerint folytatni tudnánk a többi elem felvételét. Például: (0; 2; 4; 6; 8, …). A felsorolás az egyes elemek megadásával is történhet: a 1=0, a 2=2, a 3=4 és így 2 tovább.

3. Képlettel Például a (0; 2; 4; 6; 8, …) sorozat megadható így is: a 1=0 és an=an-1+2. „A sorozat első tagja 0 és bármelyik tagot megkapjuk, ha az előtte lévőhöz 2 -t adunk. ” Ez a sorozat rekurzív („visszafutó”) megadási módja. (Viszonylag ritkán használjuk. ) Direkt képlet: a sorozat minden egyes tagjának értékét közvetlenül a tag sorszámával adjuk meg. Például a (0, 2, 4, 6, 8, …) sorozat esetén az általános tag a direkt képlettel: an=2 n– 2, ahol n N+. Vagy az sorozat általános eleme: A későbbiekben az n mindig pozitív egész, ezt külön nem jelöljük. Megjegyzések: 1. Ha csak an -t írunk, akkor egyetlen számot, a sorozatnak egyik (n értékétől függően bármelyik) tagját, az általános elemet adjuk meg. Például: az (1, 4, 9, 16, …) sorozat általános eleme: an=n 2. Ha a sorozat egészéről van szó, akkor a jelölésünk: (n 2), vagy (an=n 2), vagy (an). Ha viszont ennek a sorozatnak egy részéről beszélünk, például a (4, 9, 16, 25, 36) ötelemű részsorozatról, akkor ezt így jelöljük: 2. A matematikában élesen megkülönböztetjük a sorozat és a sor kifejezéseket. 3 Sorozat a számok egymásutánja. A sor formálisan az elemek összegét jelenti.

Például: az egy sorozat, amelynek általános eleme: Viszont az egy sor! A sorokkal a fejezet végén foglalkozunk. A sorozatok jellemzői 1. Monotonítás A monotonitás a sorozat tagjai között állandó, azonos jellegű nagyságviszonyt jelent. Például az sorozat minden tagja kisebb, mint az előtte lévő. Egy sorozat szigorúan monoton csökkenő, ha minden tagra: an+1 < an. A sorozat szigorúan monoton növekvő, ha minden tagra: an+1 > an. Példa: Az (an)=(n 2 )=(1, 4, 9, 16, …) sorozat szigorúan monoton növekvő. Vannak olyan sorozatok, ahol az „azonos jellegű nagyságviszony” egyenlőség is lehet. Példa: = (0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, …). (A sorozat tagjai: az n/3 szám egész része, azaz entier (antyié) n/3. ) A fenti sorozat monoton növekvő, tehát ekkor: an+1 an. Létezik monoton csökkenő sorozat is, például: (bn )=(–an )=( 0, 0, – 1, – 2, …). 4

Megjegyzések A csupa azonos számból álló sorozatot (ilyen is van!) egyszerre monoton növekvőnek és csökkenőnek mondjuk. A monotonitás a sorozat minden tagja közötti azonos jellegű nagyságviszonyt jelenti. Ha ez nem áll fenn, akkor a sorozat nem monoton. Például az an =sin(n· 1 o) (a sorozat általános tagja: „szinusz n-szer egy fok”) nem monoton. Ugyanis sorozat első 90 eleme a szigorúan monoton növekvő jellegű, de a következő 180 tagra a csökkenés érvényes. A szakaszonként más utasítással megadott („összefésült”) sorozat lehet monoton is, de lehet nem monoton is. Például: az Ugyanakkor a általános elemű sorozat monoton növekvő. általános tagú sorozat nem monoton. Hiszen: (bn )=(– 1/2, – 1, 1, 1, 1/2, 1/3, …) Igaz viszont, hogy az sorozat szigorúan monoton csökkenő. De a teljes (bn) sorozatra nem érvényes az „azonos jellegű nagyságviszony” feltétel. Így a (bn ) sorozat összességében nem monoton. 5

