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Construction du cercle de MOHR G. LHERMET DDS G. VESSIERE

C’est une représentation plane du faisceau des Φ contraintes. Ce plan ( ΦConsidérons le plan du cercle (O; Considérons un point P, et une facette quelconque orientée par sa normale extérieure h Désignons par Φ Le vecteur Φh et le vecteur h déterminent un plan. Soit le point m l’extrémité du vecteur Φ L’orientation de cette intersection est de +πσ /2 par rapport à h. Les coordonnées du point m dans le plan (h; t) sont σhhh et σth. /2 hh, σth). h ; h) admet une intersection t avec celui de la facette. h, le vecteur contrainte associé à cette facette σth t h +90° m σ th σ hh h Avant de procéder à sa construction, faisons quelques rappels de cours. P O Plan des Contraintes Plan du Cercle σhh

Mettons en coïncidence le plan des contraintes avec celui du cercle (O; σhh, σth). σth t Φh m σ th σ hh h P O Plan des Contraintes σhh Plan du Cercle

Mettons en coïncidence le plan des contraintes avec celui du cercle (O; σhh, σth). σth t Φh σ th O P Plan des Contraintes σ hh m h σhh Plan du Cercle

Mettons en coïncidence le plan des contraintes avec celui du cercle (O; σhh, σth). σth t Φh σ th O P Plan des Contraintes m σ hh Plan du Cercle h σhh

Le lieu géométrique des points m dans le plan (O; σhh, σth) est un cercle. Mettons en coïncidence le plan des contraintes avec celui du cercle (O; σhh, σth). σth t Φh t m σ th σ hh P Plan des Contraintes h O P σth Φh σhh m h Plan du Cercle σhh

Le lieu géométrique des points m dans le plan (O; σhh, σth) est un cercle. σth t h Φ h m t σ hh σ th P Plan des Contraintes O P Φh m m h Plan du Cercle σhh

Le lieu géométrique des points m dans le plan (O; σhh, σth) est un cercle. σth t t m Φh σt h O P P hh m σ Φh m h Plan des Contraintes Plan du Cercle σhh

Construction du cercle de MOHR DDS

u. Son intersection avec l’axe des abscisses donne le centre du cercle I Les facettes x et y sont orthogonales, et nous devons construire le cercle à partir de Cherchons la position du point m Cherchons maintenant, la position du point m Les intersections du cercle C Toute facette, orientée par sa normale extérieure h, ZX. et m. Y Z avec l’axe des abscisses donnent les points m h sur le cercle, u Tracer le diamètre m m du cercle. Positionner les points m (7, 36) et m (28, -36). Tracer le cercle CZ de centre I x y max. Z et de rayon I Z mx Tracer les axes σ qui admet la composante tangentielle maximum σ qui n’admet pas de composante tangentielle σ la connaissance des trois valeurs : est matérialisée sur le cercle par un point m qui « matérialisent » les facettes principales du plan des contraintes hh et σth (Faire un choix d’Échelle) th th. h extrémité du vecteur contrainte Φh. σxx= 7 MPa σyy= 28 MPa σxy= 36 MPa σth 36 mx(7, 36) mα(17. 5, 37. 5 ) Φα mh(σhh, σth) Φh Z h y t 28 β 17, 5 37, 5 Y ΦY X Φh 55 36 45° σth 53° 13 20 m. Y(-20) Φh t σth P 106° 26 O m. Z(0) 7 IZ ΦX σhh m. X(55) 90° h Φ σhh 37, 5 α 17, 5 h 36 σ7 hh 28 x h Φβ -36 my(28, -36) mβ(17. 5, -37. 5 ) 10 MPa

TRICERCLE DE MOHR Connaissant les 3 contraintes principales, nous pouvons tracer les 3 cercles. Tout point m Considérons maintenant une facette h, située dans le plan XY. Considérons maintenant une facette h, située dans le plan XZ. Tout point m Isolons un cube élémentaire au point P, dans les axes XYZ. Considérons enfin une facette h, située dans le plan YZ Les 3 cercles C associé à ces facettes se situe sur le cercle C Nous en déduisons les 3 cisaillements principaux. h. Positionnons les 3 centres I h associé à ces facettes se situe sur le cercle C X, CY, et CZ ont comme rayon, X. Z Y. X, IY, et IZ. les demies différences des contraintes principales Z hx 0 h/xyz hz h 0 Φ h/xyz mh σth hy Φh hz Z P Y X hx h/xyz hy 0 mh X m. Y(-20) IX CX Φh Y σhh O m. Z(0) mh IZ IY m. X(55) CY CZ 10 MPa

Si les facettes ont une orientation quelconque. Les points mh associés à ces facettes se situent entre les 3 cercles dans la zone non hachurée. hx h/xyz hx Z h/xyz hx h/xyz hz hhy x σth hhzy Φh hz P X σth mh Φh Φh Y O m. Y(-20) IX CX m. Z(0) IZ σhh IY σhh m. X(55) CY CZ 10 MPa

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