Integrls A diasorozat az Analzis 2 Mozaik Kiad

Integrálás A diasorozat az Analízis 2 (Mozaik Kiadó 2005. ) c. könyvhöz készült. Készítette: Dr. Ábrahám István 1

Az integrálszámításnak széleskörű, érdekes felhasználási lehetőségei vannak. Ilyen pédául a görbe vonalakkal határolt terület pontos kiszámítási módja: Hogyan lehetne pontosan kiszámolni például az x 2 és a függvénygörbék közötti területet? Hasonló feladatok megoldásához előkészületeket kell tennünk, amelyek jórészt a differenciálszámításhoz kapcsolódnak. A határozatlan integrál A primitív függvény: a („kis”) f függvénynek az [a; b]-on a („nagy”) F primitív függvénye, ha F deriváltja a f függvény: F’(x)=f(x). Példa: az f(x)=2 x primitív függvénye F(x)=x 2, mert (x 2)’=2 x. A primitív szó ez esetben nem az okos, kultúrált, bonyolult szavak ellentéte, hanem elsődleges, kiindulásul szolgáló értelemben használjuk. Példa: az f(x)=sinx egyik primitív függvénye: F(x)=–cosx, mert (–cosx)’=sinx. A sinx egy másik primitív függvénye: F(x)=–cosx+1, mert (–cosx+1)’=sinx. Megismételhetnénk a tanult valamennyi deriválási szabályt „visszafelé”. Tétel: a primitív függvény csak egy konstans erejéig egyértelmű. Ugyanis: ha az f(x)-nek a F(x) primitív függvénye, akkor nyilván F(x)+c (c=konstans) is 2 primitív függvény, hiszen: (F(x)+c)’=F’(x)+c’=F’(x)+0=f(x).

Elnevezés: az f függvény primitív függvényeinek összességét (halmazát) az f határozatlan integráljának nevezzük. Jelölése: ahol f(x) az integrandus függvény, dx az integrációs változó. A jelölésünk szerint igaz: Példa az új jelölésünkkel: Alapintegrálok Az integrálszámításhoz a leggyakoribb függvények integráljait meg kell ismernünk. I. A hatványfüggvény integrálja: ha n -1. Ha n=-1, akkor: A szabály belátása a deriválás ismeretében egyszerű: (lnx+c)’=x-1. II. A trigonometrikus függvények integrálása: Megemlítjük: Vigyázat! Nem a tg és ctg függvényeket integráltuk! 3

III. Az exponenciális függvény integrálása: Speciálisan: ha a=e, akkor: Látható, hogy egyszerűen meg kell fordítani az alapfüggvények deriválási szabályait. A tangens, cotangens és a logaritmus függvény integrálját később tárgyaljuk. Műveleti szabályok 1. A konstans szorzó kiemelhető: Ugyanis a bal- és jobboldal deriválásával ugyanazt kapjuk: Példa: Vigyázat! Kiemelni csak konstanst lehet, változót nem! 2. Összeg, különbség tagonként integrálható: Igazolás: mindkét oldalt deriváljuk. Kijön. Példa: 3. Szorzatot általánosan nem tudunk integrálni, csak így: Ez a parciális integrálás képlete. Röviden: Igazolás: lásd tankönyv. 4 Szorzatot csak akkor tudunk integrálni, ha a képlet jobboldalán lévő integrál „egyszerű”.

Példa: Legyen f=x és g’=cosx. Ekkor: f’=1 és g=sinx (mert a g=sinx deriváltja g’=cosx). Ellenőrzés (deriválással történik): (xsinx+cosx)’=sinx+xcosx–sinx=xcosx. A függvények szorzatára vonatkozó integrálási szabály csak korlátozottan vezet eredményre. Példa: ami bonyolultabb, mint az f, így a jobboldal nem lesz egyszerűbb. Ha fordítva választunk: f=sinx, akkor f’=cosx, ez sem egyszerűbb. Így nem tudjuk elérni, hogy a jobboldalon egyszerűbb integrál legyen, azaz az integrálás nem végezhető el! Az integrandus függvénynek nincs primitív függvénye. Tétel: Igazolás: az lnx írható 1∙lnx alakban is. Legyen f=lnx és g’=1. Parciálisan integrálhatunk: Az x kiemelése után a bizonyítandó állítást kapjuk. Nagy trükk: lnx=1 lnx. Az integrálásnál néha ravasz módszerekhez kell folyamodnunk. Általánosan: 5