A monotonitás vizsgálata Tagadó értelemben egyszerű a dolgunk: ha akár egyetlen esetben találunk kivételt a tagok között az „azonos jellegű nagyságviszony” feltételre, akkor a sorozat nem monoton. A vizsgálatban az általános tag és a közvetlen szomszédja viszonyát nézzük meg. Például: az általános tagú sorozat esetén: Gyanítható a kiszámolt értékekből, hogy a sorozat növekvő. Vizsgáljuk általában az egymást követő tagokat: Az n+1 -edik tagot kiszámoljuk: így a reláció: Átalakítások után (szorzás, egyszerűsítés) kapjuk: 9>4, ami biztosan igaz. Így a kezdeti kérdőjeles reláció is biztosan igaz, mert az ekvivalens a 9>4 relációval. Tehát an+1>an minden n-re, azaz a sorozat szigorúan monoton nő. A monotonitás vizsgálható az an– an-1 különbséggel is. Ha ez pozitív minden n-re, akkor a sorozat szigorúan monoton nő, ha negatív, akkor sz. m. csökkenő. Pozitív tagú sorozatoknál az an+1 és az an hányadosával is vizsgálható a monotonitás. 6 Ha a hányados nagyobb 1 -nél, akkor növekvő, ha kisebb, akkor csökkenő a sorozat.

2. Korlátosság Ha a sorozat minden eleme két szám között található, akkor a sorozat korlátos. Például az általános tag esetén: sorozat minden eleme 0 és 1 közé esik. Így ez a sorozat korlátos. Emlékeztető: a sorozat maga: Ez most így is jelölhetjük: az alsó korlát: Ka=0, a felső: Kf =1. Ha a sorozat korlátos, akkor végtelen sok korlátja van, hiszen minden, az alsó korlátnál kisebb szám is alsó korlát, és minden a felső korlátnál nagyobb szám pedig felső korlát. Elnevezés: egy adott sorozatnál a felső korlátok közül a létező legkisebbet felső határnak vagy pontos felső korlátnak nevezzük. Hasonlóan: az alsó korlátok közül a létező legnagyobbat alsó határnak vagy pontos alsó korlátnak nevezzük. A későbbiekben korláton a pontos alsó, illetve felső korlátot értjük, ha külön másként nem fogalmazunk. A sorozatokat vizsgálni szoktuk korlátosság szempontjából is, ezt viszont általában célszerű összekötni a konvergencia vizsgálattal. 7

3. Konvergencia „Konvergencia: összetart, közös cél felé halad. ” A sorozatok közül néhánynál észre vehetjük, hogy a tagok egy vagy több szám körül sűrűsödnek, torlódnak, konvergálnak. Például: az sorozat tagjai n növelésével egyre közelebb kerülnek a nullához. A konvergencia, a sorozat határértéke fogalmának megértéséhez előkészületeket teszünk. Környezet Egy A szám (epszilon) sugarú környezetén értjük azokat a számokat, amelyeknek eltérése (a számegyenesen a távolságuk) A-tól kisebb, mint . ( >0, az távolság. ) Például: az A=8 -nak =4 sugarú környezetébe tartozik az egész számok közül az 5, 6; 7 és a 9; 10, 11. A valós számkörben viszont minden olyan x szám beletartozik ebbe a környezetbe, amely 8 -4=4 -nél nagyobb, és 8+4=12 -nél kisebb. Jelölések: felírható 4 és 12 közötti x-ekre: x ]8 -ε; 8+ε[, ahol ε=4. Ugyanez másképpen: 8 -ε< x <8+ε Illetve ugyanez újabb más alakban: |x– 8|< ε. Mindegyik írásmód azt fejezi ki, hogy az x-ek eltérése 8 -tól kisebb, mint ε=4. Definíció: az A szám ε > 0 környezetébe azok az x számok tartoznak, amelyekre: 8 |x–A|< ε.

Torlódási pont Az (an ) sorozatnak a T szám torlódási pontja, ha a T tetszőlegesen kicsi ε sugarú környezetében a sorozatnak végtelen sok eleme van. Például: az sorozatnak a 0 torlódási pontja. Ugyanis bármilyen kicsi ε értéket adunk meg, a sorozatnak végtelen sok eleme lesz a 0 ε sugarú környezetében. Más példa: a (bn )=((-1)n )=(-1, 1, -1, …) sorozatnak két torlódási pontja van, a – 1 és a 1. Hiszen e két szám akármilyen kicsi környezetében végtelen sok elem (– 1, vagy 1) található. Vagy: a (cn )=(n 2) sorozatnak nincs torlódási pontja. Lehet olyan ε értéket találni, hogy egyetlen szám ε környezetében sincs végtelen sok elem. A korlátosság és a torlódási pont létezése között szoros kapcsolat van. Ezt mutatja a: Bolzano-Weierstrass tétel: korlátos sorozatnak mindig van legalább 1 torlódási pontja. A bizonyítás alapgondolata: Ha az (an ) korlátos, akkor minden eleme két korlát, a Ka és a Kf között található. A két korlát által meghatározott intervallumot megfelezzük és azt a részt, amelyben a sorozatnak végtelen sok eleme van, újra felezzük és így tovább. A felezgetést (elvileg) „végtelenszer” megismételjük, ekkor a végtelen sok elemet tartalmazó 9 Intervallum ponttá zsugorodik, ez a torlódási pont.

