Gazdasgelemzsi Mdszertani Tanszk OPERCIKUTATS Libor Jzsefn dr Fplet

Gazdaságelemzési Módszertani Tanszék OPERÁCIÓKUTATÁS Libor Józsefné dr. Főépület fsz. 41. liborne@szolf. hu

1, Lineáris tér Feladat: L 3 lineáris teret alkot-e? Definíció: Az L halmazt lineáris térnek nevezzük a valós számok halmaza felett, ha Minden a, b L és R esetén a, L-ben értelemezve van az összeadás a + b L és és a skalárral való szorzás; a L teljesül. b, ez a két művelet kommutatív, asszociatív és disztributív; c, L-nek van 0 -val jelölt zéruseleme; a+0=a d, minden L-beli a elemnek van –a-val jelölt, a + (-a) = 0 ugyancsak L-beli ellentettje; e, minden L-beli a elem eleget tesz az 1 a = a egyenlőségnek. Az n elemű vektorok halmaza: Ln (n = 1, 2, 3, …)

1, Lineáris tér Definíció: Az L’ az L altere ha L’ L és L’ maga is lineáris tér az L-ben definiált összeadásra és skalárral való szorzásra nézve. Tétel: L’ L akkor és csak akkor altér, ha L’ zárt az L-ben definiált összeadásra és skalárral való szorzásra nézve. Triviális altér, valódi altér fogalma Feladat: Tekintsük L 2 azon vektorait, melyek első komponense 0. Az ezen vektorokból álló L 2’ halmaz altere-e L 2 -nek ?

1, Lineáris tér Tétel: Az L lineáris tér tetszőleges a 1, a 2, … ak vektorainak összes lineáris kombinációja L alterét, mégpedig az a 1, a 2, … ak vektorok által generált alterét alkotják. Sorvektortér, oszlopvektortér fogalma Definíció: Az a 1, a 2, … ak vektorrendszert az L lineáris tér véges generátorrendszerének nevezzük, ha az általuk generált altér megegyezik L-lel. Feladat: Adja meg L 2 -ben az a=(2, 1) vektor összes lineáris kombinációja által generált L 2’ altér geometriai képét. L 2’ tartalmazza-e a következő vektorokat: 0, b=(-2, -1), c=(1, 2)

1, Lineáris tér Definíció: Az Ln tér a 1, a 2, … ak vektorait lineárisan függetlennek nevezzük, ha lineáris kombinációjuk segítségével a 0 vektor csakis triviális módon állítható elő. Ha létezik a triviálistól különböző előállítása is a 0 vektornak, a vektorrendszert lineárisan összefüggőnek nevezzük.

1, Lineáris tér Tétel 1: Lineárisan független vektorok között a 0 nem szerepelhet. Tétel 2: Lineárisan független vektorok bármilyen (nem üres) részhalmaza szintén lineárisan független vektorrendszert alkot. Tétel 3: Egy lineárisan összefüggő vektorrendszer bármilyen kibővítése szintén lineárisan összefüggő rendszer. Tétel 4: Egy vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan összefüggő, ha van olyan eleme, amely előállítható a többi elem lineáris kombinációjaként.

1, Lineáris tér Definíció: Egy b vektort kompatibilisnek nevezünk egy vektorrendszerrel, ha b kifejezhető a vektorrendszer vektorainak lineáris kombinációjaként. Definíció: Egy vektorrendszer rangja r, ha kiválasztható belőle r db független vektor, de bármely r+1 db vektora már lineárisan összefüggő rendszert alkot.

1, Lineáris tér Feladat: Vegyük az L 2 két elemét: a 1=(5, -1) és a 2=(1, -5). a, Függetlenek-e? Bázist alkotnak-e? b, Adja meg a b=(2, 3) vektort az új bázisban. Definíció: A lineáris tér egy lineárisan független elemekből álló generátorrendszerét bázisnak nevezzük, a bázis elemeit pedig bázisvektoroknak. Tétel: Egy lineáris tér a 1, a 2, … an vektorai akkor és csak akkor alkotnak bázist, ha a tér minden vektora egyértelműen előállítható az a 1, a 2, … an vektorok lineáris kombinációjaként. Definíció: Legyen a 1, a 2, … an az L lineáris tér egy bázisa. A tér egy tetszőleges a vektorának az előállításában szereplő 1, 2, …, n skalárok az a vektor adott bázisra vonatkozó koordinátái.

