Differentialligninger fr og nu Eksamensopgaver 1976 Ls differentialligningen

Differentialligninger før og nu

Eksamensopgaver 1976 • Løs differentialligningen • Tegn den integralkurve, der indeholder punktet A(1, 1) • Tegn den integralkurve, der indeholder punktet B(2, 0) 2004 • En funktion f er løsning til differentialligningen og grafen for f går gennem punktet P(-1, 4). • Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P. • Bestem forskrift og definitionsmængde for f.

Kort historisk gennemgang 1958 (grengymnasiet): • eksempler på simple differentialligninger • valgfrit emne • fortrolige med anvendelser af matematikken inden for andre fagområder 1971 (den lille gymnasiereform): • forståelse af og evne til kritisk at analysere den måde, hvorpå matematikken anvendes inden forskellige fagområder 1978: • lommeregner indføres

Eksamensopgave 1982: Om en funktion f oplyses, at f er løsning til differentialligningen og at f(0)=2. Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P(0, 2). Bestem en forskrift for f.

Eksamensopgave 1983: (5 c) I en beholder med vand er vanddybden 0, 5 m. Der åbnes for en bundventil for at tømme beholderen. Vandhøjden y, målt i meter, kan nu beskrives som en funktion af tiden t, målt i sekunder. Under tømningen aftager vandhøjden på en sådan måde, at den hastighed, hvormed vandhøjden ændrer sig, til ethvert tidspunkt er proportional med kvadratroden af vandhøjden. Med de valgte enheder er proportionalitetsfaktorens værdi – 0, 04. Vandhøjden som funktion af tiden er således fastlagt ved en differentialligning. Opskriv denne differentialligning, og bestem den tid, det tager at tømme beholderen.

1984 (standardforsøg i matematik): • differentiallignerne y’=g(x), y’=ky, y’=y(b-ay), y’=f(x)g(x) samt y’’=ky • modelaspektet - kendskab til opbygningen af matematiske modeller - indtryk af matematiske modellers anvendelsesmuligheder og begrænsninger 1987 (valggymnasiet) • differentialligninger som matematiske modeller skal omtales • hvordan anvendelse af infinitesimale betragtninger fører til opstilling af differentialligninger

Eksamensopgave 1991: En plante vokser i en potte. Plantens vægt y (målt i kg) er en funktion af tiden t (målt i uger). I en model for plantens vægt går man ud fra, at y opfylder differentialligningen Til tiden t = 0 er plantens vægt 1, 0 kg. Bestem en forskrift for y som funktion af t. Bestem den øvre grænse for plantens vægt. Hvor mange uger skal planten vokse, for at dens vægt øges fra 1, 0 kg til 90% af den øvre grænse?

2002 (standardforsøg): • alle hjælpemidler tilladt • kendskab til opstilling af differentialligninger • opnå indsigt i, hvorledes en forelagt differentialligning kan give information om karakteristiske egenskaber ved en løsning

2005 (studieretningsgymnasiet): • lineære differentialligninger af 1. orden og logistiske differentialligninger, kvalitativ analyse af givne differentialligninger samt opstilling af simple differentialligninger (kernestof) • differentialligningsmodeller, herunder både opstilling, anvendelse og løsning af differentialligninger (supplerende stof) • anvende it-værktøjer til løsning af givne matematiske problemer (faglige mål)

Modeller i Derive • Forord • 1. Introduktion til differentialligninger Hældningsfelt Eulers metode Fjerde ordens Runge-Kutta • 2. Opstilling af modeller Populationsmodeller Modeller for blandinger af stoffer Differentialligningssystemer i Derive Hvordan opstiller man modeller? • 3. Analytiske løsninger til differentialligninger af 1. orden

• 4. Projekter. 1. Kemiske reaktioner 2. Matematiske fiskerimodeller 3. Eksplosiv befolkningsvækst 4. Skarvbestanden i Danmark 5. Logistisk model med høst 6. Vækst af mug på brød 7. Mikroorganismers vækst 8. Kolesterolniveauet i mennesker 9. Radioaktivt henfald • 5. Opgaver