A határérték Elnevezés: ha egy korlátos sorozatnak egyetlen torlódási pontja van, akkor azt a torlódási pontot határértéknek nevezzük. Példa: sorozat konvergens, mert korlátos, és egyetlen torlódási pontja van, a 0. De a (bn )=((– 1)n ) sorozat nem konvergens, mert bár korlátos, de két torlódási pontja van, a – 1 és a 1. Valamint: a (c n)=(n 2 ) sorozat nem konvergens, mert nem korlátos, hiszen bármilyen nagy tagjánál van nagyobb eleme és torlódási pontja sincs. A nem konvergens sorozatot divergensnek nevezzük. A konvergencia jelölése: lim an =A. (Az A a határérték. ) Más jelölés: (an ) A, vagy egyszerűen: an A. Például: Vagy: (A lim a latin limes (határ) szó rövidítése. ) A sorozat határértékének kiszámolásához a fenti meghatározást nem tudjuk kihasználni. Definíció: az (an ) sorozat határértéke az A szám, ha az A tetszőleges kicsiny környezetén belül a sorozatnak végtelen sok eleme van, a környezeten kívül pedig véges sok az elemek száma. A definícióban ugyanazt fogalmaztuk meg, amit a bevezető elnevezésben: a konvergenciá 10 hoz korlátosság és egyetlen torlódási pont létezése szükséges.

Cauchy féle határérték definíció: Az (an) sorozat határértéke az A szám, ha tetszőleges (pozitív) ε-hoz minden esetben található olyan no küszöbindex, hogy ha n > no , akkor |an –A|<ε. Például: az sorozat határértéke A=2. Ugyanis ha az ε környezetet tetszőleges kicsire választjuk, egy bizonyos no-tól kezdve a sorozat összes további, tehát a végtelen sok tag már belül lesz az A szám ε sugarú környezetén. (Az |an -A|< ε éppen ezt fejezi ki. ) Tegyünk próbát: ha ε=0, 01, akkor a küszöbindexet úgy kapjuk, hogy behelyettesítünk az egyenlőtlenségbe: A megoldás: n > 99. Ez azt jelenti: ha a küszöbszám, no=99, akkor a sorozatban az ennél nagyobb sorszámú (indexű) tagok „távolsága” 2 -től kisebb, mint 0, 01. Valóban: például a 100 -adik tagnál a határértéktől való eltérés: A 200 -adik tagnál a távolság 2 -től: =0, 004975. 11

A Cauchy definíció tetszőleges ε-ról szól, így elvégezzük általánosan a küszöbindex keresést a fenti példánknál: Ebből: Tehát ha no -nak Rendezés: (az 1/ε – 1 egész részét) választjuk, akkor már mindig igaz, hogy ha n > no, akkor a sorozat tagjai az adott ε-nál „pontosabban” közelítik meg az A=2 -t. Ha az ε például 0, 0817 lenne, akkor a példánkban a küszöbindex no =[(1/0, 0817)-1]=11 lesz. A divergens sorozatok speciális esete A nem konvergens sorozatok között vannak ú. n. valódi divergens sorozatok, amelyeket felfoghatunk úgy, hogy azok a végtelenbe (vagy a mínusz végtelenbe) „konvergálnak”. Például az an=n 2 sorozat tagjai „minden határon túl nőnek”, a „végtelenhez tartanak”. Jelölés: (n 2) , illetve lim n 2 = . Definíció: az (an) sorozat határértéke a , ha tetszőlegesen nagy P számhoz mindig megadható olyan no, hogy ha n > no, akkor an > P. A – -be konvergáló sorozat definíciója hasonló (akármilyen N negatív számnál kisebbek lesznek a sorozat tagjai). Például a bn=1–n 2 sorozat a – -be konvergál: lim(1 -n 2 )= –. 12