1, Lineáris tér Tétel: Tetszőleges L lineáris térben a bázist alkotó vektorok száma egyértelműen meghatározott. Triviális bázis Definíció: Az L lineáris tér n dimenziós, ha van L-nek n elemű bázisa. A nulltér dimenziója 0. Ha L-nek nincs véges bázisa, a tér dimenziója végtelen. Definíció: Egy A mátrix oszlop- illetve sorvektorterének dimenzióját a mátrix rangjának nevezzük és r(A)-val jelöljük.

1, Lineáris tér Definíció: Az n-ed rendű kvadratikus mátrixot szingulárisnak nevezzük, ha rangja kisebb, mint n. Ha a rangja egyenlő n-nel, a mátrix nem szinguláris. Feladat: Szinguláris-e az alábbi A mátrix?

1, Lineáris tér Feladat: L 2 -ben térjünk át a triviális bázisról az a = (2, 3) , b=(-1, 2) bázisra és írjuk fel az új bázisban a c=(-7, 0) vektort. c b a

2, Bázistranszformáció, elemi bázistranszformáció Algoritmus Legyen a 1, a 2, …, an az Ln egy bázisa. Ekkor Ln tetszőleges b és c vektora egyértelműen felírható a bázisvektorok lineáris kombinációjával: Tegyük fel, hogy b 0, így legalább b = b 1 a 1 + … + b k ak + … + b n an egy koordinátája 0, legyen ez a koordináta bk. c = c 1 a 1 + … + c k ak + … + c n an Próbáljuk meg az ak bázisvektort kicserélni b-vel és adjuk meg a c vektort ebben az új bázisban!

2, Bázistranszformáció b felírásából kifejezve ak-t: ak = 1/bk b – b 1/bk a 1 - … - bn/bk an Ezt beírva c kifejezésébe, megkapjuk az új (a 1, …, b, …, an) bázisban a c koordinátáit: c = c 1 a 1 + … + ck(1/bk b – b 1/bk a 1 - … - bn/bk an) + … cnan = ck/bk b + (c 1 - b 1/bk)a 1 + … + (cn- bn/bk)an Példa: Legyen L 2 -ben a = (2, 3), b = (-1, 2) és c = (-7, 0). a, Az a és b vektor bázist alkotnak-e L 2 -ben? b, Adjuk meg a c vektort az új bázisban!

2, Bázistranszformáció Általános séma: 1, A bázisból ki- illetve az oda belépő vektor kiválasztása. (generáló elem 0 ! ) 2, A meghatározása. 3, További koordináták meghatározása (régi koordinátából kivonjuk a bázisba bekerült vektor ugyanannyiadik koordinátájának -szorosát). Megjegyzés: ha a = 0, akkor a vektor koordinátái nem változnak az új bázisban sem. Táblázatos felírással az algoritmus egyszerűsödik.

2, Bázistranszformáció Alkalmazások: - vektorrendszer függetlenségének vizsgálata, - vektorrendszer rangjának meghatározása, - mátrix rangjának meghatározása, - kompatibilitás vizsgálata, - mátrixfaktorizáció: A = A 1 A 2, ahol A 1 oszlopvektorai bázist alkotnak A oszlopvektorterében, A 2 oszlopvektorai pedig az A oszlopvektorai az új bázisban felírt koordinátákkal.

2, Bázistranszformáció Legyen b = [4, -3, 1, -3]*, valamint b kompatibilis-e az A oszlopvektorrendszerével?

3, Lineáris egyenletrendszer Az n ismeretlenből és m egyenletből álló egyenletrendszer általános alakja: a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1 nxn = b 1 Mátrixjelölésekkel: a 21 x 1 + a 22 x 2 + … + a 2 nxn = b 2 Ax = b … am 1 x 1 + am 2 x 2 + … + amnxn = bm Elnevezések: - homogén: b = 0 - inhomogén: b 0 - konzisztens - reguláris

3, Lineáris egyenletrendszer Megoldhatóság vizsgálata: az egyenletrendszer írható a következő formában: a 1 x 1 + a 2 x 2 +… + anxn = b, vagyis b az A oszlopvektorainak egy lineáris kombinációja Az Ax = b egyenletrendszer akkor és csak akkor megoldható, ha b kompatibilis az A oszlopvektoraival. (Ez homogén esetben mindig teljesül. ) Kompatibilitás vizsgálata bázistranszformációval!

