A Tisza rvizeinek statisztikai elemzse rvizek hevessge intenzitsa

A Tisza árvizeinek statisztikai elemzése Árvizek hevessége, intenzitása és a levonulási idő Beke Aliz Gáspár Sándor ELTE TTK,

Bevezetés • Vízügyi mérésekkel a 19. Század közepe óta foglalkoznak. Matematikai statisztikai vizsgálatokat az ‘ 50 -es évektől kezdve végeznek. Nem lehet eléggé hangsúlyozni ezek fontosságát. 2

Az árvíz jellemzői • • • Tetőző vízállás (árhullám csúcs, cm) : H Vízhozam (m 3/s) : Q Levonulási idő (nap) : L Intenzitás (cm/nap) : I Növekedési idő (nap) Ezen kívül számos jellemző van, de mi ezekkel foglalkoztunk. 3

A probléma Záhony • A fő feladat: A Záhony -Szolnok közötti levonulási idő meghatározása • Ezzel kapcsolatos további kérdések: – Előrejelzés – Kapcsolat más változókkal Szolnok 4

Vázlat • A vizsgálandó árvizek kiválasztása • A minta előállítása • Homogenitás- és függetlenség-vizsgálatok elméleti módszerei • Ezen vizsgálatok eredményei • Leíró statisztikák számítása és eloszlásfüggvény illesztés • Regresszió (egy ill. kétváltozós) • Értékelés 5

Az adatokból a minta előállítása • Adottak a záhonyi vízállás adatok 1901 -1999 • A záhonyi árhullám csúcsok kiválogatása a metszék módszerrel ( 400 cm) • Ezekhez tartozó szolnoki csúcsok beazonosítása • Időpont különbségek: levonulási idő • Vízhozamok meghatározása ezekhez az árhullámokhoz 1970 -1999 • A 200 cm-es vízszintről indulva hány nap alatt éri el az ár a csúcsot: növekedési idő • Ezen árhullámok napi vízszint emelkedése: intenzitás 6

• Záhonyi vízszint adatok: ~136 ezer mérés • Szolnoki vízszint adatok: ~70 ezer mérés • Kb. 300 záhonyi árhullám csúcsot adott ki a program, 400 cm-es metszék esetén • Nagyon sok, a mintába nem illő adatot észleltünk. Pl. : – 40 -50 napos levonulási idő – egymás után rövid időközzel (1 -2 nap) jelentkező árhullámok 7

A minta előkészítése • A minta átvizsgálása a Vízrajzi Évkönyvek alapján és a nem bele illő adatok kihúzása: – mérce 0 -pont változás – hiányzó adatok – azonos szolnoki tetőzéshez tartozó csúcsok közül egy kiválasztása • Reprezentativitás • Homogenitás-vizsgálat • Függetlenség-vizsgálat Ezek eredményei alapján kell kiválasztani a vizsgálandó időszakot. 8

Homogenitás-vizsgálat • A kérdés, hogy a minta elemek azonos eloszlásból származnak-e – H 0 : a minta elemek ugyanabból a populációból valók – H 1 : nem áll fenn a nullhipotézis A minta részeire végzünk többmintás homogenitás-vizsgálatot (erre többféle módszer létezik) 9

Homogenitás-vizsgálat Kolmogorov-Szmirnov-próbával • Feltétel : nagy mintaelemszám , N 60. • Előny : A mintát nem kell felezni , kettévágás úgy, hogy teljesüljön a következő: • A statisztika : ahol dkl a két részminta tapasztalati eloszlásfüggvénye közötti maximális eltérés. 10

• Szmirnov-tétele: Ha a minta homogén , független és a kettévágásra a feltételek teljesülnek , akkor Z Kolmogorov eloszlású. • A döntés alapját képező valószínűség: ahol L(z) a Kolmogorov eloszlásfüggvénye. • Ha p 5%, akkor elfogadjuk a minta homogenitását , ha a függetlenség vizsgálata is elfogadható eredménnyel zárult. 11