Nevezetes határértékek Az állítás igazolása a Cauchy definícióval történik. Bizonyítás: a megsejtett A=0 számhoz kell tetszőleges ε-hoz tartozó küszöbszámot találni, amelyre igaz, hogy minden n>no esetén mindig: |an -A|<ε. Az egyenlőtlenségünk: Ha tehát Ebből: , akkor már mindig igaz lesz: Ian -AI<ε, ha a sorozat bármely tagjának sorszáma nagyobb no-nál. A qn sorozat határértéke: A q értéke konstans, bármilyen valós számérték lehet a q. Például: 2 n és 0, 5 n -. Bizonyítás: lásd tankönyv. Az sorozat határértéke: Nem bizonyítjuk. Sok természeti és társadalmi folyamat leírásánál használjuk ezt a sorozatot, illetve en 13 nek a határértékét, az ún. Euler (ajler) féle e számot, amely egy irracionális szám.

A korlátosság, a monotonitás és a konvergencia összefüggései A sorozatok három jellemzője közötti kapcsolatot úgy vizsgáljuk, hogy két jellemző ismeretében milyen következtetés adódik a harmadik jellemzőre. 1. Ha a sorozat monoton és konvergens, akkor korlátos. Ez nyilvánvaló, hiszen a konvergenciának szükséges feltétele a korlátosság. Jól kihasználható, hogy növekvő sorozatnál az alsó korlát az első elem, a felső korlát pedig a határérték. Ugyanis ha a sorozat növekvő, akkor a „határérték közeléből nem fordulhat vissza”. Csökkenő sorozatnál a felső korlát az első elem, az alsó korlát a határérték. Például az sorozatnál korábban láttuk: lim an =2. A monotonitás vizsgálatához felírjuk az első 3 tagot: Gyanítjuk, hogy csökkenő a sorozat, azaz: Konkrétan: A törtes egyenlőtlenségből átalakítások után kapjuk: 5<6. Ekvivalens átalakításokkal egy biztosan igaz relációt kapunk, ekkor általánosan érvényes, hogy an+1 < an, tehát a sorozat szigorúan monoton csökken. 14 Így a sorozat felső korlátja az első elem: Kf=2, 5 és az alsó korlát a határérték: Ka=2.

2. Ha a sorozat monoton és korlátos, akkor konvergens is. Növekvő sorozatnál a határérték a felső korlát, csökkenőnél az alsó korlát a határérték. Lehet például a mintasorozat ehhez az 1/n általános tagú sorozat. Az alsó korlát, a 0 alá nem kerülhetnek a csökkenő sorozat elemei, tehát ott (és sehol máshol) „sűrűsödniük” kell (hiszen végtelen sok tagja van a sorozatnak), azaz a 0 határérték. Természetesen egy növekvő sorozatnál az alsó korlát az első elem, a csökkenő sorozatnál pedig az első elem a felső korlát. 3. Ha a sorozat korlátos és konvergens, akkor nem biztos, hogy monoton. Például: az sorozat alsó korlátja – 1, a felső 0, 5, van határérték: A=0. A sorozat nem monoton, nincs azonos jellegű nagyságviszony a tagok között. Határérték tételek A nevezetes határértékek és a határértékre vonatkozó összefüggések, műveleti szabályok segítségével a sorozatok jellemzői egyszerűbben határozhatók meg. 1. Tétel: A határértékképzés „művelettartó”, azaz ha (an) A és (bn) B, akkor (an) (bn) = (an±bn) A±B, (an) (bn) = (an∙bn) A∙B és (ha bn 0 A művelettartás függvényekre is érvényes lehet, például: ha (an) A, akkor (sinan) sin. A. és 15 B 0. )

Például: legyen az , ekkor: lim an=e, és legyen bn=5. Tudjuk: lim bn=5. A tagok összegéből képzett sorozatra: lim (an+bn)=e+5, a szorzatra: lim (bn∙an)=5∙e. A tétel bizonyításának alapgondolata: a megfelelő alakban felvett tetszőlegesen kicsiny környezethez mindig találunk „kívánt tulajdonságú” (Cauchy!) küszöbszámot. 2. Tétel: ha az (an) nullsorozat és a (bn) sorozat korlátos, akkor a két sorozat megfelelő tagjai szorzatából képzett sorozat is nullsorozat. Tehát: ha lim an=0 és (bn) korlátos, akkor lim an ∙bn=0. Például az nullsorozat , mert a cosn korlátos (Ka= – 1, Kf = 1) és A tétel bizonyítása egyszerű: ha a tetszőlegesen kicsiny környezethez találunk „megfelelő tulajdonságú küszöbszámot”, máris végeztünk (lásd: tankönyv). 3. Tétel: Ha (an) A és (bn) A, valamint a cn sorozat minden elemére igaz, hogy: an cn bn, akkor: (cn) A. A tételt nem bizonyítjuk. A tételt szokták rendőr szabálynak is nevezni: ha két rendőr ugyanoda tart, akkor az általuk szorosan közrefogott személy is ugyanoda megy. Példa: számoljuk ki az Megoldás: a tört számlálóját is, nevezőjét is osztjuk n-nel: Hiszen: sorozat határértékét! 16

