Matematika sszefoglal A kzpiskolai tananyag vzlatos ttekintse gyakorl

Matematika összefoglaló A középiskolai tananyag vázlatos áttekintése, gyakorló feladatok Összeállította: Deák Ottó mestertanár Általános- és Felsőgeodézia Tanszék Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 1

A bemutató vázlata • Bemutatkozás, a konzultáció célja • Tapasztalatok a matematika középiskolai oktatásáról • A középiskolai tananyag vázlatos és gyors áttekintés • A Matematika Tanszék mintadolgozatának megoldása • További mintapéldák megoldása • Tanácsok a matematika tanulásához Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 2

Bemutatkozás • Deák Ottó mestertanár, BME Építőmérnöki Kar, Általános- és Felsőgeodézia Tanszék • ELTE TTK Matematikus diploma • 33 év egyetemi oktatói tapasztalat • Kb. 40 év matematika korrepetálás középiskolásoknak • Az I. évf. 7. tankör osztályfőnöke a 2010/2011. tanévben • Segítőim az évfolyam mentorai (diák patrónusai) • Letöltés: http: //www. agt. bme. hu/staff_h/deak Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 3

Tapasztalatok I. • A BME-n a matematika kiemelt fontosságú alaptárgy – – A felvételin döntő jelentősége van Minden műszaki szaktárgy rá épül Alapkészségeket és gondolkodásmódot tanít Az egyik első szűrő a mérnökké válás folyamatában • Szerepe és súlya a középiskolában – Megnövekedett tananyag – Csökkenő követelmények – Az érettségi szerepe a tudás kontrolljában Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 4

Tapasztalatok II. • Az elmúlt évek tapasztalata az egyetemi oktatásban: – egyre alacsonyabb szintű matematika-ismeretekkel érkeznek a hallgatók az I. évre; – a lexikális ismeretek nagy része hiányzik („benne van a függvény-táblában”!); – gyenge számolási készség (számológépek használata); – a feladat-megoldási rutin hiánya (időhiány, más elfoglaltság miatt); – a felvételinél nem követelmény az emelt szintű matematika érettségi. Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 5

Következmények • Az előbb felsorolt tényezők hatása az egyetemi oktatásra: – az alapozó tárgyakban magas bukási arány; – az egyetemen gyakran középiskolai anyagot is tanítani kell; – a nem kimondottan matek-alapú tárgyakban is nagy lemorzsolódás (pl. geodézia). • Védekezési mechanizmusok az egyetem részéről: – matematika-felmérő íratása; – felzárkóztató matematika-oktatás (középiskolás anyag megtanítása). Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 6

Matematika összefoglaló • Tematikus összeállítás • A középiskolai tananyag fontos fejezetei • Alapfogalmak, definíciók, főbb képletek, fontos tételek • Nem pótolja a tankönyveket! • Szerepe: – gondolatébresztés, – hiány-feltárás, – figyelmeztetés Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 7

Matematikai jelölések az anyagban • Szimbolikus jelölések az anyagban: – – – – – : a megadott értékek közelítően egyenlőek : minden olyan elem, amely… : létezik olyan elem, amely… : az előzőekből következik : eleme a magadott halmaznak : nem eleme a halmaznak : a megadott halmaz részhalmaza (valódi) : halmazok egyesítése (uniója) : halmazok közös része (metszete) : a megadott elemek összege Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 8

Algebrai kifejezések I. • Algebrai kifejezés fogalma, elemei – – – Számok Változók Paraméterek Műveleti jelek Zárójelek • Számok a kifejezésekben, számítási élesség – – Természetes számok Egész számok Racionális számok Valós számok (irracionális szám fogalmával) Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 9

Algebrai kifejezések II. • Műveletek algebrai kifejezésekkel – – Zárójelek szerepe, felbontása Racionális kifejezések, műveletek törtekkel Kiemelés, összevonás, egynemű kifejezés fogalma Fontosabb algebrai azonosságok Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 10

