EDOs de 2 ordem lineares no homogneas Mtodo

EDO’s de 2ª ordem lineares não homogêneas Método dos coeficientes a determinar Cálculo 2 A – Turma H 1 2014. 1

EDO’s de 2ª ordem lineares não homogêneas Teorema: A solução geral da equação não homogênea dada (5) poder escrita na forma y(t) = c 1 y 1(t) + c 2 y 2(t) + Y(t), onde y 1 e y 2 formam um conjunto fundamental de soluções da equação homogênea associada, c 1 e c 2 são constantes arbitrárias e Y é alguma solução específica da equação não homogênea. Obs: Por este teorema, devemos fazer 3 coisas para resolver a equação não homogênea dada. 1 - Encontrar a solução geral c 1 y 1(t) + c 2 y 2(t) da equação homogênea associada (yh); 2 – Encontrar uma única solução Y(t) da equação não homogênea (yp); 3 – Somar as duas funções encontradas ( y = yh + yp).

Método dos coeficientes a determinar Seja y” + p(t)y’ + q(t)y = g(t) Vimos que y(t) = yh + yp é solução. Vamos ver como achar yp(t) quando g(t) é um(a): 1 - Polinômio de grau n na variável t 2 - Múltiplo de uma função exponencial 3 - Combinação linear de funções trigonométricas 4 – Produto das formas 1, 2 e 3.

Método dos coeficientes a determinar g(t) yp(t) 1 - a 0 tn +a 1 t(n-1)+. . . + an 1 -(A 0 tn + A 1 t(n-1) +. . . + An) 2 - Ae t 2 -Be t 3. 1 - cos( t) ou sen( t) 3. 2 - cos( 1 t)+sen( 2 t) 3. 1 - b 1 cos( t)+ b 2 sen( t) 3. 2 – [b 1 cos( 1 t)+ b 2 sen( 1 t)]+ [c 1 cos( 2 t)+ c 2 sen( 2 t)] (a 0 tn +a 1 t(n-1)+. . . + an)e t sen( t) ou [(A 0 tn + A 1 t(n-1) +. . . + An) e tcos( t) (a 0 tn +a 1 t(n-1)+. . . + an)e t cos( t) + ( 0 tn + 1 t(n-1) +. . . + n) e tsen( t) Neste método fazemos uma hipótese inicial sobre a forma da solução particular yp(t), mas com os coeficientes não especificados. Substitui-se, então, a expressão hipotética na equação diferencial e tentamos determinar os coeficientes de modo que a equação seja satisfeita.

Método dos coeficientes a determinar Obs: Se algum termo da expressão de yp for solução da equação homogênea associada propõe t. yp(t) para solução particular de (5). Caso t. yp(t) seja solução da equação homogênea associada então propõe-se t 2. yp(t) e assim por diante. Deste modo na prática temos: g(t) yp(t) 1 - a 0 tn +a 1 t(n-1)+. . . + an 1 –t s(A 0 tn + A 1 t(n-1) +. . . + An) 2 - Ae t 2 -t s. Be t 3. 1 - cos( t) ou sen( t) 3. 2 - cos( 1 t)+sen( 2 t) 3. 1 –t s (b 1 cos( t)+ b 2 sen( t)) 3. 2 – t s[b 1 cos( 1 t)+ b 2 sen( 1 t)]+ t s [c 1 cos( 2 t)+ c 2 sen( 2 t)] (a 0 tn +a 1 t(n-1)+. . . + an)e t sen( t) ou (a 0 tn +a 1 t(n-1)+. . . + an)e t cos( t) t s [(A 0 tn + A 1 t(n-1) +. . . + An) e tcos( t) +t s ( 0 tn + 1 t(n-1) +. . . + n) e tsen( t) De modo que s seja o menor inteiro não negativo (s = 0, 1, 2, . . . ) que garanta que nenhuma parcela de yp(t) seja solução da equação homogênea correspondente.