4. Az összetett függvény integrálására szintén nincs általános szabály. Ha az integrálandó függvény szorzat és az egyik tényező a másik belső függvényének deriváltja, akkor van esélyünk az integrálásra. Tétel: az f(u(x)) összetett függvényre igaz: (Ha létezik az f külső függvény F primitív függvénye. ) Példa: Megoldás: A tétel állításának igazolása: Ismert, hogy [F(u)]’=F’(u)∙u’=f(u(x))∙u’(x) és tudjuk: Így (integráljuk mindkét oldalt): A tg és ctg függvény integrálása Állítás: Ugyanis: Hasonlóan igazolható: Példa: Gyakorlásul felírhatná az indoklást! Hiszen „a – 1 -edik hatvány integrálja ln”. 6

Megjegyzések 1. Előfordulhat, hogy a szakaszonként más utasítással adott függvénynél az egyes intervallumokon léteznek primitív függvények, de összességében a függvény integrálja nem létezik. Példa: legyen Az egyes részintervallumokon az integrálok: A primitív függvény viszont az F 1 és F 2 egyesítésével nem áll elő, hiszen a töréspontban (x=0 -nál) az egyesített függvény nem deriválható. 2. Néhány feladatban óvatosan kell bánnunk a konstans felírásával. Például az előző feladatban az F 1 -hez és az F 2 -höz tartozó konstanst szokás egyaránt c-vel jelölni, pedig azok nem mindig azonosak. A differenciálegyenletek megoldásánál például a konstansok különbözőségére figyelni kell. 3. Az összetett függvény integrálását lehet helyettesítéssel is végezni. Példa: A megoldás helyettesítéssel úgy történik, hogy bevezetünk új változót: 5 x+7: = t. Deriváljuk mindkét oldalt x szerint: Helyettesítünk: A t helyére visszaírva az 5 x+7 -et megkapjuk a korábbi 7 eredményünket.

A határozott integrál fogalmát területszámítással szokták bevezetni. Feladat: számoljuk ki a következő, görbe vonallal határolt síkidom területét! A területet részekre osztjuk. Mindegyik rész olyan, hogy csak az egyik határoló vonal görbe. Ha meg tudjuk pontosan határozni ezeknek a részeknek a területét (például az egyik ú. n. görbevonalú trapéznak), akkor a részekből az eredeti síkidom pontos területe összeállítható. Helyezzünk egy görbevonalú trapézt koordináta rendszerbe: A görbe vonal tekinthető az [a; b]-on folytonos f(x) függvénynek. A feladatot tehát megfogalmazhatjuk úgy is, hogy keressük az f(x) függvénygörbe alatti területet az [a; b] intervallumon. A megoldás: ismert területű síkidomokkal (téglalapokkal) közelítjük a keresett területet. Osszuk fel az [a; b] szakaszt Δx 1, Δx 2, …, Δxn hosszúságú, egymáshoz illeszkedő részekre. Vegyünk fel a Δx 1 szakaszon egy ξ 1 pontot, a Δx 2 szakaszon egy ξ 2 pontot és így tovább. Ezekhez a ξi pontokhoz tartozó függvényérték (f(ξi)) legyen a 8 közelítő téglalap magassága.