Hatványozás • Ismételt szorzás, egyszerűbb jelölés • Azonosságok a definíció alapján, kiterjesztése Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 11

Gyökvonás • Négyzetgyök, n-dik gyök fogalma • Műveletek gyökös kifejezésekkel Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 12

Törtek gyöktelenítése • Azonos átalakítások, a tört értéke nem változik Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 13

Oszthatóság I. • Az egész számok körében értelmezzük: – Osztandó, osztó, hányados, maradék fogalma – Maradék nélküli és maradékos osztás – Összetett és prím szám • Az algebra alaptétele Minden egész szám (sorrendtől eltekintve) egyértelműen bontható fel prímszámok szorzatára • Prímfelbontás előállítása • Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 14

Oszthatóság II. • Oszthatósági szabályok – – – – – 2: páros számok 3: számjegyek összege osztható 3 -mal 4: utolsó két jegy osztható 4 -gyel 5: utolsó számjegy 0 vagy 5 6: páros és osztható 3 -mal 7: 3 -as csoportok váltakozó előjelű összege osztható 7 -tel 8: utolsó három jegye osztható 8 -cal 9: számjegyek összege osztható 9 -cel 10: utolsó jegye 0 11: páros helyiérték összege – páratlan helyiérték összege osztható 11 -gyel Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 15

Függvények I. • Kapcsolat 2 halmaz elemei között • Általában számhalmazok közötti művelet – Alaphalmaz, képhalmaz – Értelmezési tartomány • Df A, azon A-beli pontok halmaza, ahol az f értelmezhető – Értékkészlet • Rf B, azon B-beli pontok halmaza, amelyeket az f az Rf-beli pontokban felvesz értékként • Függvény inverze (megfordítása) Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 16

Függvények II. • Függvények tulajdonságai – Monotonitás • Szigorúan monoton növő, monoton növő • Szigorúan monoton fogyó, monoton fogyó – Korlátosság • Felülről korlátos • Alulról korlátos • Korlátos Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 17

Függvények III. • Függvények tulajdonságai – Paritás • Páros • Páratlan – Határérték – Folytonosság • Az függvény folytonos az , pontban, ha – Periodikusság Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 18

Függvények IV. • Függvények megjelenítése, grafikonja • Függvények megadása – – táblázattal kifejezéssel egyenlettel grafikonnal Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 19

Függvények V. • Függvények transzformációja – f(λ·x) irányába – f(x+a) – c·f(x) irányába – f(x) + t - széthúzás λ-szorosra az X tengely - eltolás balra a-val az X tengely irányába - széthúzás c-szeresre az Y tengely - eltolás t-vel az Y tengely irányába Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 20

Elemi függvények • Tulajdonságok ismerete: a korábbi fogalmak értelmezése az adott függvényre • Fontosabb függvények: – – – – Konstans függvény; Lineáris függvény; Abszolutérték függvény; Másodfokú (parabola) függvény; Egészrész, törtrész függvény; Lineáris törtfüggvény; Logaritmikus, exponenciális függvények; Trigonometrikus függvények. Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 21

Elsőfokú (lineáris) egyenletek • Olyan algebrai kifejezések, amelyeket = jel kapcsol össze, és benne betűvel jelzett mennyiségek is szerepelnek. • Ezek lehetnek paraméterek és ismeretlenek is. • Az egyenlet megoldása az ismeretlen(ek) azon értékének meghatározása, amelyeket az egyenletbe helyettesítve, az egyenlőség két oldala azonosságot fejez ki. • A megoldást a mérleg-elv segítségével kapjuk meg (mi az? ). Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 22

Lineáris egyenlőtlenségek • Megoldásuk: mint az egyenleteknél • Eltérés: ha negatív számmal osztunk vagy szorzunk, az egyenlőtlenség iránya megváltozik • A megoldás általában egy halmaz (intervallum) Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 23

