Mecnica I 20072008 Captulo 6 Cinemtica e Dinmica

Mecânica I 2007/2008 Capítulo 6 Cinemática e Dinâmica de Rotação DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial

Mecânica I Sumário: Rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fixo Cinemática da rotação Energia de rotação Momento de inércia Momento de uma força Dinâmica da rotação Rolamento de um corpo rígido Momento angular de um corpo rígido Conservação do momento angular DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial

Mecânica I Movimento de rotação De que modo é mais fácil equilibrar o martelo? Porquê? A inércia rotacional mede a resistência à mudança do estado de rotação de um corpo. Depende da massa do corpo e do modo como esta se distribui em torno do eixo de rotação. DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial

Mecânica I Por que motivo o equilibrista usa uma vara longa durante a sua actuação? Se o gelo das calotas polares fundisse, o movimento de rotação da Terra seria afectado. De que modo? DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial

Mecânica I Momento de inércia A inércia rotacional de um corpo é medida pelo momento de inércia. Como calcular o momento de inércia de um corpo? Para uma partícula de massa m, em rotação em torno de um eixo, teremos: E c = ½ m v 2 = ½ m ω2 r 2 DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial

Mecânica I A energia cinética de um corpo rígido, constituído por n partículas em rotação em torno de um eixo, é dada pela soma das energias cinéticas de todas essas partículas: I - momento de inércia do sistema de n partículas DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial

Mecânica I Considere um aro de massa M e raio R, em rotação em torno de um eixo central e perpendicular ao plano do aro. Mostre que o respectivo momento de inércia é dado por: O cilindro maciço rola, ao longo do plano inclinado, mais rapidamente que o anel. Porquê? DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial

Mecânica I DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial

Mecânica I Momento de uma Força em Relação a um Ponto No exemplo representado, o somatório vectorial das forças aplicadas ao corpo rígido, é uma condição necessária, mas não é suficiente para o seu equilíbrio. DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial

Mecânica I Momento de uma Força em Relação a um Ponto Uma condição relacionada à tendência de rotação deve ser satisfeita, surgindo o conceito de momento de uma força em relação a um ponto O O momento é uma grandeza vectorial porque possui: módulo, direcção, sentido e ponto de aplicação. Para a figura temos: O Módulo: M 0 r d Eixo Direcção: perpendicular ao plano perpendicular a Eixo contido em Sentido: dado pela regra da mão direita Ponto de aplicação: o ponto O. DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Mo = F. r. sen = F. d

Mecânica I No plano, em problemas que envolvam sistemas de forças coplanares, o momento em O é representado por uma seta curva que indica o sentido de rotação induzido pela força. O d Anti-horário: Positivo DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Horário: Negativo

Mecânica I Em qual das situações, o homem terá mais facilidade em desapertar o parafuso? Explique. DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial

Mecânica I Decomposição de Forças Espaciais em Componentes Rectangulares z x cos , e cos são os co-senos directores DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial y

Mecânica I Momento de uma Força em Relação a um Ponto: Formulação Vectorial O momento de uma força em relação a um ponto pode ser expresso em termos de um produto vectorial: y y x z O d O A x z DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial

Mecânica I Relação entre o momento de uma força e a aceleração angular A partícula representada roda em torno de um eixo sob acção de uma força exterior. A componente tangencial da força comunica uma aceleração tangencial: F t= m a t O valor do momento desta componente em relação ao centro da trajectória é: M = F tr = ( m a t) r M = ( m r α ) r = ( m r 2 ) α DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial

Mecânica I Como m r 2 é o momento de inércia da partícula, temos que: M=Iα o valor do momento da força que actua na partícula é proporcional ao módulo da respectiva aceleração angular. Esta relação é válida para os corpos rígidos, nomeadamente em termos vectoriais: DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial

Mecânica I Consideremos um corpo rígido constituído por um número infinito de elementos de massa dm. Para cada elemento d. Ft = (dm) a t O momento de d. Ft em relação a O é d. M = r d. Ft = (r dm) a t Como a t = α r , vem d. M = (r dm) α r = (r 2 dm) α Integrando, teremos Dado que M = ∫ (r 2 dm) α = α ∫ r 2 dm I = ∫ r 2 dm , virá M=Iα DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial vectorialmente

