KAPITEL 8 Inferens om en ndlig population Sid

KAPITEL 8 Inferens om en ändlig population Sid 210 -229

Urval från ändliga populationer • Hittills: inferens om population som är stor i förhållande till stickprovet • Populationen betraktas som ”oändlig” om • Enheterna som väljs ut i stickprovet kan då ses som oberoende • Nu: inferens om ändlig population • Formeln för medelfelet justeras mha en ändlighetskorrektion • De vanliga formlerna för konfidensintervall (dubbelsidigt och enkelsidigt) samt hypotesprövning kan nu användas

Formler för konfidensintervall • För: Populationsmedelvärde Populationsandel • Krav: OSU Samplingfördelningen för stickprovsmedelvärdet kan betraktas som normalfördelad • Dubbelsidigt konfidensintervall: np(1 – p) > 5

Exempel • Ett gym erbjuder ett viktminskningsprogram till alla sina 70 kunder. Ett OSU på 10 kunder visar följande viktminskning (i kg) efter genomgånget program: 6 3 5 8 0 2 1 7 3 2 • Beräkna ett 95%-igt konfidensintervall för populationsmedelvärdet. Vilka antaganden måste göras vid beräkning av intervallet?

Totalmängd samt totalt antal • Om vi vet populationsstorleken (vilket vi oftast gör vid ändliga/små populationer) kan vi beräkna parametrarna totalmängd samt totalt antal • Totalmängden i populationen definieras som och skattas som . • Exempel: Totala vinsten för flera butiker • Totalt antal med en viss egenskap i populationen definieras som • och skattas som (där X är en binär variabel som antar värdena 1 eller 0) . • Exempel: Antal butiker som haft problem med snatterier senaste månaden

Formler för konfidensintervall • För: Totalmängd i populationen Totalt antal i populationen • Krav: OSU Samplingfördelningen för stickprovsmedelvärdet kan betraktas som normalfördelad • Dubbelsidigt konfidensintervall: np(1 – p) > 5

Exempel • Ledningen för en butikskedja med 200 butiker var intresserade av vinsten den senaste månaden. Ett OSU på 30 butiker resulterade i en medelvinst på 70 (kkr) och en standardavvikelse på 15 (kkr). Beräkna ett 90%-igt konfidensintervall för den totala vinsten för alla 200 butiker. • Man passade även på att fråga om butikerna i urvalet har haft problem med snatterier under den senaste månaden. 10 av butikerna svarade ja. Beräkna ett 90%-igt konfidensintervall för det totala antalet butiker som haft problem med snatterier.

Stratifierat urval • För: Populationsmedelvärde • Krav: OSU ur varje stratum n ≥ 30 i varje stratum • Dubbelsidigt konfidensintervall: där L = antalet stratum i populationen Populationsandel OSU ur varje stratum np(1 – p) > 5 i varje stratum

Exempel • På ett stort företag ville man undersöka hur mycket de anställda arbetar i genomsnitt (i procent av heltid). Eftersom man tror att tiden kan skilja sig åt mellan män och kvinnor drar man ett OSU av 250 kvinnor av totalt 1500 och 250 män av totalt 3500. Kvinnorna i urvalet arbetade 80% i genomsnitt med en standardavvikelse på 6. 5%, och männen i urvalet arbetade 89% i genomsnitt med en standardavvikelse på 4. 5%. Beräkna ett 95%-igt konfidensintervall för den genomsnittliga arbetstiden på företaget. • Vilka antaganden behöver göras?

Allokering • Hur många enheter ska väljas ut ur respektive stratum? • Lika allokering • Proportionell allokering • Neymanallokering • Optimal allokering • där ci är kostnaden för att undersöka en enhet i stratum i

Exempel • För att undersöka om lärare i ett visst rektorsområde rättar fjärdeklassarnas nationella prov i matte ”korrekt” vill man dra ett urval av 100 prov och låta utomstående lärare rätta dessa prov. Man vill sedan skatta den genomsnittliga poängen på alla fjärdeklassares prov i rektorsområdet. Eftersom man tror att resultaten kan skilja sig åt mellan skolor låter man de fyra skolorna utgöra fyra stratum med storlekarna 100, 200, 300 samt 400 prov. Från tidigare erfarenhet tror man att standardavvikelserna i provresultat i de fyra skolorna är 20, 5, 6 och 6. • Hur bör urvalet allokeras med • Lika allokering? • Proportionell allokering? • Neymanallokering? • Antag nu att den första skolan (med 100 elever) är en specialskola där elever med olika typer av svårigheter går. Det tar längre tid att rätta dessa elevers prov eftersom lärarna måste ta hänsyn till hur mycket hjälp varje elev har fått när dom rättar. Hur ska urvalet allokeras optimalt om vi antar att kostnaden att välja ett prov från specialskolan är 200 kr jämfört med 100 kr att välja ett prov från någon av de andra skolorna?