Példa: számoljuk ki a következő sorozat határértékét: A határérték számolásához „előkészítjük”, átalakítjuk a sorozat általános tagjának képletét: A számlálót is és a nevezőt is osztjuk 4 n-nel: A határérték tehát 1, 2, mert az nullsorozat, és alkalmaztuk a művelettartás szabályát. A sorozatok komplex vizsgálata Gyakran előfordul, hogy adott sorozatot mindhárom jellemző szerint vizsgálnunk kell. Ilyenkor célszerű előbb a határértéket számolni (ha létezik), majd a monotonitásról kell nyilatkozni, és ezek ismeretében a korlátosságot már egyszerűen eldönthetjük. Példa: végezzük el a következő sorozat komplex vizsgálatát: 1. ) lim an=2, 3. ) Korlátosság Ha a sorozat növekvő, akkor: Ka=a 1=0, 5 és Kf A=2. 2. ) Monotonitás: A gyanunk az, hogy a sorozat növekvő (mert ez az első néhány tagon úgy látszik). Ebből: 2 n 2+3 n+1>2 n 2 +3 n-2, azaz: 1>-2 Az utolsó reláció és így a felette lévők is biztosan igazak, tehát (an) növekvő. 17

A sorozatok komplex vizsgálatánál gyakori, hogy küszöbszámot is keresünk. Például a vizsgált sorozatunknál adjuk meg az =0, 01 -hez tartozó küszöbszámot! Láttuk, hogy a határérték 2. Alkalmazzuk a Cauchy definíciót: Átalakítás (közös nevező, rendezés) után: n >299=n 0. Tehát a sorozat tagjai a 300 -adik tagtól kezdve belül lesznek a 2 -nek 0, 01 sugarú környezetén. Megjegyzés: az (an) sorozatnak Aj a jobboldali határértéke, ha minden an Aj. Az (an) sorozatnak Ab a baloldali határértéke, ha minden an Ab. A jobboldali határértéket a sorozat tagjai „alulról közelítik”, a baloldalit pedig felülről. A fenti példánkban az A=2 jobboldali határérték. A konvergens sorozatok a határértéket „mindkét oldalról” közelíthetik, például, ha: akkor a sorozat oszcillálva (váltakozó irányból) közelíti a nullát. A sorozatok komplex vizsgálata sok gyakorlást igényel. A példatárak nagy számban tartalmaznak erre a célra feladatokat. Rajta! 18

A sorok konvergenciája Az (an)=(a 1, a 2, a 3 , …) sorozatból sort képezhetünk: a 1+a 2+a 3 +…=(jelölés)= Értelmezhetjük a sor értékét: Az (sn) a sor tagjaiból képzett részletösszeg sorozatot jelenti a következőképpen: s 1=a 1, s 2=a 1+a 2, s 3=a 1+a 2+a 3, s 4=…, általánosan: sn=a 1+a 2+a 3+…+an. Definíció: A sor értéke akkor létezik, ha a részletösszeg sorozat konvergens. Ekkor az (sn) sorozat határértékét tekintjük a sor értékének. Példa: számoljuk ki a következő végtelen mértani sor értékét: M=a 1+ a 1 q+a 1 q 2…+a 1 qn-1+. . . = Megoldás: A sorhoz készíthető részletösszeg sorozat: sn= a 1+ a 1 q+a 1 q 2+…+a 1 qn-1. Ekkor: Ha n , akkor csak a qn határértékét kell tekintenünk. (A többi érték a képletben nem függ n-től) A lim qn =0, ha Iq. I<1. Ha q=1, a sorozat csupa azonos értékből áll. Máskor a (qn) divergens. Így: M= Példa: Ekkor: A fejezet tárgyalását befejeztük. 19