Klassikalised jaotused II Eksponentjaotus eldakse et juhuslik suurus

Klassikalised jaotused (II)

Eksponentjaotus Öeldakse, et juhuslik suurus X on eksponentjaotusega, kui tema tihedusfunktsiooniks on Leiame eksponentjaotusega juhusliku suuruse jaotusfunktsiooni: Seega p(x) F(x) Tihedusfunktsioon =1 Jaotusfunktsioon =1

Eksponentjaotuse arvkarakteristikud Keskväärtus Ositi integreerimine, u = x, dv = e- xdx du = dx, v = -e- x/ Dispersioon Standardhälve Kaks korda ositi integreeritud

Näide Raadiolambi tööiga T on eksponentjaotusega juhuslik suurus keskväärtusega 400 tundi. Leida tõenäosus selleks, et raadiolamp funktsioneerib vähemalt 600 tundi. Lahendus Kuna Otsitav tõenäosus siis

Massiteeninduse teooria (e. järjekorrateooria): reaalsete teenindussüsteemide teenindusaja modelleerimisel kasutatakse enamasti eksponentjaotust. Teenindusaja pikkus X (juhuslik suurus). Jaotusfunktsioon F(x) = P(X < x) näitab, millise tõenäosusega kestab teenindamine vähem kui x ajaühikut. Keskväärtus EX on ühe tellimuse keskmine teenindusaeg. Parameeter näitab, palju “kliente” teenindatakse keskmiselt ühe ajaühiku kohta (s. t. teenindamise kiirus).

Weibulli jaotus Kui pideva juhusliku suuruse tihedusfunktsiooniks on funktsioon siis öeldakse, et see suurus on Weibulli jaotusega. Weibulli jaotust kasutatakse toodete ja konstruktsioonide tööea ning usaldatavuse analüüsis. Parameeter iseloomustab jaotuse kuju, mastaapi ning x 0 asukohta x-teljel. Eksponentjaotus on Weibulli jaotuse erijuht, kui x 0 = 0, = 1 ja

Normaaljaotus Kui pideva juhusliku suuruse tihedusfunktsiooniks on funktsioon siis öeldakse, et see suurus on normaaljaotusega e. Gaussi jaotusega. Kui m = 0 ja = 1, siis nimetatakse vastavat normaaljaotust normeerituks. Normaaljaotuse tihedusfunktsioon p(x) m=1, = 1 m=2, = 2 x

Normaaljaotuse keskväärtus Asendus: kuna integreeritav funktsioon on paaritu ja rajad on 0 -punkti suhtes sümmeetrilised. - Poissoni integraal

Normaaljaotuse dispersioon ja standardhälve Läheme üle uuele muutujale Integreerime ositi, võttes Siis (Poissoni integraal)

Normaaljaotuse dispersioon ja standardhälve L‘Hospitali reegel Seega normaaljaotuse dispersioon Standardhälve: Asjaolu, et juhuslik suurus on normaaljaotusega parameetritega m ja , tähistatakse sümboolselt X ~ N(m, ).

Normaaljaotusega juhusliku suuruse antud vahemikku sattumise tõenäosus. = Asendus: = Funktsiooni nimetatakse Laplace’i funktsiooniks e. tõenäosuse integraaliks.

Laplace’i funktsiooni omadusi. 1) 2) 3) Laplace’i funktsioon on paaritu funktsioon

Näide 1 Kui tõenäone on normaaljaotusega juhusliku suuruse X ~ N(100, 5) väärtuste langemiseks vahemiku (90, 105)? Lahendus Leiame

Näide 2 Kui tõenäone on normaaljaotusega juhusliku suuruse X ~ N(m, ) tsentreeritud hälbe absoluutväärtus |X – m| ei ületa standardhälbe k-kordset (k = 1, 2, 3)? Lahendus Eesmärgiks on leida “ 3 ”-reegel: Praktiliselt võib kindel olla, et normaaljaotusega juhusliku suuruse hälbed keskväärtusest ei ületa kolme standardhälvet.

Normaaljaotuse jaotusfunktsioon avaldub Laplace’i funktsiooni kaudu järgmiselt: Normeeritud normaaljaotuse korral kehtib seos: Näide Leida juhusliku suuruse X ~ N(8, 2) jaotusfunktsiooni väärtus kohal X = 10 Lahendus