CORTO E VELOCE Una persona ferma in un

CORTO E VELOCE Una persona è ferma in un punto B che dista 15 m dalla riva di un fiume e deve raggiungere l’isola A posta nel fiume, che dista 20 m dalla riva. Indicando con H e K le proiezioni di A e B sulla riva, la distanza HK misura 100 m. Volendo raggiungere A, la persona deve percorrere due tratti, uno sul terreno (ad una velocità v 1) e uno nell’acqua (ad una velocità v 2). Quale punto P, appartenente ad HK, renderà più veloce il percorso da B ad A? Il percorso più corto è anche il più veloce? A K B P H

A prima vista il percorso più veloce sembra anche il più breve, quindi quello che rende minima la lunghezza BP+PA. Ricaviamo i tempi di percorrenza per stabilire se tale affermazione è vera. Il tempo di percorrenza minimo in ognuno dei tratti sarà una traiettoria rettilinea, quindi t= s/v. Il tempo totale di percorrenza dipende da v 1 e v 2 e dalla posizione di P. Esaminiamo i casi estremi: P coincidente con K; P coincidente con H P coincidente con K A P=K H B Ma a due differenti velocità!

P coincidente con H A K H=P B Ma a due differenti velocità!

Osservazioni Avremo percorsi di diversa lunghezza, al variare di P fra H e K. Se v 1>v 2 converrà che BP > PA. Il Tempo totale minimo coinvolge le velocità. A Funzione Tempo Totale: T= t 1+ t 2 =s 1/v 1 + s 2/v 2 = BP/v 1+ PA/v 2 K B Se indichiamo con x il tratto KP, allora: Nei casi estremi si ottiene per x=0 per x=100 x P H

A Se supponiamo v 1=4 m/s e v 2=1. 5 m/s K B x P H

Per determinare il valore del punto di minimo si puo’ calcolare la derivata prima T’(x) e poi applicare un metodo approssimato di ricerca degli zeri, oppure esaminare una tabella di valori di T(x), facendo variare x fra 0 e 100, oppure ancora applicare le formule di derivazione numerica.