INTERVALLI E INTORNI INTERVALLI INTORNI PUNTI PER UN

INTERVALLI E INTORNI • INTERVALLI • INTORNI • PUNTI PER UN INSIEME Prerequisiti: - Insiemi - Disequazioni

INTERVALLI LIMITATI Definizione 1 Dati due numeri reali a e b, con a < b, si chiama: INTERVALLO APERTO ]a, b[ l’insieme dei numeri reali x tali che a < x < b INTERVALLO CHIUSO a b a b [a, b] l’insieme dei numeri reali x tali che a ≤ x ≤ b INTERVALLO APERTO A DESTRA [a, b[ l’insieme dei numeri reali x tali che a ≤ x < b INTERVALLO APERTO A SINISTRA ]a, b] l’insieme dei numeri reali x tali che a < x ≤ b INTERVALLI E INTORNI 1/5

INTERVALLI ILLIMITATI Definizione 2 Dato un numero reale a qualsiasi, si chiama: INTERVALLO ILLIMITATO SUPERIORMENTE l’insieme dei numeri reali x tali che [ a , + [ x≥a a INTERVALLO ILLIMITATO INFERIORMENTE l’insieme dei numeri reali x tali che ] - , a ] x≤a a Osservazione 1 • Un intervallo limitato è in corrispondenza con i punti di un segmento • Un intervallo illimitato è in corrispondenza con i punti di una semiretta • L’intervallo ] - , + [ è in corrispondenza con i punti di una retta e rappresenta l’insieme dei numeri Reali INTERVALLI E INTORNI 2/5

INTORNI Definizione 3 Si chiama: INTORNO COMPLETO del punto c un qualsiasi intervallo aperto che contenga c a INTORNO DESTRO del punto c un qualsiasi intervallo aperto che abbia c come estremo sinistro INTORNO SINISTRO del punto c un qualsiasi intervallo aperto che abbia c come estremo destro a c b c Proprietà 1 L’intersezione di due intorni di un punto c è ancora un intorno dello stesso punto c c INTERVALLI E INTORNI 3/5

PUNTI Definizione 4 Dato un intervallo ( a , b) di qualsiasi natura e un punto c, si dice che c è un punto: INTERNO per ( a , b) Se esiste un intorno di c interamente contenuto in ( a , b) ESTERNO per ( a , b) Se esiste un intorno di c non contenuto in ( a , b) DI FRONTIERA per ( a , b) Se non è né interno e né esterno per ( a , b) a c c b a b c=a b DI ACCUMULAZIONE per ( a , b) Se in ogni intorno di c cadono punti di ( a , b) distinti da c INTERVALLI E INTORNI 4/5

PUNTI Definizione 4 Dato un intervallo ( a , b) di qualsiasi natura e un punto c, si dice che l è: ESTREMO INFERIORE per ( a , b) se 1. x ≥ l x є ( a , b) 2. ε > 0 esiste x є [l , l + ε ] ESTREMO SUPERIORE per ( a , b) se 1. x ≤ l x є ( a , b) 2. ε > 0 esiste x є [ l - ε , l ] l a x l+ε x l-ε x x b l Se l’estremo inferiore appartiene ad ( a , b) il punto di dice che è il MINIMO Se l’estremo superiore appartiene ad ( a , b) il punto di dice che è il MASSIMO INTERVALLI E INTORNI 5/5