Többismeretlenes egyenletek • Megoldási módszerek: – kiküszöböléssel – helyettesítéssel • Lehetnek ellentmondásosak (nincs megoldásuk) vagy összefüggőek (végtelen sok megoldásuk van). Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 24

Másodfokú egyenletek • Általános alakjuk: • Megoldásukhoz a mérleg-elv nem elegendő • Megoldóképlet: • Összefüggések (Viéte-formulák, gyöktényező): Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 25

Exponenciális egyenletek • Az ismeretlen a kitevőben található • Azonosságok használatával: – átalakítás alakra, amiből az fv szigorúan monoton tulajdonsága miatt következik, ami megoldható; – új ismeretlen bevezetésével visszavezetés másodfokú egyenletre, aminek megoldása után kapjuk meg az eredeti egyenlet gyökeit. Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 26

Logaritmikus egyenletek • Az ismeretlen a logaritmus alatt található • Azonosságok használatával: – átalakítás alakra, amiből a fv szigorúan monoton tulajdonsága miatt következik, ami megoldható; – új ismeretlen bevezetésével visszavezetés első- vagy másodfokú egyenletre, aminek megoldása után kapjuk meg az eredeti egyenlet gyökeit. Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 27

Szögfüggvények I. • Derékszögű háromszögekben értelmezzük • Néhány elemi összefüggés: Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 28

Szögfüggvények II. • Addíciós azonosságok: • Kétszeres szögek: • Egyszerű átalakítások: Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 29

Szögfüggvények III. • További összefüggések: Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 30

Trigonometrikus egyenletek • Megoldásukhoz használni kell a trigonometrikus azonosságokat! • Az egyenletet átalakítjuk, hogy csak egy szögfüggvény szerepeljen benne. • A kapott egyenletet megoldjuk vagy visszavezetjük új ismeretlen bevezetésével másodfokú egyenletre. • A megoldás értelmezése: – periódikusság miatti additív konstansok alkalmazása; – a megoldás általában párban jelenik meg (két szögnegyedben is azonos a szögfüggvény értéke). Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 31

Sorozatok I. • Számok rendezett (sorszámozott) halmaza, más szóval egy leképezés a természetes számok halmazáról a valós számok halmazára: • Jellemző mennyiségei: – – – : a sorozat első tagja : a sorozat n-dik tagja : az első n tag összege • Definiálása – explicit képlettel – implicit (rekurzióval) Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 32

Sorozatok II. • Fontosabb számsorozatok: – Számtani • a szomszédos tagok különbsége állandó – Mértani • a szomszédos tagok hányadosa állandó – Fibonacci • minden tag az előző kettő összege Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 33

Vektorok • Irányított szakasz a síkban vagy a térben • Jellemzői: – állása (melyik egyenessel párhuzamos); – iránya (merre mutat); – hossza (távolság a kezdő- és a végpont között). • Nem jellemző: – kezdő- vagy támadási pontjának helye • Műveletek vektorokkal – – Számmal való szorzás Összeadás, kivonás Skaláris szorzás (két vektor szorzata egy szám) Vektoriális szorzás (két vektor szorzata egy újabb vektor) • Ábrázolása koordinátarendszerben – helyvektor (kezdőpontja az origóI Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 34

Geometria I. • Fontosabb geometriai témák és fogalmak: – Síkidomok osztályozása – Háromszögek tulajdonságai, fontosabb tételei: • Thalesz tétel, Pithagorasz tétel • Számítási módszerek: sinus- és cosinus tétel • Szögfelező tétel • Derékszögű háromszögben befogó- és magasság tétel • Súlypont, magasságpont, oldalfelező, szögfelező tulajdonságai Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 35

Geometria II. • A kör és fontosabb tulajdonságai: – A kör részei: középpont, sugár, átmérő, körív, körszelet, körcikk – Középponti- és kerületi szögek tétele – Külső pontból körhöz húzott érintőszakaszok tétele – Húrnégyszög, érintőnégyszög tétele – Háromszögbe, háromszög köré írt kör Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 36

