FL 7 732 G 70 Statistik A Hypotesprvning

FL 7 732 G 70 Statistik A

Hypotesprövning § Vi utgår från samma grundantaganden som när vi bildade konfidensintervall: 1. stickprovet är draget som ett OSU 2. populationen som vi drog stickprovet ur är normalfördelad 3. populationsstandardavvikelsen σ är känd § Grundidé för hypotesprövning: § Ställ upp två hypoteser § Undersök hur pass sannolika hypoteserna är givet insamlade data § Bestäm baserat på det vilken hypotes vi ska tro på 2

Exempel Glödlampor som tillverkas i en viss fabrik har en lystid som kan betraktas som normalfördelad medelvärde 1600 timmar och standardavvikelse 100 timmar. Nu har man bytt en maskin i fabriken, och har därför dragit ett stickprov om 150 lampor och konstaterat att bland dem var den genomsnittliga lystiden 1618 timmar. Standardavvikelsen förefaller däremot oförändrad. Har den nya maskinen förbättrat den genomsnittliga lystiden hos fabrikens glödlampor på 5% signifikansnivå? 3

Hypotesprövning när är känd H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ > µ 0 H 1 : µ < µ 0 Valet av mothypotes bestäms av frågeställningen H 1 : µ ≠ µ 0 § Testfunktion: Ska vi tro på H 0 eller H 1? Med andra ord, för vilka värden på z ska vi förkasta H 0? 4

Ska vi tro på H eller H 1? 0 Metod 1: Kritiskt värde § α = signifikansnivå = risken att förkasta H 0 trots att den är sann § Vanliga värden på α: 5% eller 1%. § Steg 1: Välj signifikansnivå § Steg 2: Slå upp kritiskt värde i normalfördelningstabellen § Beslutsregel: om testfunktionen faller i kritiskt område förkastas H 0 5

Ska vi tro på H 0 eller H 1? Metod 2: p-värde § p-värde = sannolikheten för att vår testfunktion ska anta ett värde som det vi observerat eller ännu längre ifrån μ 0 Om p-värdet är litet är H 0 osannolik: vi är då mer benägna att tro på H 1 § Beslutsregel: om p-värdet < α förkastar vi H 0 § Vid dubbelsidig mothypotes beräknas p-värdet * 2 (varför? ) Kommentar: beslutsmetoden baserat på kritiskt värde lämpar sig bättre för handräkning. Om vi gör hypotesprövningen med dator får vi dock alltid resultatet i form av ett p-värde. 6

Hypotesprövningens fyra steg En hypotesprövning innehåller fyra steg: 1. Välj signifikansnivå och ställ upp noll- och mothypotes 2. Bestäm testfunktionen 3. Sök kritiskt värde (eller p-värdet) 4. Dra slutsatser 7

Hypotesprövning när σ är okänd Givet att 1. stickprovet är draget som ett OSU 2. populationen som vi drog stickprovet ur är normalfördelad kan vi skatta σ med § Testfunktion där värdet på t hämtas ur t-fördelningen med n – 1 frihetsgrader 8

Exempel En viss sorts påsar med kryddor påstås innehålla 4 gram. Vi kontrollmäter fyra slumpmässigt utvalda påsar och erhåller 4. 0 3. 6 3. 9 4. 1 Undersök på 5% signifikansnivå om påsarna i genomsnitt innehåller mindre än 4 gram! 9

Hypotesprövning av proportionstal H 0 : = 0 H 1 : > 0 H 1 : < 0 Valet av mothypotes bestäms av problemställningen H 1 : ≠ 0 § Testfunktion Slå upp kritiskt värde i normalfördelningstabellen eller beräkna p-värdet 10

Exempel I en stad planerar man för en omläggning av järnvägens sträckning. Ett förslag tas fram, men innan man presenterar detta för invånarna vill man pejla deras inställning genom en mindre undersökning. 300 hushåll väljs slumpmässigt ut, varav 180 ställer sig positiva till omläggningen. Kommunledningen frågar sig: är majoriteten av stadsinnevånarna positiva till omläggningen? Besvara frågan på 5% signifikansnivå. 11

Hur kan en hypotesprövning gå fel? § Typ I-fel: Att förkasta H 0 fast H 0 faktiskt är sann § Typ II-fel: Att inte förkasta H 0 fast H 1 faktiskt är sann Signifikansnivån = α: sannolikheten (risken!) för typ I-fel Sanning om populationen Beslut baserat på stickprov H 0 sann H 1 sann Förkasta H 0 Typ I-fel Korrekt beslut Acceptera H 0 Korrekt beslut Typ II-fel § Det råder ett motsatsförhållande mellan risken för Typ I-fel och risken för Typ II-fel: minskar vi signifikansnivån (= risken för Typ I-fel) ökar risken för Typ II-fel. § Inom samhällsvetenskaperna brukar man anse att α = 0. 05 ger en bra avvägning mellan typerna av fel. 12

Exempel En glassfabrikant genomför en marknadsundersökning genom att låta 10 slumpmässigt utvalda personer betygsätta smaken på en ny glassort, där betygsskalan är tiogradig och 1 står för mycket osmaklig och 10 för mycket välsmakande. Följande resultat erhålles. Pers nr Betyg 1 8 2 7 3 6 4 9 5 7 6 10 7 5 8 6 9 7 10 5 Undersök om glassens genomsnittsbetyg är 8 eller om det är högre på 5% signifikansnivå. Ställ upp hypoteser, genomför hypotesprövningen och dra slutsatser. 13