Mindegyik téglalapja tehát valamelyik Δxi, magassága pedig f(ξi). Egy téglalap területe: ti= Δxi∙f( i)=(vagy)= f( i)∙Δxi. A keresett T (görbe alatti) terület tehát: T=t 1+t 2+…+tn=f(ξ 1)Δx 1+f(ξ 2) Δx 2+…+f(ξn) Δxn= Ha az [a; b] szakaszt egyre több Δxi részre osztjuk, azaz egyre több téglalappal közelítünk („finomítjuk” felosztást), akkor egyre kisebbé válhat az eltérés a téglalapok területösszege és a görbevonalú trapéz területe között. Elvileg az [a; b] szakasz felosztását minden határon túl finomíthatjuk, azaz a Δxi „szakaszok” száma tarthat a végtelenbe. Ha még azt is kikötjük, hogy a finomításkor a legnagyobb Δxi értéke is egyre kisebb legyen (azaz lim(max Δxi)=0), akkor tulajdonképpen a közelítő téglalapok alapjai ponttá zsugorodnak, ekkor a görbevonalú trapézt hiánytalanul kitöltjük. Így, ha a beosztás finomításával a téglalapösszegnek van véges határértéke, akkor ez a határérték pontosan megadja a görbevonalú trapéz területét. Definíció: legyen a (pozitív) f(x) az [a; b]-on folytonos függvény. A Δx 1, Δx 2, …, Δxn az [a; b] intervallum egymáshoz illeszkedő szakaszokra történő felosztása, a ξ 1 a Δx 1, a ξ 2 a Δx 2, …, a ξn a Δxn szakasz pontja. Ekkor a Tn=t 1+t 2+…+tn=f(ξ 1)Δx 1+f(ξ 2) Δx 2+…+f(ξn) Δxn= összeg a függvény [a; b] intervallumon vett görbe alatti területének közelítése. 9

Ha létezik a Tn összeg határértéke: és közben (max Δxi) 0, akkor f(x) az [a; b]-n integrálható: Az a és b az integrálás határai. Példa: számoljuk ki az f(x)=x 2 görbéje alatti területet a [0; 1] intervallumon! Ha a [0; 1] szakaszt 4 részre osztjuk és az ú. n. alulról közelítő téglalapok összegét vesszük, akkor a közelítő terület: Kiszámolva: Közelíthetjük a területet „kívülre nyúló” téglalapokkal: Ekkor: Pontosítsuk a közelítést, osszuk fel a [0; 1] intervallumot 10 egyenlő részre: Ha a [0; 1] szakaszt n részre osztjuk, akkor: 10

Ismert, hogy: Ha nem n az összeg utolsó tagja, hanem n– 1, akkor: Így: Ha a felosztást minden határon túl finomítjuk, azaz n , akkor: limtn=lim. Tn= A keresett területet ezzel tehát pontosan megkaptuk. Nem mindig ilyen egyszerű a területszámítás, például a sinx alatti területet a [0; π]-on már meglehetősen bonyolult lenne határértékkel számolni. A határozott integrál tulajdonságai 1. A konstans kiemelhető: A bizonyítás a határozott integrál definíciójával egyszerű (lásd tankönyv). 2. Összeg, különbség tagonként integrálható: Bizonyítás: lásd tankönyv. 3. A határozott integrál a határok szerint is additív: Az állítás igaz volta szemléletesen igen egyszerűen belátható (lásd tankönyv). 11

4. Ha a-tól a-ig integrálunk, akkor 0 az eredmény: Az állítás igaz volta nyilvánvaló: ha a-tól a-ig integrálunk, akkor a „közelítő téglalap” alapja 0, így a területe is 0. 5. Az integrálás határainak felcserélése előjelváltozással jár: Ugyanis: Rendezve: Az integrálszámítás középérték tétele Ha az [a; b] intervallumban az f(x) függvény folytonos és integrálható, akkor van legalább egy olyan ξ az intervallumban, hogy: Az állításunk szemléletes belátása egyszerű (lásd tankönyv). Az állításból az is következik, hogy ha f-nek az [a; b] intervallumon a maximuma M, a minimuma m, akkor: (b–a)M. (b–a)m A Newton-Leibniz tétel A határozott integrál értéke kiszámítható a f integrandus függvény F primitív függvényével: Példa: számoljuk ki az x 2 görbéje alatti területet a [0; 1] intervallumon! Az x 2 primitív függvényét szögletes zárójelek közé írjuk és „alul-felül” jelöljük az 12 alsó és felső határt.