3, Lineáris egyenletrendszer Bázisba került változók: kötött változók, Bázisba be nem került változók: szabad változók. Megoldás lehet: - általános: szabad és kötött változókkal felírva - partikuláris: szabad változóknak konkrét értékeket adva, a kötött változók értékei kiszámolhatók - bázismegoldás: olyan partikuláris megoldás, ahol a szabad változók értéke egyenlő 0 -val. Szabadságfok: szabad változók száma

2, Bázistranszformáció Legyen b = [4, -3, 1, -3]*, valamint Oldjuk meg az Ax = b egyenletrendszert!

3, Lineáris egyenletrendszer Mátrix inverze: AX = E illetve YA = E. Belátható, hogy X = Y, így elég megoldani az egyiket: Ax 1 = e 1 Ax 2 = e 2 … Axn = en ahol A kvadratikus mátrix. Mind az n egységvektornak benne kell lennie az A oszlopvektorterében, vagyis az A oszlopvektorai lineárisan függetlenek kell, hogy legyenek. Így a mátrix rangja n, vagyis A nem szinguláris mátrix.

3, Lineáris egyenletrendszer Határozzuk meg a következő mátrixok inverzét!

4, Lineáris programozás Probléma felvetése: Egy üzem kétféle iparcikket állít elő. Az első cikk egy darabjának közvetlen anyagszükséglete 100. -Ft, a második cikknél ez az összeg 200. - Ft. Egy gyártási időszakban maximálisan 1000. -Ft áll rendelkezésre erre a célra. Az első cikknél géphasználati költség is van, egységre 100. Ft, ebből 600. -Ft áll rendelkezésre. A második cikkhez szükséges anyagot messziről szállítják, a szállítási költség 200. -Ft egységre, ebből 800. -Ft a kapacitás. A munkabér mindkét termék 1 -1 darabjánál 200 -200. -Ft, az összesen kifizethető munkabér a gyártási időszakban 1400. -Ft. Az első termék egy darabján a tiszta nyereség 300. -Ft, a másodiknál ez az összeg 400. -Ft. Hány darabot gyártson az üzem a kétféle iparcikkből egy gyártási időszakban, hogy ne lépje túl a megadott kapacitásokat és a, maximális tiszta nyereséget érjen el? b, maximális összmennyiséget állítson elő?

4, Lineáris programozás Az adatok táblázatba foglalva, 100 Ft-ban: Erőforrások I. cikk II. cikk kapacitás Anyagktsg. 1 2 10 Gépktsg. 1 0 6 Száll. ktsg. 0 2 8 Munkabér 2 2 14 Nyereség 3 4

4, Lineáris programozás Legyen: x 1 : az első cikkből gyártandó mennyiség, x 2 : a második cikkből gyártandó mennyiség. Feltételek: x 1, x 2 0 (negatív mennyiséget nem lehet gyártani) x 1+2 x 2 10 (anyagköltségre vonatkozó feltétel) x 1 6 (gépköltségre vonatkozó feltétel) 2 x 2 8 (szállítási költségre von. feltétel) 2 x 1+2 x 2 14 (munkabérre vonatkozó feltétel) Cél: z = 3 x 1 + 4 x 2 max (össznyereség maximuma) z = x 1 + x 2 max (összmennyiség maximuma)

4, Lineáris programozás Normál feladat: x 0, Ax b, b 0, SZIMPLEX MÓDSZER z = c* x max Megoldás: Két változó esetén: grafikus módszer (szeminárium) Kettőnél több változó esetén: algebrai módszer

4, Lineáris programozás Grafikus megoldás: 1, Lineáris egyenlőtlenségek megoldása grafikusan: x 2 -re rendezés és a relációjelnek megfelelő terület kiválasztása. 2, Lehetséges megoldások halmaza (L) az egyes egyenlőtlenségekből kapott területek metszete lesz. (Hiszen a változóinknak minden feltételt ki kell elégíteniük. ) 3, L-en (általában konvex sokszög) keressük egy lineáris egyenes maximális értékét. Célfüggvényt szintén x 2 -re rendezzük, nagyobb z értékek felfelé eltolt egyeneseket jelentenek. 4, Addig toljuk az adott meredekségű célfüggvényt, míg el nem érjük L határát. Vagyis az optimum csúcspontban lesz.

4, Lineáris programozás Lineáris egyenes általános alakja: y = ax + b ahol a az egyenes meredeksége, b pedig az y tengelymetszetet jelöli. (Vagy: bármely egyenes megadható két tetszőleges pontjával. ) A mi jelölésünkben x szerepét az x 1 változó (vízszintes tengelyen), y szerepét pedig az x 2 változó (függőleges tengelyen) veszi át. Első feltétel: x 1, x 2 0 megoldás csak az I. síknegyedben lehet. Anyagköltségre vonatkozó feltétel: x 1+ 2 x 2 10 x 2 5 – 0, 5 x 1 Vagyis az x 2 = 5 – 0, 5 x egyenes és az alatta lévő terület pontjai.

4, Lineáris programozás x 2 5 – 0, 5 x 1

4, Lineáris programozás Gépköltségre vonatkozó feltétel: x 1 6 Az x 1 = 6 (az x 2 tengellyel párhuzamos) egyenes és a tőle balra lévő tartomány.

4, Lineáris programozás A két feltételnek együttesen megfelelő tartomány:

4, Lineáris programozás Szállítási költségre vonatkozó feltétel: 2 x 2 8 x 2 4 Az x 2 = 4 (x 1 tengellyel párhuzamos) egyenes és az alatta lévő terület. Munkabérre vonatkozó feltétel: 2 x 1+2 x 2 14 x 2 7 - x 1 Az x 2 = 7 - x 1 egyenes és az alatta lévő terület.

4, Lineáris programozás z = 3 x 1 + 4 x 2 max z = 24 z = 16 z=8 z = 20

4, Lineáris programozás z = x 1 + x 2 max z=7 z=6 z =4 z=2

4, Lineáris programozás Feladatunk megoldása grafikusan: 3 x 1+ x 1 + + 4 x 2 + x 2 P 2(0, 4) P 3(2, 4) P 4(4, 3) P 5(6, 1) P 1(0, 0) P 6(6, 0) P 1(0, 0) P 2(0, 4) P 3(2, 4) P 4(4, 3) P 5(6, 1) P 6(6, 0) 0 16 22 24 22 18 0 4 6 7 7 6

4, Lineáris programozás Válaszok: A, Legnagyobb nyereséget, mégpedig 2400 Ft-ot, akkor érünk el, ha az első iparcikkből 4 -et, a másodikból pedig 3 -at gyártunk. B, A maximális összmennyiséget, (7 darabot) a P 4(4, 3) és a P 5(6, 1) pontok által meghatározott szakasz minden pontja adja. Vagyis: (4, 3) + (1 - )(6, 1) ahol 0 ≤ ≤ 1.

4, Lineáris programozás Speciális esetek: a, A célfüggvény nem korlátos L-en nincs optimális megoldás. b, A feltételek ellentmondóak nincs lehetséges megoldás. c, Felesleges feltétel szerepel elhagyható.

4, Lineáris programozás Általános tapasztalatok: 1, A lehetséges megoldások halmaza (L) a síknak egyenesekkel határolt zárt tartománya. (Kivételesen lehet nem korlátos, vagy üres tartomány is, de ezekkel gyakorlati szempontból nem kell foglalkoznunk. ) L konvex sokszög. (L konvex, ha x 1, x 2 L esetén x 1 +(1 - )x 2 is eleme L-nek. , ahol 0 ≤ ≤ 1. )

4, Lineáris programozás Általános tapasztalatok: Extremális pont a halmaz azon pontja, mely a halmaz egyetlen szakaszának sem felezőpontja. 2, A növekvő hatékonyságokhoz felfelé eltolt párhuzamos egyenesek tartoznak. Így az optimális megoldás ezen egyenessereg közül a legmagasabb paraméterű, de a tartománnyal még érintkező egyenesen van. Optimális megoldás a L halmaz valamelyik csúcs(extremális)pontjában vagy két csúcspont által meghatározott szakasz pontjaiban van.