Mecânica I REALIZAÇÃO EXPERIMENTAL Recorra ao dispositivo representado: 1 – determine o momento de inércia de um corpo. 2 – compare o momento de inércia de um corpo, em relação a um eixo que passa pelo respectivo centro de massa, com o correspondente momento de inércia, calculado em relação a um eixo que lhe é paralelo. DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial

Mecânica I Trabalho, Potência e Energia de rotação Consideremos um corpo rígido em rotação em torno de um eixo sob acção de uma força exterior. O trabalho realizado pela força ao longo do percurso ds, no intervalo de tempo dt é: O valor do momento da força em relação a O é: Então: DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial

Mecânica I Dado que o trabalho d. W é realizado pela força no intervalo de tempo dt, temos: Sendo d. W/dt a potência instantânea P, resulta que Trabalho e energia no movimento de rotação Qual a relação entre o trabalho de forças externas e a variação da energia de rotação? DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial

Mecânica I Sabemos que: Então: Integrando a expressão, obtemos como trabalho total: Variação da energia cinética de rotação Quando um arco rola sem deslizar, com velocidade de valor constante, qual é a relação entre as suas energias cinética de rotação e de translação? E no caso da roda de um carro? DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial

Mecânica I Rolamento de um corpo rígido Observemos o movimento de um cilindro de massa M e raio R, que rola sem escorregar sobre uma superfície horizontal. Quando o cilindro roda de um ângulo θ, o seu centro de massa sofre um deslocamento correspondente a s = Rθ. Deste modo DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial

Mecânica I Na figura estão representadas as velocidades lineares de alguns pontos do cilindro. Particularmente interessantes os casos dos pontos P e P’. Como justificar os vectores representados? A energia cinética do cilindro é Ec = ½ IP ω2 , em que IP é o momento de inércia em relação ao eixo que passa por P. Segundo o teorema dos eixos paralelos, IP = ICM + MR 2 Então Ec = ½ ICM ω2 + ½ MR 2ω2 e Ec = ½ ICM ω2 + ½ Mv. CM 2 DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial

Mecânica I h As duas esferas são largadas de uma altura h do plano horizontal. A primeira esfera cai livremente segundo a vertical. A segunda esfera rola ao longo do plano inclinado. Estabeleça uma relação entre os valores das velocidades terminais de translação das esferas. DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial

Mecânica I Momento angular de uma partícula Momento angular da partícula de massa m em relação a O Dado que temos que L = mvr sin φ DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial

Mecânica I Como varia o momento angular com o tempo? então ou seja O momento resultante das forças que actuam na partícula é igual à correspondente variação do momento angular E para um sistema de partículas? DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial

Mecânica I Momento angular de um corpo rígido O valor do momento angular de cada partícula que constitui o corpo rígido é dado por Li = mi ri 2ω Considerando todas as partículas constituintes do corpo, teremos LZ = Σ mi ri 2 ω = (Σ mi ri 2) ω LZ = I ω Analisando a variação com o tempo como virá DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial

Mecânica I Conservação do momento angular Em termos vectoriais e O momento angular total do sistema permanece constante se o momento resultante do sistema de forças exteriores actuante for nulo Um exemplo muito conhecido… DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial

Mecânica I A simulação exemplifica uma situação em que ocorre conservação do momento angular DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial

Mecânica I Na imagem podem observar o Tiago em plena demonstração experimental, utilizando o sistema construído, no âmbito da unidade curricular de Introdução à Engenharia. Procure explicar em que consiste a experiência. Mostre a sua utilidade na abordagem da conservação do momento angular. Não se recorda? Nada mais fácil. Repita a experiência. O sistema está disponível no Laboratório de Física. DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial

Mecânica I Referências de imagem Epstein, L. (1986). Thinking Physics is Gedanken Physics. Second Edition. Insight Press, San Francisco, USA. Hewitt, P. (1998). Conceptual Physics. Eighth Edition, Addison-Wesley Longman, Inc. , USA. Serway, R. (1992). Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics. 3 rd edition, Saunders Golden Sunburst Series, Philadelphia, London, Tokyo. http: //www. polaricechandler. com/figure_skate. htm http: //www. whfreeman. com/tipler 4 e/ DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial