Opercikutats 2007 szeptember 18 oktber 2 Makai Zsuzsanna

Operációkutatás 2007. szeptember 18 –október 2. Makai Zsuzsanna Vaik. Zsuzsanna@ymmfk. szie. hu ajánlott jegyzet: Szilágyi Péter: Operációkutatás

Operációkutatás - Általános alakú LP feladat átalakítása kanonikus alakúvá Kétfázisú szimplex módszer

Ekvivalens alakú LP feladatok Két (általános alakú) LP feladat ekvivalens, ha Vagy egyik feladatnak sincs megengedett megoldása Mindkét feladatnak van megengedett megoldása és mindkét feladat nemkorlátos Mindkét feladatnak van optimális megoldása És az utóbbi két esetben egyik feladat bármely megengedett megoldásának megfeleltethető a másik feladat egy vagy több megengedett megoldása és viszont. …

Kanonikus alakú LP

Ekvivalens átalakítások 1. Lépés: konstans a célfüggvényben • Ha van konstans tag a célfüggvényben, azt elhagyjuk, minden mást változatlanul hagyunk. • Az optimális megoldás visszatranszformálása: az optimális megoldás változatlan, az optimum értéke a megfelelő konstanssal nő/csökken

Ekvivalens átalakítások 2. Lépés: maximalizálás • Ha a célfüggvényben minimalizálás szerepel, az új célfüggvényegyütthatók a régi c. f. e. ü. ( -1) szeresei, és a cél a továbbiakban a maximalizálás • Az optimális megoldás visszatranszformálása: az optimális megoldás változatlan, az optimum értéke a (-1) szeresére változik

Ekvivalens átalakítások 3. Lépés: egyenlőtlenségekből egyenletek • Minden egyenlőtlenség esetén bevezetünk egy új változót.

Ekvivalens átalakítások 3. Lépés: egyenlőtlenségekből egyenletek • Minden egyenlőtlenség esetén bevezetünk egy új változót. • feltételek esetén: hozzáadjuk az egyenlet baloldalához

Ekvivalens átalakítások 3. Lépés: egyenlőtlenségekből egyenletek • Minden egyenlőtlenség esetén bevezetünk egy új változót. • feltételek esetén: hozzáadjuk az egyenlet baloldalához • feltételek esetén: kivonjuk az egyenlet baloldalából

Ekvivalens átalakítások 4. Lépés: Minden változóra előjel megkötés • Minden olyan változó esetén, amire nincs előjelmegkötés: • A változót két új, nem negatív változó különbségével helyettesítjük

Ekvivalens átalakítások 4. Lépés: Minden változóra előjel megkötés • Minden olyan változó esetén, amire nincs előjelmegkötés: • A változót két új, nem negatív változó különbségével helyettesítjük. • Az optimális megoldás visszatranszformálása:

Normál feladat Ha ekvivalens átalakításokkal olyan kanonikus alakú feladattá alakítható, hogy az eredményként adódó mátrix tartalmaz -es egységmátrixot, és emellett a.

Ekvivalens átalakítások 5. Lépés: normalitás vizsgálat Szorozzuk meg (-1)-gyel azokat az egyenleteket, ahol a jobboldalon negatív szám áll. Minden egyes egyenletben keresünk egy olyan változót, aminek az előjele pozitív és csak abban az egyenletben fordul elő Amikre ez teljesül: Jó feltételek, jó változó -> a jó feltételeket osszuk el a jó változó együtthatójával /minden jó változó együtthatója legyen 1/

Ekvivalens átalakítások 4. Lépés: Minden változóra előjel megkötés Jó változó -> jó feltétel

Előkészítő fázis Ekvivalens átalakításokkal kanonikus alakra hozzuk a feladatot Kiválasztjuk a jó feltételeket és a jó változókat; együtthatójuk legyen 1

Előkészítő fázis Ekvivalens átalakításokkal kanonikus alakra hozzuk a feladatot Kiválasztjuk a jó feltételeket és a jó változókat; együtthatójuk legyen 1 Ha ezek után a feladat normál feladat Elkészítjük az induló bázist és a hozzá tartozó induló bázismegoldást, ill. a szimplex táblát. Majd futtatjuk a SZIMPLEX-algoritmust

kétfázisú szimplex módszer Ha az előkészítő fázis végén a kapott feladat nem normál feladat. két fázisú szimplex módszer

kétfázisú szimplex módszer 1. Fázis • Minden „nem jó feltétel”hez bevezetünk egy új, mesterséges változót.

kétfázisú szimplex módszer 1. Fázis • Minden „nem jó feltétel”hez bevezetünk egy új, mesterséges változót. • Cél a mesterséges változók összegének minimalizálása azaz az összeg (-1)-szeresének maximalizálása

kétfázisú szimplex módszer 1. Fázis • Minden „nem jó feltétel”-hez bevezetünk egy új, mesterséges változót. • Cél a mesterséges változók összegének minimalizálása az összeg (-1)-szeresének maximalizálása • Végrehajtjuk rajta a SZIMPLEX-algoritmust

kétfázisú szimplex módszer 1. Fázis 1. 26. Állítás. Az előkészítő fázis végén kapott kanonikus alakú feladatnak –és így az eredeti feladatnak is– akkor és csak akkor van megengedett megoldása, ha az első fázis optimum értéke 0. Mj. Könnyen látható, hogy az első fázis feladatában bármely megengedett megoldás célfüggvényértéke kisebb, vagy egyenlő, mint nulla.