4, Lineáris programozás Szimplex módszer Nézzük újra a már megoldott feladatunkat. x 1 , x 2 0 x 1+ 2 x 2 10 Az egyenlőtlenségrendszerből x 1 6 készítsünk egyenletrendszert, hiszen annak a megoldását 2 x 2 8 már ismerjük. 2 x 1+ 2 x 2 14 Cél: z = 3 x 1 + 4 x 2 max

4, Lineáris programozás x 1+ 2 x 2 + u 1 x 1 + u 2 2 x 2 + u 3 2 x 1+ 2 x 2 u 4 = 10 = 6 = 8 = 14 Ahol u 1, u 2, u 3, u 4 0 x 1, x 2 : elsődleges ( primál) változók u 1, u 2, u 3, u 4 : másodlagos (duál) változók

4, Lineáris programozás Induló táblázatunk: e 1 e 2 e 3 e 4 u 1 u 2 u 3 u 4 -z x 1 x 2 u 1 u 2 u 3 u 4 b 1 1 0 2 3 1 0 0 10 6 8 14 0 2 2 4 0 1 0 0 0 0 0 1 0

4, Lineáris programozás u 1 u 2 u 3 u 4 -z x 1 x 2 1 0 0 2 2 2 3 4 b 10 6 8 14 0 Az első oszlopban feltüntetett változók értékei mindig az utolsó oszlopban olvashatók le. (programba bevontak) Az első sorban feltüntetett változók értékei mindig 0. (programba be nem vont változók) A jobb alsó sarokban mindig a célérté - 1 -szerese szerepel.

4, Lineáris programozás Szimplex módszer lényege: Kiindul egy lehetséges bázismegoldásból (mely mindig egy extremális (csúcs)pontot határoz meg), majd olyan új bázismegoldásra (csúcspontra) tér át, mely az előzőtől csak egy vektorban különbözik és a célérték nem rosszabb (általában jobb lesz ). Addig folytatjuk, amíg lehet, vagyis amíg el nem jutunk az optimális megoldáshoz, vagy ki nem derül, hogy nincs optimális megoldás.

4, Lineáris programozás Program javítása: Valamelyik terméket bevonjuk a termelésbe. Először azt célszerű bevonni, amelyik nagyobb hatékonysággal rendelkezik. A termelésbe bevont termékből azt a maximális mennyiséget programozzuk, amit a kapacitásadatok megengednek. (Szűk keresztmetszet. )

4, Lineáris programozás Generáló elem választásának feltételei: A, Csak olyan oszlopban választhatunk, ahol az utolsó elem negatív (célszerű a nagyobb pozitív értékű oszlopból választani). B, Generáló elem csak pozitív lehet. C, Több pozitív érték közül a szűk keresztmetszet alapján választunk. (Összevetés a grafikussal: az origóból indulva, mindig szomszédos csúcspontra lépve jutunk el az optimális megoldáshoz. )

4, Lineáris programozás Specialitások: A, Ha a tábla utolsó sorában még van pozitív elem, de felette nem tudunk generáló elemet választani (nincs pozitív elem), a feladatnak nincs optimális megoldása. B, Ha az utolsó sorban a negatív értékek mellett 0 szerepel, alternatív optimum van. (végtelen sok megoldás).

4, Lineáris programozás Szimplex módszer Nézzük az alábbi két feladatot: x 1, x 2 0 x 1 - x 2 4 2 x 1 - 2 x 2 16 -4 x 1 + 2 x 2 10 z = 6 x 1 + 5 x 2 max x 1, x 2, x 3, x 4 0 x 1 + x 3 +2 x 4 40 2 x 2 + 2 x 3 30 x 1 + 2 x 3 20 z = x 1+x 2+2 x 3+2 x 4 max

4, Lineáris programozás Dualitás Minden lineáris programozási feladathoz hozzárendelhető egy másik feladat, (a duálisa): x 0 Ax b c*x max duálisa u* 0 u * A * c* u* b min

4, Lineáris programozás Az induló szimplex táblázat a primál és duál feladat összes adatát tartalmazza: x* u A c* b

4, Lineáris programozás Ugyanazon az adathalmazon tehát két feladatot értelmezhetünk. Például: x 1 , x 2 0 u 1 , u 2 , u 3 0 3 x 1 + x 2 14 duálisa 3 u 1 + u 2 4 x 1 + 2 x 2 17 u 1 + 2 u 2 +2 u 3 6 2 x 2 12 z = 4 x 1 +6 x 2 min v= 14 u 1+17 u 2+12 u 3 max A két feladat egymás duálisa.

