TESTOVANIE TATISTICKCH HYPOTZ 1 PREDNKA p testovanie tatistickch

TESTOVANIE ŠTATISTICKÝCH HYPOTÉZ 1

PREDNÁŠKA p testovanie štatistických hypotéz p testy hypotéz o strednej hodnote test zhody strednej hodnoty so známou konštantou test zhody dvoch stredných hodnôt – nezávislé výbery test zhody dvoch stredných hodnôt – závislé výbery p testy hypotéz o rozptyle test zhody rozptylu so známou konštantou test zhody dvoch rozptylov p testy hypotéz o podieli p test zhody rozdelenia 2

TESTOVANIE ŠTATISTICKÝCH HYPOTÉZ vychádzame z toho, že parametre ZS nie sú známe môžeme však o nich vysloviť určité predpoklady tieto predpoklady môžeme overiť štatistickými metódami, ktoré nazývame štatistické hypotézy postup, ktorým overujeme platnosť štatistických hypotéz, nazývame testovanie štatistických hypotéz 3

TESTOVANIE ŠTATISTICKÝCH HYPOTÉZ každý test hypotézy je zameraný na overenie určitej základnej hypotézy, ktorá sa nazýva nulová hypotéza H 0 oproti nej je postavená alternatívna hypotéza H 1 cieľom testovania hypotéz je rozhodnutie o prijatí alebo zamietnutí základnej hypotézy ak zamietame základnú hypotézu, potom prijímame alternatívnu hypotézu 4

TESTOVANIE ŠTATISTICKÝCH HYPOTÉZ štatistická hypotéza môže vyjadrovať predpoklad o rovnosti parametra ZS s ľubovoľnou známou konštantou alebo parametrom iného základného súboru v tomto prípade hovoríme o H 0 hypotéze H 0: Q=Q 0 H 0: Q-Q 0=0 také hypotézy, pri ktorých sa predpokladá nerovnosť parametra ZS, sa nazývajú H 1 hypotézy 5

TESTOVANIE ŠTATISTICKÝCH HYPOTÉZ H 1 hypotézy môžu byť v rôznych tvaroch: obojstranná H 1: Q≠Q 0 jednostranné: pravostranná H 1: Q Q 0 ľavostranná H 1: Q<Q 0 6

TESTOVANIE ŠTATISTICKÝCH HYPOTÉZ parameter Q, o ktorom máme určitú hypotézu, nepoznáme odhadujeme ho pomocou výberovej charakteristiky un un je náhodná premenná, pričom predpokladáme, že poznáme jej rozdelenie 7

TESTOVANIE ŠTATISTICKÝCH HYPOTÉZ rozhodnutie o zamietnutí, resp. nezamietnutí H 0 uskutočňujeme na základe náhodného výberu nemôžeme ho urobiť s absolútnou presnosťou existuje určité riziko odhadu za predpokladu, že platí H 0, rovná sa parameter Q predpokladanej veličine Q 0 keďže est Q=un, potom rozdiel =un-Q 0 je len náhodnou chybou spôsobenou náhodným výberom 8

TESTOVANIE ŠTATISTICKÝCH HYPOTÉZ ak však H 0 neplatí, t. j. Q≠Q 0, potom sa rozdiel môže skladať z náhodnej chyby a systematickej chyby, chyby ktorá odráža skutočný rozdiel medzi parametrom ZS Q a jeho predpokladanou veľkosťou Q 0 = un-Q 0=(un-Q)+(Q-Q 0) náhodná chyba systematická chyba - rozdiel 9

TESTOVANIE ŠTATISTICKÝCH HYPOTÉZ v praxi nemožno zistiť, či rozdiel obsahuje iba náhodnú chybu alebo aj systematickú ak je však malé, pripisujeme ho iba náhodnosti výberu ak prekročí určitú veľkosť, predpokladáme, že zahrňuje aj systematickú chybu - rozdiel 10