Geometria III. • További fontosabb fogalmak és tételek: – Párhuzamos szelők tételei és megfordításuk – Síkidomok, háromszögek hasonlósága és egybevágósága – Síkidomok, háromszögek kerülete, területe – Szabályos sokszögek tulajdonságai – Síkbeli transzformációk Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 37

Koordinátageometria I. • A geometria számszerűsítése, geometriai alakzatok egyenletekkel történő megadása • Alkalmazásával a geometriai feladatok analitikus megoldást nyernek (egyenletek használata, megoldása) • Egy geometriai objektum egyenlete egy olyan azonosság, amelyet csak az objektum pontjai elégítenek ki (a koordinátájukat az egyenletbe helyettesítve azonosságot kapunk) Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 38

Koordinátageometria II. • Az egyenes egyenletei: – Irány vektoros egyenlet • Adott: • Egyenlet: – Normál vektoros egyenlet • Adott: • Egyenlet: – Két pontos átmenő egyenes egyenlete • Adott: • Egyenlet: – Meredekségével adott egyenes egyenlete • Adott: • Egyenlet: Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 39

Koordinátageometria III. • A kör egyenlete • Adott: • Egyenlete: • A kör egyenletének általános alakja Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 40

Polinomok I. • A polinom (vagy többtagú algebrai kifejezés) egy olyan kifejezés, melyben csak számok és változók egész kitevőjű hatványainak szorzatai illetve ilyenek összegei szerepelnek. • A polinomban a számokkal szorzott hatványszorzatokat monomoknak (vagy egytagoknak) nevezzük. • A monomokban lévő számszorzókat a polinom együtthatóinak hívjuk. • A polinomokkal műveletek végezhetők – összeadás, kivonás, szorzás, osztás Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 41

Polinomok II. • Polinomok (maradékos) osztása: – Az osztandó legmagasabb hatványkitevőjű tagjának és az osztó legmagasabb hatványkitevőjű tagjának a hányadosát képezzük – Ezzel a hányadossal megszorozzuk az osztót és az eredményt levonjuk az osztandóból – A kapott új polinommal megismételjük az előbbi eljárást – A fenti lépéseket addig ismételjük, amíg az osztandó alacsonyabb fokszámú lesz, mint az osztó – Ha a megmaradó osztandó nem nulla, akkor maradékos osztásról beszélünk Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 42

Polinomok III. • Polinomok (maradékos) osztása: – Az osztandó legmagasabb hatványkitevőjű tagjának és az osztó legmagasabb hatványkitevőjű tagjának a hányadosát képezzük – Ezzel a hányadossal megszorozzuk az osztót és az eredményt levonjuk az osztandóból – A kapott új polinommal megismételjük az előbbi eljárást – A fenti lépéseket addig ismételjük, amíg az osztandó alacsonyabb fokszámú lesz, mint az osztó – Ha a megmaradó osztandó nem nulla, akkor maradékos osztásról beszélünk Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 43

Mintazárthelyi • A feladatlapon csak egy helyes választ lehet megadni • A feladat szövegét figyelmesen olvassák el! • Csak a biztos megoldásokat írják be, ne tippeljenek! • A részszámításokat minden esetben el kell végezni, de külön lapon. • A megoldás sorrendje nem feltétlenül a számsorrend. Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 44

Mintazárthelyi feladatlap Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 45

1. feladat Megoldás: Helyes válasz: B Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 46

2. feladat Megoldás: Helyes válasz: D Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 47

3. feladat Megoldás: Helyes válasz: C Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 48

4. feladat Megoldás: Helyes válasz: D Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 49

5. feladat Megoldás: Helyes válasz: C Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 50

6. feladat Megoldás: Helyes válasz: C Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 51

7. feladat Megoldás: f(x) g(x) h(x) Helyes válasz: C Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 52

