Nmeros Complejos Circuitos Elctricos II Definicin La unidad

Números Complejos Circuitos Eléctricos II

Definición La unidad imaginaria j se define como la solución positiva de la ecuación j 2 + 1 = 0. Es decir, De la definición se tiene que, j 2 = – 1 j 3 = j j 2 = –j j 4 = j 2= (– 1) = 1 etcétera

Un número imaginario puro es el producto de un número real y la unidad imaginaria. Por ejemplo: j 5, – j 3. 5, j 7 x 10– 5. Un número complejo es la suma de un número imaginario puro y un número real. En general será de la forma A = a + jb. Utilizaremos el tipo negrita para los números complejos, al escribirlos a mano se usará una barra sobre la letra. En el número A = a + jb, a es la parte real de A y b es la parte imaginaria de A. Estas se designan por a = Re[A] y b = Im[A].

Un número real es un número complejo cuya parte imaginaria es cero. Los número complejos se pueden representar en el plano utilizando el eje horizontal para la parte real y el vertical para la parte imaginaria. A esta representación se le llama diagrama de Argand. En la figura se representan los números complejos A = 3 – j 2 y B = – 4 + j 3.

Definición de igualdad Dos número complejos son iguales si y solo si las partes reales son iguales y las partes imaginarias son iguales. Es decir, Si A = a + jb y B= c + jd A = B implica a = c y b = d

Operaciones con complejos Suma: (a + jb) + (c + jd) = (a + c) + j(b + d) Resta: (a + jb) – (c + jd) = (a – c) + j(b – d) Multiplicación: (a + jb)(c + jd) = (ac – bd) + j(bc + ad)

El conjugado de un número complejo A = a + jb se define como A* = a – jb. Con esta definición podemos calcular el cociente de dos complejos A = a + jb y B= c + jd como A/B = (AB*)/(BB*) División: (a + jb)/(c + jd) = ((ac + bd) + j(bc – ad))/(c 2 + d 2)

Tarea #1 Sean A = – 4 + j 5, B = 3 – j 2, C = – 6 – j 5; determine a) C – B b) – 3 B* +5 C c) j 5 C 2(A + B)* d) B Re[A] + A Re[B] e) (A + B)/(C – B)

Identidad de Euler Las funciones sen q, cos q y ez , se pueden desarrollar en series de potencias como: haciendo z = jq, se obtiene

comparando con las series para seno y coseno se concluye que e jq = cos q + jsen q es fácil mostrar que cos q = ½(e jq + e– jq ) sen q = -j ½(e jq – e– jq )

Forma exponencial Multiplicamos e jq = cos q + jsen q por C Ce jq = Ccos q + j. Csen q La segunda parte de la igualdad representa un número complejo A = a + jb. Es fácil ver que a 2 + b 2 = C 2 También b/a = tan q También A = Ce jq o o q = tan– 1 b/a

Tarea #2 Exprese los siguientes números complejos en forma exponencial utilizando un ángulo en el intervalo de – 180° a) – 18. 5 – j 26 b) 17. 9 – j 12. 2 c) – 21. 6 + j 31. 2 Exprese cada uno de los números complejos en forma rectangular a) 61. 2 e–j 111. 1° b) – 36. 2 ej 108° c) 5 e–j 2. 5 ojo el ángulo está en radianes

La forma polar La forma compleja A = Ce jq se puede abreviar como A= C q. Por ejemplo el número A = – 2 + j 5 puede escribirse como 5. 39 111. 8º. La multiplicación y división de complejos es más simple utilizando la forma polar. Sea A = Ce jq = C q y B = De jf = D f, entonces (A)(B) = (C q)(D f) = CD q+f (A)/(B) = (C q)/(D f) = C/D q-f

Relación entre las 3 formas La siguiente fórmula resume las tres formas de complejos

Tarea #3 Exprese el resultados de cada una de esta manipulaciones de números complejos en forma polar, utilizando seis cifras significativas, solo por disfrutar del cálculo: a) (3. 44 25°*8. 04 – 46°)/4. 5 56° b) [2 – (1 – 41°)]/(0. 3 41°) c) 50/(2. 87 83. 6°+5. 16 63. 2°) d) 4 18° – 6 – 75° + 5 28°

Comandos de Matlab para complejos complex(a, b) – regresa el complejo a +jb imag(c) – regresa Im[c] conj(c) – regresa c* angle(c) – regresa el angulo de fase abs(c) – regresa la magnitud de c real(c) – regresa Re[c] isreal(c) – regresa 1 si la parte imaginaria de c es 0

Ejemplos Tarea #1 A = 4 + 5 j, B = 3 – 2 j, C = -6 – 5 j; % a) C - B % b) -3 B* +5 C Resultados -3*conj(B) + 5 * C -9. 0000 - 3. 0000 i 5 2 % c) j C (A + B)* -39. 0000 -31. 0000 i j^5*C^2*conj(A + B) -3. 8700 e+002 +2. 5700 e+002 i % d) B Re[A] + A Re[B] 24. 0000 + 7. 0000 i B*real(A) + A*real(B) -0. 8000 - 0. 0667 i % e) (A + B)/(C - B)

Ejemplos 31. 9100 -125. 4333 21. 6622 -34. 2769 37. 9473 124. 6952 -22. 0318 -57. 0968 i 11. 1864 -34. 4282 i -4. 0057 + 2. 9924 i A = -18. 5 - 26 j abs(A) angle(A)*180/pi A = 17. 9 - 12. 2 j abs(A) angle(A)*180/pi A = -21. 6 + 31. 2 j abs(A) angle(A)*180/pi complex(61. 2*cos(-111. 1*pi/180), 61. 2*sin(-111. 1*pi/180)) complex(-36. 2*cos(108*pi/180), -36. 2*sin(108*pi/180)) complex(5*cos(2. 5), 5*sin(2. 5))

Tarea #4 1. Resuelva los siguientes problemas en Matlab a) Z + 2 j = 3/Z b) Z = 2*ln(2 – 3 j) c) sen Z = 3 d) tan Z = 2 j 2. Escriba una función en Matlab que acepte un complejo y lo despliegue en forma polar. 3. Utilice la función que definió para mostrar los resultados del problema 1 en forma polar.