Astronomia I Lezione n 1 Richiami di trigonometria

Astronomia I Lezione n. 1 Richiami di trigonometria piana Trigonometria sferica: le relazioni di Gauss » Dimostrazione della formula del coseno » Dimostrazione della formula del seno » Dimostrazione della quarta formula Astronomia I Lezione 01 1

Trigonometria sferica P E K F G q A O H B f C D r Q Astronomia I Lezione 01 2

r P E K F G Per definizione, in un triangolo sferico tutti i lati e gli angoli sono ≤ � H f A B O C D A c b C Q a B Astronomia I Lezione 01 3

Le relazioni di Gauss 1. Formula del Coseno cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A con le analoghe formule per gli angoli b e c cos b = cos c cos a + sin c sin a cos B cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C 2. Formula del seno A c b B C a 3. La formula analoga a quella del coseno sin a cos B = cos b sin c – sin b cos c cos A 4. Una quarta relazione particolarmente utile cos a cos C = sin a cot b – sin C cot B Astronomia I Lezione 01 4

Dimostrazione della formula del coseno A D E C B O – Consideriamo il triangolo DAE; risulta DE 2 = AD 2 + AE 2 – 2 AD AE cos A – Consideriamo il triangolo DOE; risulta DE 2 = OD 2 + OE 2 – 2 OD OE cos a – Sottraendo membro a membro otteniamo 2 OD OE cos a = (OD 2 -AD 2)+(OE 2 -AE 2)+(2 AD AE cos A) Astronomia I Lezione 01 5

A D E C B O D’altra parte per il teorema di Pitagora applicato al triangolo piano DAO risulta: (OD 2 -AD 2) = AO 2 – ed analogamente, considerando il triangolo piano OAE, risulta: (OE 2 -AE 2) = AO 2 – Pertanto si ottiene: OD OE cos a = AO 2 + AD AE cos A cos a = (OA/OD) (OA/OE) + (AD/OD) (AE/OE) cos A �cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A Astronomia I Lezione 01 6

Dimostrazione della formula del seno – Riscriviamo la formula del coseno nella seguente forma sin b sin c cos A = cos a – cos b cos c – Eleviamo al quadrato sin 2 b sin 2 c cos 2 A = cos 2 a – 2 cos a cos b cos c + cos 2 b cos 2 c – Consideriamo il primo membro; risulta sin 2 b sin 2 c (1 - sin 2 A) = sin 2 b sin 2 c - sin 2 A sin 2 b sin 2 c = = (1 - cos 2 b) (1 - cos 2 c) – sin 2 A sin 2 b sin 2 c – Pertanto la (1) diventa (1 - cos 2 b) (1 - cos 2 c) – sin 2 A sin 2 b sin 2 c = = cos 2 a – 2 cos a cos b cos c + cos 2 b cos 2 c �sin 2 A sin 2 b sin 2 c = 1 – cos 2 a – cos 2 b - cos 2 c � + 2 cos a cos b cos c funzione simmetrica di a, b, c Astronomia I Lezione 01 7

– Quindi sin 2 a sin 2 b sin 2 C = sin 2 a sin 2 B sin 2 c = sin 2 A sin 2 b sin 2 c � – Ricordiamo che in un triangolo sferico gli angoli ed i lati sono ≤ � , segue Astronomia I Lezione 01 8

Dimostrazione della formula analoga a quella del coseno • Dimostriamo la formula analoga a quella del coseno sin c cos A = cos a cos b – sin a cos b cos C • Partiamo dalla formula del coseno sin b sin c cos A = cos a – cos b cos c ed utilizziamo la formula del coseno per l’angolo c cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C segue sin b sin c cos A = cos a – cos b (cos a cos b + sin a sin b cos C) = = cos a sin 2 b – sin a sin b cos C • Dividendo per sin b ≠ 0 sin c cos A = cos a sin b – sin a cos b cos C Astronomia I Lezione 01 9

Dimostrazione della quarta formula cos C = sin a cot b – sin C cot B • Dalle formule del coseno (1) cos b = cos c cos a + sin c sin a cos B (2) cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C sostituendo l’espressione di cos c ottenuta in (2) nella (1) otteniamo cos b (1 -cos 2 a) = cos a sin b cos C + sin c sin a cos B cos b sin 2 a = cos a sin b cos C + sin c sin a cos B • Dividendo primo e secondo membro per sin a sin b otteniamo cot b sin a = cos a cos C + (sin c/sin b) cos B Usando la formula del seno (sin C/sin c) = (sin B/sin b) �(sin c/sin b) = (sin C/sin B) • �cos a cos C = sin a cot b – sin C cot B Astronomia I Lezione 01 10

Un’altra formula interessante di trigonometria sferica • Poniamo • allora ed analoghe formule per sin (B/2) e sin (C/2). Astronomia I Lezione 01 11

Esercizio • Due porti sono sullo stesso parallelo di Latitudine Nord 42° 27’. La loro differenza in longitudine è di 10 h e 25 m. Due navi A e B viaggiano alla velocità di 20 km/h da un porto ad un altro. La nave A segue il parallelo; la nave B segue la rotta lungo il cerchio massimo che passa per i due porti. Calcolare la differenza tra i tempi impiegati dalle due navi. Astronomia I Lezione 01 12

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