8. feladat Megoldás: Helyes válasz: B Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 53

9. feladat Megoldás: Helyes válasz: A Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 54

10. feladat Megoldás: Helyes válasz: B Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 55

11. feladat Megoldás: Helyes válasz: D Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 56

12. feladat Megoldás: Helyes válasz: A Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 57

13. feladat Megoldás: Helyes válasz: E Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 58

14. feladat Megoldás: Helyes válasz: A Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 59

15. feladat Megoldás: Helyes válasz: B Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 60

További mintapéldák • Az alábbi feladatok megoldását külön oldalon közöljük • A példák önálló megoldását javasoljuk, a kidolgozott megoldást ellenőrzésre használják • További feladatok megoldása segít a felkészülésben • Ajánlott segédlet: Egységes érettségi feladatgyűjtemény – Matematika (Konsept-H Könyvkiadó, 2002) Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 61

Példák I. 1) Egy matematika versenyen két feladatot tűztek ki. Az elsőt az indulók 70 %-a, a másodikat pedig az indulók 60 %-a oldotta meg. Minden induló megoldott legalább egy feladatot, és kilencen mindkét feladatot megoldották. Hányan indultak a versenyen? 2) Számológép használata nélkül állapítsa meg, melyik nagyobb a következő számok közül: vagy Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 62

Példák II. 3) Fejezze ki c-vel az alábbi kifejezéseket, ha. Tegye meg a szükséges kikötéseket is! 4) Hozza egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket: Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 63

Példák III. 5) Végezze el az alábbi polinomos osztást. Mennyi lesz a művelet maradéka? 6) Egy háromszög egyik szöge a másik két szög számtani közepe. A két nagyobbik szög együttvéve akkora, mint a legkisebb szög háromszorosa. Mekkorák a háromszögei? 7) Melyik az az ötjegyű szám, amely után egy 1 est írva, háromszor akkora számot kapunk, mintha az elejére írnánk egy 1 -est? Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 64

Példák IV. 8) Oldja meg az alábbi egyenlőtlenséget: 9) Melyik az a legbővebb halmaz, amelyen az alábbi f(x) függvény értelmezhető? 10) Három szám összege 114. Lehetnek egy mértani sorozat első három tagja, vagy egy számtani sorozat 1. , 4. és 25. tagja is. Mely számokról van szó? Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 65

Példák V. 11) Vízszintes sík talajon álló 100 m magas felhőkarcolóból megmérjük egyenes útszakasz két végpontjának depressziószögét és az útszakasz látószögét. A mért értékek rendre 4, 5º; 5, 5 º és 75 º. Mekkora az útszakasz hossza? 12) Adja meg annak a körnek az egyenletét, amelynek középpontja a C(0; 5) pont és érinti a egyenest. Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 66

Megoldások 1) Az egyik feladatot 60%, a másodikat 70% oldotta meg, ezért mindkét feladattal 30% foglalkozott. Tudjuk, hogy ez 9 főt jelent, így a teljes létszám 30 tanuló. Ennyien indultak a versenyen. 2) Azonos átalakításokkal kapjuk: Vagyis a ? ? helyére = írható! Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 67

Megoldások 3) 4) Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 68

Megoldások 4) (folytatás) Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 69

Megoldások 5) Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 70

Megoldások 6) 7) Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 71

Megoldások 8) Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 72

Megoldások 9) Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 73

Megoldások 10) Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 74

Megoldások 11) Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 75

Megoldások 12) Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 76

Tanácsok a matematika tanulásához • • Részvétel az előadásokon Jegyzet készítése – ha nem ért valamit, akkor is! Óra után az anyag átnézése és megértése Problémás részekről konzultálás évfolyamtárssal, felsőbb évessel A gyakorlaton aktív részvétel (kérdezés!) A feladatok önálló megoldása az óra után Mintapéldák megoldása (begyakorlás) Zárthelyire készülés (csoportos feladatmegoldás) Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 77