Chekli va cheksiz toplamlar Toplamning quvvati va kardinal

Chekli va cheksiz to‘plamlar. To‘plamning quvvati va kardinal sonlar. To‘plamning aksiomatik asoslari.

REJA 1. Daraja aksiomasi. 2. Cheksizlik aksiomasi. 3. T‘oplamlarning quvvati va ekvivalentligi. 4. Kardinal son. 5. Sanoqli va kontinual to‘plamlar. 6. Sanoqli to‘plamlarning xossalari. 7. Kantorning dioganal protsedurasi. 8. To‘plamning aksiomatik asoslari.

• Daraja aksiomasi: Har qanday A to‘plam uchun uning barcha to‘plam ostilar to‘plami P(A) yoki 2 A mavjud. • Teorema 1. n ta elementdan iborat X={x 1, x 2, . . . , xn} to‘plamning barcha to‘plam ostilar to‘plami X to‘plamda aniqlangan soni 2 n ta bo‘lgan binar funktsiyalar to‘plamiga biyektiv bo‘ladi. • Cheksizlik aksiomasi. Hech bo‘lmaganda bitta cheksiz to‘plam – natural sonlar qatori mavjud.

• Ta’rif 2. A chekli yoki cheksiz to‘plamlar oilasidan olingan X va Y to‘plamlar uchun biyektsiya mavjud bo‘lsa, u holda X va Y to‘plamlar ekvivalent deyiladi. • Teorema 2. Agar f funktsiya chekli X to‘plamni Y to‘plamga o‘zaro bir qiymatli akslantirish bo‘lsa, u holda va shartlar ekvivalent bo‘ladi. • Ta’rif 3. Cheksiz to‘plam elementlarini sonini aniqlaydigan simvolga kardinal son deyiladi.

• Natural qatorning kardinal soni α 0 simvol bilan belgilanadi va alfa nol deb kabi o‘qiladi. • Sanoqli va kontinual to‘plamlar. • 1 -xossa. Sanoqli to‘plamning har qanday qism to‘plami yoki chekli yoki sanoqli. 2 -xossa. Chekli yoki sanoqlita sanoqli to‘plamlarning yig‘indisi yana sanoqli bo‘ladi. • 3 -xossa. Har qanday cheksiz to‘plam sanoqlita elementga ega bo‘lgan qism to‘plamga ega. • Teorema. Nol va bir oralig‘idagi haqiqiy sonlar to‘plami cheksizdir.

• [0, 1] kesmadagi nuqtalar to‘plami quvvati kabi belgilanadi va kontinium deb nomlanadi. • Teorema: Natural qatorning barcha to‘plam ostilari to‘plami quvvati kontinuum quvvatiga teng.