A Newton-Leibniz szabály bizonyításához az ú. n. területfüggvényt használjuk fel. A tétel bizonyítása nem könnyű, de ez az analízis egyik legfontosabb tétele, a tankönyvben viszonylag egyszerű bizonyítás található. A szabályt igen gyakran alkalmazzuk. Példa: számítsuk ki az f(x)=sinx alatti területet a [0; π] intervallumon! Eredményünk nem közelítés, ez a teljesen pontos érték! A határozott integrált további területszámítási feladatokban alkalmazhatjuk. Példa: számítsuk ki az f(x)=x 2 és a függvénygörbék közötti területet! A két görbe metszéspontjaiban az y értékek azonosak, azaz ekkor: A metszéspontok abszcisszái: x 1=0 és x 2=1. Ha a [0; 1] intervallumon a görbéje alatti területből kivonjuk az x 2 görbéje alatti területet, akkor megkapjuk a közbezárt területet: Az x 2 alatti terület a [0; 1] intervallumon már ismert, így a keresett idom területe: A területszámításnál ügyelni kell arra, hogy az x tengely alatti terület a határozott integrál 13 lal számolva negatív előjelűnek adódik.

Példa: határozzuk meg az y= – 0, 5 x+6 egyenes és az x tengely közötti területet a [2; 22] intervallumon! A Newton-Leibniz szabály szerint: Az eredményünk nyilván hibás, hiszen az egyenes és az x tengely közötti terület nem lehet 0: Az x tengely feletti háromszög területe: (Az alap=10, magasság=5. ) Az x tengely alatti háromszög területe is 25 (egybevágóság), tehát az egyenes és az x tengely között összesen 50 területegység van. Területszámításkor külön kell a Newton-Leibniz szabállyal integrálni azokon a szakaszokon, ahol az x tengely alatt, illetve felett van a függvény vonala, majd abszolút értékben adjuk össze a részterületeket. A fenti példánk esetén: és T 2=(integrálás 12 -től 22 -ig)= – 25. Így a keresett terület = T 1+l. T 2 l=50. Két függvénygörbe közötti terület Általában nem kell a negatív területű részekkel külön foglalkozni, hiszen ha van negatív függvényérték, akkor a mindkét függvényt „felemelhetjük” úgy, hogy ne legyen x tengely alatti közös terület. 14

Példa: számoljuk ki az f(x)=x 2− 6 x+5 és a g(x)=2 x− 7 függvények által határolt területet! Függvénytranszformációval (a függvényértékekhez elegendően nagy konstans hozzáadásával) elérhető, hogy a közbezárt terület teljesen az x tengely fölé kerüljön. A számolási eljárásunk: (Additív tulajdonság. ) Az eljárásunk lépései: 1. Kiszámoljuk az integrálás határait, a két függvény metszéspontjainak abszcisszáit: f(x)=g(x), azaz x 2− 6 x+5=2 x− 7. Ebből: x 1=2=a és x 2=6=b. 2. A két függvény különbségét integráljuk az [a; b] határok között: 3. A közbezárt terület mérőszámát a kapott eredmény abszolút értéke adja: T=10, 66. . . Megjegyzések, következmények I. Az improprius integrál Előfordul, hogy az integrációs intervallum hossza nem véges. A határozott integrált („szerencsés esetben”) ekkor is kiszámolhatjuk a határérték számítás 15 bevetésével.