5, Szállítási feladat Feladat: Három malomban 40, 15 és 35 egység (tonna) liszt áll rendelkezésre. Négy sütöde szükséglete rendre 20, 30, 10 egység. Az egyes malmokból az egyes sütödékbe az egységnyi liszt szállítási költségeit az alábbi táblázat tartalmazza. Melyik malomból melyik sütödébe hány egység lisztet szállítsanak, ha a legkevesebb össz-szállítási költséget szeretnék elérni?

5, Szállítási feladat M 1 M 2 M 3 rendelé s S 1 S 2 S 3 2 0 3 20 1 1 4 30 3 2 2 30 S 4 5 1 4 10 készlet 40 15 35 90

5, Szállítási feladat xij: i. feladóhelyről a j. rendelési helyre szállított mennyiség, így xij 0 minden i, j-re. Mivel az összes rendelési igény megegyezik az összes rendelkezésre álló mennyiséggel, ezért feltételeink egyenletek formájában adhatók meg. (Malmokra illetve sütödékre felírva az adott szállítási mennyiségi adatokat. ) Írjuk fel ezeket az adott feladatunkra, majd írjuk fel az össz-szállítási költséget is!

5, Szállítási feladat Általánosítva a feladatunkat: Tegyük fel, hogy m különböző feladóhelyen az adott termékből f 1, f 2, …, fm mennyiség áll rendelkezésre. Az n rendelési hely igényei pedig: r 1, r 2, …, rn. Feltételeink: xij 0

5, Szállítási feladat Költségmátrix elemei: cij: az i. feladóhelyről a j. rendelési helyre szállított egységnyi termék szállítási költsége. Így a szállítási össz-költség: Ezen függvénynek keressük a minimumát.

5, Szállítási feladat Költségmátrix redukálása: Az optimális program szempontjából bármely szállítási feladat változatlan marad, ha a költségmátrix bármely sorának vagy oszlopának elemeit ugyanazzal a számmal növeljük vagy csökkentjük, csak a célfüggvény optimális értéke változik meg.

5, Szállítási feladat Mivel az összes igény megegyezik az összes rendelkezésre álló mennyiséggel, ezért a szállítási feladatnak biztosan létezik lehetséges megoldása. Induló szétosztás megadása: Pl. Észak-nyugati sarok módszer, disztribuciós módszer, sor- és oszlopminimum módszer

5, Szállítási feladat Pl. Észak-nyugati sarok módszerrel adjunk induló szétosztást: S 1 S 2 S 3 S 4 készlet M 1 2 1 3 5 40 M 2 0 1 2 1 15 M 3 3 4 2 4 35 rend. 20 30 30 10 90 220 120 3 5 0 110 25 1 3 4 225 410 K = 170

5, Szállítási feladat Optimumhoz közeli megoldást ad: Vogel-Korda módszer: A táblázatban képezzük minden sor és oszlop kétkét legkisebb költségelemének különbségét. Ezekkel a differenciákkal rangsoroljuk a költségelemeket. Kiválasztjuk a differenciák közül a legnagyobbat és az ehhez tartozó sor vagy oszlop legkisebb elemét lekötjük a lehető legnagyobb mennyiséggel. A kielégített sort vagy oszlopot töröljük. A peremadatokat korrigáljuk és az eljárást megismételjük a korrigált táblával.

5, Szállítási feladat Adjunk Vogel-Korda módszerrel induló szétosztást: 210 130 3 5 05 1 2 110 35 4 230 4 K = 20+30+10+15+60=135 (Kedvezőbb, mint az É-Ny-i sarok módszerrel kapott szétosztásnál. ) A pirossal jelölt viszonylatokban történik szállítás, a többinél nem. A táblázatnak n = 3 sora és m = 4 oszlopa van, 6 helyen történik szállítás.

5, Szállítási feladat Amelyik viszonylatra programozunk, azok a kötött elemek, ezek száma: n + m – 1 (ahol n és m a sorok és oszlopok száma). Ezt az értéket nevezzük kritikus számnak. Ahová nem történik programozás (szállítás) azokat a viszonylatokat szabad helyeknek nevezzük.