TESTOVANIE ŠTATISTICKÝCH HYPOTÉZ rozhodnutie o zamietnutí, resp. nezamietnutí H 0 predpokladá znalosť kritickej hodnoty, ktorá rozdiel rozdelí na dve časti : pri rozdieloch < ako kritická hodnota, H 0 nezamietame pri rozdieloch ako kritická hodnota, H 0 zamietame veľkosť v konkrétnych prípadoch kolíše, je náhodnou veličinou, preto sa snažíme transformovať , ktoré je funkciou un a parametra základného súboru Q na veličinu G, ktorá má známe teoretické rozdelenie (napr. normované normálne, resp. Studentovo či iné rozdelenie) 11

TESTOVANIE ŠTATISTICKÝCH HYPOTÉZ G = f(un, Q) G = f( ) pričom funkcia hustoty náhodnej premennej G je f(g) vychádzame z platnosti H 0: Q = Q 0 a vypočítame testovaciu charakteristiku g = f(un, Q 0) rozhodnutie o výsledku testu: môžeme potom nájsť také kritické hodnoty g 1 a g 2 náhodnej veličiny G, pre ktoré platí: P(g 1 G g 2) =1 - alebo P(g 1 G g 2) = 12

TESTOVANIE ŠTATISTICKÝCH HYPOTÉZ f(g) 1 - /2 g 1 kritický obor, obor zamietnutia H 0 obor prijatia H 0 g 2 kritický obor, obor zamietnutia H 0 rozhodnutie o výsledku testu, zamietnutí, resp. nezamietnutí H 0 závisí od voľby hladiny významnosti hladina významnosti rozdeľuje obor hodnôt veličiny G 13 na obor prijatia a obory zamietnutia H 0

Testovanie štatistických hypotéz Závery testov je možné robiť dvomi spôsobmi: a) klasický (na základe kritickej hodnoty) b) moderný prostredníctvom p hodnoty (p value) P hodnota predstavuje pravdepodobnosť, že výberová charakteristika nadobudne aspoň takú hodnotu ako je skutočne zistená hodnota (hodnota testovacej charakteristiky) p hodnota = P(U>u) p hodnota = vypočítaná hladina významnosti prakticky: ak p hodnota < hladina významnosti ( ), tak H 0 zamietame ak p hodnota < 0, 05 rozdiel je preukazný ak p hodnota < 0, 01 rozdiel je vysokopreukazný 14

TESTOVANIE ŠTATISTICKÝCH HYPOTÉZ popri správnom rozhodnutí o výsledku testu: prijatí správnej hypotézy zamietnutí nesprávnej hypotézy môže dôjsť k nesprávnemu rozhodnutiu: zamietnutí správnej hypotézy – chyby I. druhu prijatí nesprávnej hypotézy – chyby II. druhu 15

TESTOVANIE ŠTATISTICKÝCH HYPOTÉZ Naše rozhodnutie Skutočnosť H 0: pravda H 1: nepravda správne Chyba II. typu Chyba I. typu správne 1 - – pravdepodobnosť prijatia správnej hypotézy – riziko zamietnutia správnej hypotézy ak sa znižuje , znižuje sa vznik chyby I. druhu = rozšíri sa obor prijatia H 0 znižovaním však rastie riziko vzniku chyby II. druhu – označuje sa ako b potom 1 -b udáva silu testu = pravdepodobnosť zamietnutia H 0 v prípade, ak je skutočne nesprávna v praxi: =0, 05, =0, 05 resp. =0, 01 16

Testovanie štatistických hypotéz chyba I. a II. druhu - graficky H 0 hypotéza H 1 hypotéza 17