Példa: mekkora az görbéje alatti terület az [1; [ intervallumon? Az eljárás: valamely n értékig (n>1) integrálunk, majd megvizsgáljuk, hogy a kapott kifejezésnek mi a határértéke, ha n tart a végtelenbe. Vesszük a határértéket: A keresett terület mérőszáma 1. Írhatjuk így is: A mínusz végtelen is lehet integrációs határ. Ilyenkor az eljárásunk hasonló, csak a felvett „segédváltozó” , az n a − -be tart. Általánosan: Ezután határérték számolás következik. Előfordul, hogy a c pontban szakadása az integrálandó függvénynek. Ekkor előbb a c előtt bizonyos távolságra lévő pontig integrálunk, majd vesszük az 0 határértéket: A c utáni részre: először c+ -tól integrálunk, majd ismét 0. 16

II. Forgástestek térfogata Adott egy folytonos f(x) függvény, amely az [a; b] intervallumon pozitív értékeket vesz fel. Ha a függvény vonalát az x tengely körül körbeforgatjuk, akkor forgástestet kapunk: Állítás: a keletkezett forgástest térfogata: Bizonyítás: lásd tankönyv. Ezzel a formulával bonyolultnak látszó problémákat (például a gömb, vagy a csonka kúp térfogata) tudunk egyszerűen megoldani. Példa: számoljuk ki az r sugarú gömb térfogatát! A koordináta rendszerben vegyünk fel egy r sugarú, origó középpontú kört: A kör x tengely körüli körbeforgatásakor gömb keletkezik. A kör egyenletéből: y 2=r 2−x 2. Elegendő a félgömb térfogatát kiszámolni, azaz 0 -tól r-ig integrálni: A teljes térfogat: A térfogatszámításnál is előfordulhatnak improprius integrálok. Példa: a normál hiperbola x tengely körüli forgatásával keletkező test térfogata, ha a határok 1 és : 17

III. A kettős integrál Az f(x; y) kétváltozós függvényt a deriválásához hasonló elv szerint integráljuk. Előbb az egyik változó szerint integrálunk az adott határokon, majd a kapott kifejezést mégegyszer integráljuk a másik változó szerint, annak a határain: Példa: az f(x; y)=3 x 2 siny+5 xy 3+2 függvényt integráljuk úgy, hogy az x határai 0 és 2, az y határai pedig 0 és . (x szerint integrálunk) (x a változó) Ha fordított sorrendben integrálunk, azaz először y szerint, az eredmény ugyanaz lesz. A határozott kettős integrál geometriai jelentése: az f(x; y) által meghatározott felület alatti térfogat mérőszáma az x, y koordináta síkon felvett, az a, b, c, d határok által meghatározott síkidom felett. A kettős integrálokéhoz hasonló gondolatmenettel értelmezhetők az ú. n. hármas (vagy akár n-es) integrálok is, három (illetve n) változós függvényekre. 18

IV. Differenciálegyenletek Előfordul, hogy valamely konkrét probléma megoldásánál olyan egyenlettel találkozunk, amelyben egy függvény deriváltja is szerepel. Példa: oldjuk meg f(x)-re: 5 x 2– 2 x+f ’(x)=0. Megoldás: f ’(x)= – 5 x 2+2 x. Ismert: Integrálás: Így: Léteznek olyan differenciál egyenletek, amelyekben magasabbrendű deriváltak, illetve parciális deriváltak szerepelnek. Ilyenekkel a szaktudományokban találkozhatunk. Példa: egy területen a lakosság népességnövekedése évi 3% és ez egyenesen arányos a mindenkori népességszámmal. Adjuk meg a népességszámot a megfigyelés kezdetétől számított t időpontban! Megoldás: Legyen a népességszám y, a növekedése y’. Az egyenes arányosság miatt: Az y függ az időtől, tehát y(t) alakú. A kezdő időpontban t=0, a kezdeti feltétel: yo. Megoldandó: Integrálunk: y’=1, 03 y, azaz: Rendezés: Ebből: lny=1, 03 t+c, azaz: y=e 1, 03 t+c=e 1, 03 t∙ec. Legyen ec=c*. Ha t=0, akkor: y(0)=yo=c*eo=c*. Eredményünk: y(t)=yo∙e 1, 03 t. A képlet bármely időpillanatban megadja a népesség számát az adott területen. A fejezet tárgyalását befejeztük. 19