5, Szállítási feladat Optimalitás vizsgálata: Potenciálok módszerével (duál feladaton alapul) Minden sorhoz és oszlophoz egy-egy potenciált (ui , vj ) rendelünk úgy, hogy teljesüljön minden kötött elemre: cij = ui + vj Mivel cij annyi darab van, mint a kritikus szám (n + m -1), ui és vj pedig összesen n + m, így az egyenletrendszernek 1 szabadsági foka van. Célszerűen legyen u 1 = 0, ezután a többi érték egyértelműen meghatározható. A szétosztás akkor optimális, ha minden szabad elemre teljesül a következő: cij – ( ui + vj ) ≥ 0

5, Szállítási feladat Végezzünk optimalitás vizsgálatot az É-Ny sarok módszerrel kapott szétosztáson: ui/vj v 1=2 v 2=1 v 3=2 v 4=4 u 1= 0 220 120 3 5 u 2=0 0 110 25 1 u 3=0 3 4 225 410 ui/vj v 1=2 v 2=1 v 3=2 v 4=4 u 1= 0 220 120 3+ 5+ u 2=0 0 -2 110 25 1 -3 u 3=0 3+ 4+ 225 410

5, Szállítási feladat Program javítása: Hurok módszerrel Azt a változót érdemes bevonni a programba, amelyre cij – ( ui + vj ) < 0 (Ha több negatív is van, először a nagyobb abszolút értékűt vonjuk be. ) Def: Egy szabad elemhez tartozó hurkot megkapjuk, ha a szabad elemből kiindulva, mindig sor vagy oszlop mentén haladva, úgy jutunk vissza a kiindulási szabad elemhez, hogy irányt csak kötött elemnél változtatunk. (Sor és oszlop mennyiségösszegek nem szabad, hogy változzanak az eljárás során. ) Tétel: Táblázatunkban minden szabad elemhez létezik egy és csak egy olyan hurok, melynek egyik csúcspontja maga a szabad elem, a többi csúcspont pedig kötött elem.

5, Szállítási feladat Mekkora mennyiséget tudunk körbevinni a hurkon? A hurok sarkait a szabad elemből kiindulva (bármelyik irányba indulva), megjelöljük a + és – jelekkel. (Hiszen a szabad elemre szállítunk, de akkor azt el kell vonni abban a sorban és oszlopban valahonnan, de az így csökkentett mennyiséget pótolni kell egy másik helyen, …) A legnagyobb mennyiség amit körbe tudunk vinni, a mínuszos sarkokon lévő mennyiségek közül a legkisebb lesz. Ezzel a mennyiséggel módosítjuk a hurok sarkain lévő mennyiségeket a megfelelő + vagy – értelemben. Az új táblázattal újra optimalitás vizsgálatot végzünk és szükség esetén új javítást végzünk.

5, Szállítási feladat Végezzünk javítást , majd optimalitás ellenőrzést a feladatunknál: ui/vj v 1=2 v 2=1 v 3=2 v 4=4 u 1= 0 220 120 3+ 5+ u 2=0 0 -2 110 - 25 1 -3 u 3=0 3+ 4+ 225 410 + + - ui/vj v 1=2 v 2=1 v 3= -1 v 4=1 u 1= 0 220 120 3+ 5+ u 2=0 0 -2 110 2+ 15 u 3=3 3 -2 40 230 45 K = 155

5, Szállítási feladat ui/vj v 1=2 v 2=1 v 3= -1 v 4=1 u 1= 0 220 120 3+ 5+ u 2=0 0 -2 u 3=3 3 -2 - 110 +0 4 ++ 2 - 15 230 45 ui/vj v 1=2 v 2=1 v 3= 1 v 4=3 u 1= 0 210 130 3+ 5+ u 2= -2 010 1+ 2+ 15 + u 3=1 30 4+ 230 45 - + K =135 Alternatív optimum, más szétosztással is ugyanekkora szállítási költség elérhető.

5, Szállítási feladat Végezzük el az optimalitási vizsgálatot és szükség esetén a javítást a Vogel-Korda módszerrel kapott táblázaton. Mit tapasztalunk? Specialitások: Ha a feladóhelyeken és a rendelési helyeken lévő összmennyiség nem egyezik meg, akkor névleges állomásokat (feladó vagy rendelési helyet) iktatunk be a megfelelő mennyiséggel. Előfordulhatnak tiltott viszonylatok vagy kapacitáskorlátok az egyes feladási és rendelési helyeknél.