TESTOVANIE ŠTATISTICKÝCH HYPOTÉZ všeobecný postup testovania: rovnosť rozdiely 1. Formulácia hypotéz hnulová hypotéza H 0 - obsahuje definíciu rovnosti halternatíva hypotéza - je opakom k nulovej hypotéze zber údajov 3. Výberové skúmanie hvytvorenie výberového súboru hvýpočet výberových charakteristík záver testu definovanie 2. Definovanie hladiny významnosti hakú pravdepodobnosť sme ochotní akceptovať pre chybu I. typu hväčšinou 0, 05 alebo 0, 01 testovanie 4. Voľba testovacieho kritéria hna základe typu testu jeho výpočet 5. Určenie kritických hodnôt 6. Rozhodnutie o výsledku testu hprijatie, resp. zamietnutie H 0 hinterpretácia 18

TESTY HYPOTÉZ O STREDNEJ HODNOTE test zhody strednej hodnoty so známou konštantou poznáme 2 nepoznáme 2 a n>30 nepoznáme 2 a n 30 test zhody dvoch stredných hodnôt nezávislé súbory: poznáme 21, 22 nepoznáme 21, 22 a n 1, n 2>30 nepoznáme 21, 22 a n 1, resp. n 2 30 závislé súbory 19

TEST ZHODY STREDNEJ HODNOTY SO ZNÁMOU KONŠTANTOU A. Test zhody strednej hodnoty so známou konštantou nech štatistický znak X má v ZS približne normálne rozdelenie X. . N ( , 2) predpokladajme, že stredná hodnota sa rovná známej konštante 0 formulácia hypotéz: H 0: m = m 0 H 1: m ≠ m 0 odhadujeme, že est = 20

TEST ZHODY STREDNEJ HODNOTY SO ZNÁMOU KONŠTANTOU a) predpokladáme, že poznáme 2 ZS (teoretický predpoklad) testovacia charakteristika u má N(0, 1) 21

TEST ZHODY STREDNEJ HODNOTY SO ZNÁMOU KONŠTANTOU b) nepoznáme 2 ZS a rozsah VS >30 est 2 = s 12 testovacia charakteristika u má N(0, 1) 22

TEST ZHODY STREDNEJ HODNOTY SO ZNÁMOU KONŠTANTOU c) nepoznáme 2 ZS a rozsah VS 30 est 2 = s 12 testovacia charakteristika t má t (n-1) rozdelenie (Studentove r. ) 23

TEST ZHODY STREDNEJ HODNOTY SO ZNÁMOU KONŠTANTOU rozhodnutie o výsledku testu: f(u) 1 - /2 -u 1 - /2 kritický obor, obor zamietnutia H 0 vak u 1 - /2 obor prijatia H 0 kritický obor, obor zamietnutia H 0 |uvyp, tvyp| < u 1 - /2, t , (n-1) H 0 nezamietame | uvyp, tvyp| u 1 - /2, t , (n-1) H 0 zamietame 24

TEST ZHODY DVOCH STREDNÝCH HODNÔT B. Test zhody dvoch stredných hodnôt – nezávislé výbery predpokladáme, že výberové súbory sú nezávislé: prvky jedného súboru nemôžu byť zároveň prvkami druhého súboru prvky sa v danom súbore neopakujú nech štatistický znak X 1 v prvom ZS má normálne rozdelenie N( 1, 12) nech štatistický znak X 2 v druhom ZS má normálne rozdelenie N( 2, 22) 25

TEST ZHODY DVOCH STREDNÝCH HODNÔT predpokladajme, že odhadované stredné hodnoty 1 a 2 sú zhodné formulácia hypotéz: H 0: m 1 = m 2 , resp. H 0: m 1 - m 2 = 0 H 1: m 1 ≠ m 2 , resp. H 1: m 1 - m 2 ≠ 0 odhadujeme, že: est 1 = est 2 = 26

TEST ZHODY DVOCH STREDNÝCH HODNÔT a) predpokladáme, že poznáme rozptyly ZS 1 a ZS 2 (teoretický predpoklad) potom aj testovacia charakteristika u má N(0, 1) 27