kétfázisú szimplex módszer 1. Fázis Az 1. fázis feladatának szimplex módszerrel történő megoldása során kaptunk egy olyan szimplex táblát, amelyhez tartozó bázismegoldás optimum értéke 0. -> Alap szimplex tábla Két eset lehet: a) Nem maradt mesterséges változó a bázisban. b) Maradt mesterséges változó a bázisban.

kétfázisú szimplex módszer 1. Fázis Az 1. fázis feladatának szimplex módszerrel történő megoldása során kaptunk egy olyan szimplex táblát, amelyhez tartozóbázismegoldás optimum értéke 0. -> Alap szimplex tábla Két eset lehet: a) Nem maradt mesterséges változó a bázisban. Az előkészítő fázis végén megengedett bázisban csupa olyan változó van, ami a kanonikus alakú feladatban is szerepel. Ez egy megengedett bázismegoldása az eredeti kanonikus alakú feladatnak. 2. fázis induló szimplex táblája ; )

kétfázisú szimplex módszer 1. Fázis Az 1. fázis feladatának szimplex módszerrel történő megoldása során kaptunk egy olyan szimplex táblát, amelyhez tartozóbázismegoldás optimum értéke 0. -> Alap szimplex tábla Két eset lehet: a) Nem maradt mesterséges változó a bázisban. b) Maradt mesterséges változó a bázisban. 1. 27. állítás. Az alap szimplex táblához tartozó bázismegoldásban, a bázisban maradt mesterséges változók mindegyikének az értéke 0, azaz e tábla jobboldali oszlopában a bázisbeli mesterséges vektorok sorában mindenhol 0 áll.

kétfázisú szimplex módszer 1. Fázis b) Maradt mesterséges változó a bázisban. 1. 27. állítás. Az alap szimplex táblához tartozó bázismegoldásban, a bázisban maradt mesterséges változók mindegyikének az értéke 0, azaz e tábla jobboldali oszlopában a bázisbeli mesterséges vektorok sorában mindenhol 0 áll. (ha) Bázis(szimplex) transzformációval kivihetjük a mesterséges változókat a bázisból, és ezzel nem változik a bázismegoldás értéke!!!! (1. 28 ill. 1. 29. állítások)

kétfázisú szimplex módszer 1. Fázis b) Maradt mesterséges változó a bázisban. (ha) Bázis(szimplex) transzformációval kivihetjük a mesterséges változókat a bázisból, és ezzel nem változik a bázismegoldás értéke!!!! (1. 28 ill. 1. 29. állítások) Mi van ha még ezek után is marad mesterséges változó a bázisban? ne aggódjunk, akkor azt jelenti, hogy a kanonikus LP-nk mátrixának rangja kevesebb. Az utolsónak kapott bázistáblából elhagyjuk a mesterséges változókhoz tartozó sorokat, és így folytatjuk.

kétfázisú szimplex módszer 2. Fázis előkészítése az 1. fázis végén kapott bázistáblából elhagyjuk a mesterséges változók oszlopait Kiszámítjuk a tanult módon a célfüggvénynek megfelelő sort a szimplextáblához Szimplex algoritmus

Kétfázisú szimplex algoritmus 1. 34. állítás. Tegyük fel, hogy megoldandó LP feladatunk nem normál feladat, és hogy megoldására a kétfázisú szimplex módszer egy olyan speciális változatát alkalmazzuk, ahol a ciklizálás sem az első, sem a második fázisban nem fordul elő. Akkor fennállnak a következők: 1) A megoldandó feladatnak akkor és csak akkor nincs megengedett megoldása, ha az első fázis optimum értéke negatív. 2) A megoldandó feladatnak akkor és csak akkor van optimális megoldása, ha az első fázis optimum értéke 0, és a második fázisban a szimplex módszer olyan szimplex táblával ér véget, amelyben az optimalitás elégséges feltétele teljesül. Az adódó optimális szimplex tábla alapján nyert optimális bázismegoldást a megoldandó feladatra visszatranszformálva, annak egy optimális megoldását kapjuk. 3) A megoldandó feladat akkor és csak akkor nem korlátos, ha az első fázis optimum értéke 0, és a második fázisban a szimplex módszer olyan szimplex táblával ér véget, amelyben a nemkorlátosság feltétele teljesül.

kétfázisú szimplex módszer Első fázis: optimális megoldása negatív -> eredeti feladatnak nem létezik megengedett megoldása optimális megoldása 0 -> Második fázis: optimális megoldása áttranszformálható az eredeti feladat egy optimális megoldásává nem korlátos -> eredeti feladat is nem korlátos