RAPPEL Un modle telle que considr dans ce

RAPPEL ØUn modèle, telle que considéré dans ce cours, est une construction mathématique utilisée pour représenter certains aspects significatifs de problèmes du monde réel. ØIl y a beaucoup de types différents de modèles mathématiques, mais nous focaliserons dans un premier temps sur les modèles d’optimisation. Il y a trois composantes principales dans un modèle d’optimisation: ØVariables: elles représentent les composantes du modèle qui peuvent être modifiées pour créer des configurations différentes. ØContraintes: elles représentent les limitations sur les variables. ØFonction objection : cette fonction assigne une valeur à chaque configuration différente. Le terme “objectif” vient du fait que l’objectif est d’optimiser cette fonction. 23/04/2020 Cours Optim-Lin - Methode Simplexe 1

RAPPEL • L’étape la plus importante dans la construction d’un modèle est le choix des variables qui vont entrer en jeu. Bien que la réalité soit souvent loin d’être linéaire, un grand nombre de problèmes peuvent s’écrire sous forme linéaire, soit directement, soit en première simplification. D’autre part, un très grand nombre de modèles constituent des extensions de programmes linéaires. Sa compréhension est essentielle à la compréhension de modèles plus sophistiqués. • 23/04/2020 Cours Optim-Lin - Methode Simplexe 2

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RAPPEL 23/04/2020 Cours Optim-Lin - Methode Simplexe 4

EXEMPLE : (Wyndor Glass) La compagnie Wyndor Glass Co. produit des produits verriers de haute qualité, incluant des fenêtres et des portes vitrées. Elle dispose à cette fin de trois usines (usine 1, usine 2, usine 3), qui ont chacune capacité de production limitée. Les châssis en aluminium et les matériaux sont produits dans l’usine 1, les châssis en bois sont fabriqués dans l’usine 2, et l’usine 3 produit le verre et assemble les produits. La compagnie a décidé de mettre en place de ligne de production: • – produit 1: une porte vitrée avec un châssis d’aluminium ; • – produit 2: une fenêtre double-vritage avec châssis en bois. Un lot de 20 unités donne lieu à un profit de $3000 et $5000, respectivement pour le produit 1 et le produit 2. Les données du problème sont synthétisées dans la Table. Chaque lot d’un produit est le résultat combiné de la production dans les trois usines. Nous souhaitons déterminer le taux de production pour chaque produit (nombre de lots par semaine) de façon à maximiser le profit total. 23/04/2020 Cours Optim-Lin - Methode Simplexe 5

DEFINITIONS Ø Nous parlerons de solution réalisable à propos d’une solution (i. e. une instance particulière du vecteur x) pour laquelle toutes les contraintes sont satisfaites. En d’autres termes cette solution appartient au domaine réalisable Ø A contrario, une solution non réalisable est une solution pour laquelle au moins une contrainte est violée. Elle n’appartient pas au domaine réalisable. ØUne solution optimale est une solution donnant la meilleure valeur possible pour l’objectif. Cette valeur est dite valeur optimale. ØUn modèle n’a aucune solution optimale si son domaine réalisable est vide, ou si la fonction objectif est non bornée. ØNous avons d’autre part la propriété d’additivité: la fonction objectif est composée de la somme des contributions individuelles de chaque variable, et le terme de gauche de chaque contrainte fonctionnelle est composé de la somme des contributions individuelles de chaque variable. L’additivité interdit les termes de la forme x 1 x 2. Si une de ces hypothèses est invalidée, nous sommes en présence d’un programme non linéaire. 23/04/2020 Cours Optim-Lin - Methode Simplexe 6

La méthode du simplexe • Développée en 1947 par George Dantzig, la méthode du simplexe reste d’actualité pour résoudre des problèmes de grande taille. • Il s’agit d’une méthode algébrique basée sur la résolution de systèmes d’équations linéaires ; • nous intéressons ici uniquement aux systèmes d’équations linéaires avec un nombre n de variables supérieur au nombre m d’équations: 1. aucune solution ; 2. une et une seule solution ; 3. une infinité de solutions. 23/04/2020 Cours Optim-Lin - Methode Simplexe 7

REMARQUES • Nous supposerons que toutes les variables sont positives. • Le second cas, avec une et seule solution, ne peut survenir que si n = m, et si la matrice A est inversible, ce qui revient à exiger que nous avons éliminé au préalable toute équation pour s’écrire comme combinaison linéaire des autres équations. Si nous n’avons qu’une seule solution admissible, elle est forcément optimale, par conséquent, nous ignorerons ce cas dans le reste du chapitre, et prendrons n strictement supérieur à m. • Dans le cas où il y a une infinité de solutions, la méthode d’élimination de Gauss-Jordan permet d’identifier trois types de variables: – variables fixées ; – variables dépendantes ; – variables indépendantes. 23/04/2020 Cours Optim-Lin - Methode Simplexe 8

LA MÉTHODE DU SIMPLEXE SUR UN EXEMPLE 23/04/2020 Cours Optim-Lin - Methode Simplexe 9

BASE, SOLUTION DE BASE RÉALISABLE 23/04/2020 Cours Optim-Lin - Methode Simplexe 10

23/04/2020 Cours Optim-Lin - Methode Simplexe 11

23/04/2020 Cours Optim-Lin - Methode Simplexe 12