TEST ZHODY DVOCH STREDNÝCH HODNÔT b) nepoznáme rozptyly ZS 1 a ZS 2 a rozsahy VS 1 a VS 2 >30 est 12 = s 112, est 22 = s 122 testovacia charakteristika (po úprave), inak rovnaká ako v prípade a) u má N(0, 1) 28

TEST ZHODY DVOCH STREDNÝCH HODNÔT c) nepoznáme rozptyly ZS 1 a ZS 2 a rozsah VS 1 30 alebo rozsah VS 2 30 est 12 = s 112, est 22 = s 122 podmienka: rozptyly porovnávaných základných súborov sa rovnajú testovacia charakteristika t má t (s. v. ) rozdelenie (Studentove r. ) stupne voľnosti = n 1+n 2 -2 29

TEST ZHODY DVOCH STREDNÝCH HODNÔT d) predpokladajme, že rozptyly základných súborov 12 , 22 nepoznáme, pričom aspoň jeden z výberových súborov má malý rozsah n 1 30, alebo n 2 30. Nemôžeme však predpokladať zhodu rozptylov( 12 22 ) (Overuje sa F-testom). Môžeme použiť približný Behrens-Fischerov test zhody stredných hodnôt pri nehomogénnej variancii. 30

TEST ZHODY DVOCH STREDNÝCH HODNÔT C. Test zhody dvoch stredných hodnôt – závislé výbery = párový t-test predpokladáme, že výberové súbory sú závislé: skúmanie na tej istej štatistickej jednotke dva krát prvky sa v daných súboroch opakujú rozsahy výberových súborov sa musia rovnať 31

TEST ZHODY DVOCH STREDNÝCH HODNÔT test je založený na diferencii di=xi 1 -xi 2 formulácia hypotéz: H 0: m 1 = m 2 , resp. H 0: md = 0 H 1: m 1 ≠ m 2 , resp. H 1: md ≠ 0 testovacia charakteristika t má t (n-1) rozdelenie (Studentove r. ) 32

TESTY HYPOTÉZ O ROZPTYLE test zhody rozptylu so známou konštantou test zhody dvoch rozptylov 33

TEST ZHODY ROZPTYLU SO ZNÁMOU KONŠTANTOU A. Test zhody rozptylu so známou konštantou nech štatistický znak X má v ZS približne normálne rozdelenie X. . N ( , 2) predpokladajme, že rozptyl 2 sa rovná známej konštante 02 formulácia hypotéz: H 0: s 2 = s 02 H 1: s 2 ≠ s 02 odhadujeme, že est 2 = s 12 34

TEST ZHODY ROZPTYLU SO ZNÁMOU KONŠTANTOU testovacia charakteristika c 2 má c 2(n-1) rozdelenie (chí kvadrát r. ) § Záver testu: testu f( 2) /2 OZ 21 - /2 1 - obor prijatia H 0 ak c 2>c 21 -a/2 c 2<c 2 a/2 H 0 nezamietame v /2 OZ 2 /2 c 21 -a/2 c 2 a/2 H 0 zamietame vak 35

TEST ZHODY DVOCH ROZPTYLOV B. Test zhody dvoch rozptylov nech štatistický znak X 1 v prvom ZS má normálne rozdelenie N( 1, 12) nech štatistický znak X 2 v druhom ZS má normálne rozdelenie N( 2, 22) predpokladajme, že odhadované rozptyly 12 a 22 sú zhodné formulácia hypotéz: H 0: s 12 = s 12 H 1: s 12 > s 12 (jednostranný test) odhadujeme, že: est 12 = s 112 a est 22 = s 122 36

TEST ZHODY DVOCH ROZPTYLOV testovacia charakteristika F má F , (n rozdelenie 1 -1), (n 2 -1) f(F) (Fischerove r. ) § Záver testu: 1 - obor prijatia H 0 OZ F , (n 1 -1), (n 2 -1) ak F< F , (n 1 -1), (n 2 -1) H 0 nezamietame v ak F F , (n 1 -1), (n 2 -1) H 0 zamietame v 37

