Gyakorls 13 6 feladat Ha vannak egzisztencilis avagy

Gyakorlás: 13. 6 feladat Ha vannak egzisztenciális (avagy negált univerzális) kvantifikációk a kiinduló mondatok között, akkor célszerű azzal kezdeni, hogy ezeket bontjuk le egyegy névkonstans bevezetésével. Azaz, nem formális érvelésben: Tekintsünk egy individuumot, amely miatt az egzisztenciális kvantifikáció igaz (illetve az univerzális kvantifikáció hamis)! HF: 13. 5

Egy FOL (extenzionális) interpretációja A blokknyelv: félig interpretált nyelv. Rögzítve van benne a predikátumok jelentése, de nincs megadva a terjedelme. A Cube’ predikátum terjedelmébe mindig csak kockák tartoznak (és a világ összes kockája beletartozik). De hogy konkrétan mik a kockák, hányan vannak, stb. , azt a világ megadásával adjuk meg. Tehét a terjedelme csakis egy világhoz képest értelmezhető: a világban lévő kockák halmaza. Ha nem értenénk a predikátum jelentését, ezt a terjedelmet akkor is megadhatnánk, mint a világ elemeinek egy bizonyos halmazát. A Right. Of’ predikátumhoz is rendelünk (implicite) terjedelmet. Ezt formálisan úgy adhatjuk meg, mint azon rendezett blokkpárok halmazát, amelyeknek első tagja jobbra van a másodiktól. A Between’ terjedelme blokkok bizonyos rendezett hármasainak (avagy háromtagú sorozatainak) halmaza.

Amikor FO-érvényességről beszélünk, akkor el kell vonatkoztatni a blokknyelv predikátumainak jelentésétől. Tehát úgy kell tekinteni, hogy tetszőlegesen rendelhetünk az egyargumentumú predikátumokhoz blokkhalmazokat, a kétargumentumúakhoz blokkpárok halmazait, stb. Általában, egy FOL (extenzionális) interpretációja annyit jelent, hogy terjedelmet rendelünk a predikátumaihoz (és jelöletet a névkonstansaihoz). Ezt úgy is lehet tekinteni, hogy meghatározunk egy (a blokknyelv esetében Tarski -féle) világot (persze a nyelvhez képest). Mindezeket megelőzőent még valamire szükségünk van: meg kell adni, hogy az adott interpretációban mi számít objektumnak. Azaz meg kell adni az interpretáció univerzumát, avagy domainjét. Erről feltételezzük, hogy nem-üres halmaz.

Formálisan: Legyen adva egy L FOL, adott névkonstansokkal és (tetszőleges argumentumszámú predikátumokkal. Az egyszerűség kedvéért L a konnektívumok közül csak a negációt és a kondicionálist, a kvantorok közül csak az univerzálisat tartalmazza (a többi rövidítés) L-hez egy interpretációt (avagy egy modellt) egy U (nem üres) univerzummal és ρ interpretáló függvénnyel adhatunk meg: M = < U, >, ahol a ρ függvény a nyelv predikátumaihoz hozzárendeli a(z adott interpretáció szerinti) terjedelmüket, a névkonstansokhoz pedig a jelöletüket. Részletesen: -ha a névkonstans, akkor (a) U; -ha F egyargumentumú predikátum, akkor (F) U; - ha F n-argumentumú predikátum, n 2, akkor (F) U(n). (Jelölés: az u 1, u 2, …un objektumok sorozatát így jelöljük: <u 1, u 2, … un>. U(n) az U elemeiből képezett n-tagú sorozatok halmaza)

Segédeszköz a nyitott mondatok és a kvantifikáció kezeléséhez: egy v értékelő függvény, amely minden individuumváltozóhoz hozzárendeli U egy elemét (változtatható jelölet). Ki tudjuk számítani tetszőleges mondat igazságértékét adott interpretáció és értékelés mellett a következő szabályok szerint: A fogja jelölni az A mondat adott interpretáció és értékelés szerinti igazságértékét. Pontosabban: A M, v – de az utóbbiakat el lehet hagyni, amikor rögzített interpretációról és értékelésről van szó. A terminusokhoz is rendelünk értéket: Ha a névkostans, a = (a). Ha x változó, x = v(x).

Ha t 1 és t 2 két terminus, t 1 = t 2 = T, ha t 1 ugyanaz, mint t 2 (különben F). Ha F n-argumentumú predikátumkonstans, akkor F(t 1, t 2 , … , tn) = T, ha < t 1 , t 2 , … tn > (F) (egyébként F). T, ha A = F Ha A mondat, akkor A = F a másik esetben Ha A és B mondatok, akkor A B = F, ha A =T és B = F T a többi esetben

Ha A mondat és x változó, akkor F, ha van olyan u U, hogy A v[x: u] = F x. A v = T máskor ahol v[x: u] a következő értékelőfüggvény: u, ha x = y, v[x: u](y) = v(y) máskor (azaz a többi változóra)

Ha az A mondatban az x változó nem fordul elő szabadon, akkor A v nem függ v(x) értékétől (könnyen belátható). Következmény: ha az A mondat zárt, akkor A M, v egyáltalán nem függ attól, melyik v értékelőfüggvényt használtuk. Tehát ilyen esetben nyugodtan beszélhetünk A adott modellbeli igazságértékéről: A M