TESTY HYPOTÉZ O PODIELI test zhody podielu so známou konštantou test zhody dvoch podielov 38

A. Testy zhody podielu so známou konštantou Predpokladáme, že alternatívny znak s binomickým rozdelením je možné aproximovať na normálne rozdelenia. Predpokladajme, že podiel π sa rovná známej konštante π0 Formulácia hypotéz: H 0: π = π0 H 1: π ≠ π0 39

TEST ZHODY PODIELU SO ZNÁMOU KONŠTANTOU testovacia charakteristika u má N(0, 1) rozdelenie § Záver testu: testu §ak |u | < u 1 - /2→ H 0 nezamietame §ak | u| u 1 - /2 →H 0 zamietame 40

B. Testy zhody dvoch podielov Predpokladáme, že alternatívny znak s binomickým rozdelením je možné aproximovať na normálne rozdelenia. Formulácia hypotéz: H 0: π1 = π2 H 1: π1 ≠ π2 41

TEST ZHODY DVOCH PODIELOV testovacia charakteristika § Záver testu: §ak |u | < u 1 - /2→ H 0 nezamietame §ak | u| u 1 - /2 →H 0 zamietame u má N(0, 1) rozdelenie 42

TEST ZHODY ROZDELENIA Okrem parametrov ZS môžeme overovať aj zhodu rozdelenia s iným (teoretickým) rozdelením Označenie: G(x) empirické rozdelenie H(x) teoretické rozdelenie Formulácia hypotéz: H 0: G(x) = H(x) H 1: G(x) ≠ H(x) 43

TEST ZHODY ROZDELENIA Testovacie kritérium: ni empirické absolútne početnosti npi teoretické absolútne početnosti, ktoré vypočítame ako súčin rozsahu výberového súboru (n) a pi – pravdepodobnosť výskytu itého intervalu (spojité rozdelenie) za predpokladu platnosti H 0. podmienka testu: v každej triede npi>5 (pri nesplnení zlučujeme triedy) Platí: Testovacie kritérium má χ2 rozdelenie s ν =m-1 -p-s stupňami voľnosti, (m-počet intervalov, p-počet parametrov teoretického p rozdelenie, s-počet zlučovaných tried). 44

TEST ZHODY ROZDELENIA pi určíme prostredníctvom distribučnej funkcie vychádzajúc z: P(X<x)=F(x) …. NORMDIST(X, µ, , 1) P(x 1<X<x 2)=F(x 2)-F(x 1) P(X>x)=1 -F(x) 45

TEST ZHODY ROZDELENIA Záver: χ2 χ2( , ν) → H 0 zamietame χ2< χ2( , ν) → H 0 nezamietame Príklad: Overiť na hladine významnosti 0, 05, či rozdelenie platov pracovníkov je zhodné s normálnym rozdelením. 46

TEST ZHODY ROZDELENIA PRÍKLAD Vypočítaná hodnota testovacej charakteristiky je menšia ako kritická (tabuľková) hodnota, hodnota preto H 0 nezamietame, t. j. rozdelenie platov pracovníkov je možné považovať za zhodné s normálnym rozdelením. 47

DOBROVOĽNÉ ZADANIE (5 BODOV): Uveďte rôzne príklady na každý typ testu: a) b) c) d) e) test zhody strednej hodnoty so známou konštantou test zhody dvoch stredných hodnôt – nezávislé výbery test zhody dvoch stredných hodnôt – závislé výbery test zhody rozptylu so známou konštantou test zhody dvoch rozptylov ODOVZDAŤ PODPÍSANÉ NA PAPIERI NA NASLEDUJÚCOM CVIČENÍ, (okrem mena uviesť aj odbor a krúžok) 48

ĎAKUJEM ZA POZORNOSŤ 49