Függetlenség vizsgálat • Azt teszteljük, hogy a minta elemei egymástól függetlenek-e – H 0 : a minta elemei függetlenek – H 1 : nem függetlenek • Többféle módszer ( 2 -próba, Wilcoxonpróba, Wald-Wolfowitz-próba) 12

Függetlenség-vizsgálat Wald-Wolfowitz-próbával • A minta : X 1, X 2, …XN Legyen • Wald-Wolfowitz tétel : Ha N 30, a minta homogén és független , akkor R jó közelítéssel normális eloszlású. • Tehát standard normális eloszlású. 13

• , ahol • A döntés alapját képező valószínűség : • Ha p 5%, akkor a mintaelemek függetlenségét elfogadjuk, ha a homogenitás is elfogadható eredménnyel zárult. 14

A levonulási idő 1933 Az első 50 adat (33 év) eltérő struktúrát mutat. 15

A homogenitás- és függetlenségvizsgálatok eredményei • A Műszaki Hidrológiai programcsomaggal lefuttatott összetett homogenitás-vizsgálat eredménye 30 -70%-os szignifikancia szintekkel. 16

• A levonulási idő csak 1933 -tól 1999 -ig homogén és független. Oka: gátépítés és hiányzó évkönyvek. • A szolnoki adatok nem mutatnak homogén és független struktúrát, mivel az adatokat a záhonyi csúcsok alapján választottuk ki. 17

• Az intenzitás helyett jobb a növekedési idővel számolni. Ok: az intenzitások számításában a záhonyi csúcsok is szerepelnek • Megj. : Az eredmények függenek a kockázati szintek megválasztásától (5 -30 -70% szignifikancia) Azoknál a vizsgálatoknál, ahol több változó is szerepel, az alapján választjuk meg a megfelelő időszakot, hogy mindegyik változó homogénnek és függetlennek tekinthető legyen. 18

Leíró statisztikák Levonulási idő • Tehát átlagosan 8 nap alatt vonul le az ár Záhony és Szolnok között, 4 napos szórással. • A várható értéktől nagyon eltérő értékek is előfordulnak 19

Eloszlásfüggvény illesztése Levonulási idő • A hisztogram alakjából a lognormális eloszlás sejthető • Az illeszkedés vizsgálat eredménye: p=38, 4%-os kockázati szinten a lognormális eloszlást követi 20

A levonulási idő logaritmusa A hisztogramra illesztett görbe a normális eloszlásfüggvénye , N(0. 86, 0. 21) 21

Leíró statisztikák Intenzitás • Átlagosan kb. 100 cmt emelkedik naponta a vízszint árvíz idején • A minta 75%-a 125 nél kisebb, 25%-a 125 és 376 között van nagyon extrém értékek is előfordulnak, de nem nagy számban 22

A záhonyi csúcsok • A kis szórás ellenére a várható értéktől nagyon eltérő adatok is fellépnek • A hisztogram alakjából egy alsó korlátos eloszlás sejthető • A Gumbel eloszlás p=96, 2%-os kockázati szinten illeszkedik 23

„Scatterplot” Az ábrából leolvashatók a korrelációk nagyságai, ugyanakkor látható az adatok nagy szóródása. 24

A változók közti korrelációk • A levonulási időt a záhonyi vízszint és vízhozam egyformán befolyásolja • A levonulási idő az intenzitással negatívan korrelál • A vízszintek és vízhozamok nagy mértékben meghatározzák egymást • A két szelvény vízszintjei és vízhozamai pozitívan korrelálnak 25 Mércekapcsolati egyenes

Mércekapcsolati egyenes Becsült érték 95%-os konfidencia sáv 26

A tetőzés értékének becslése a vízhozamból Lineáris : H=0, 16 Q+190 -R 2=0, 87 -St. hiba: 30, 3 Kvadratikus: H=3, 49 Q 2+0, 33 Q+8, 1 -R 2=0, 89 -St. hiba: 28, 19 27

A levonulási idő becslése Levonulási idő és a vízszint 28

Levonulási idő és vízhozam 29

Levonulási idő és intenzitás 30

Kétváltozós regresszió • Abból indulunk ki, hogy a függő változó melyik változóval korrelál a legjobban egyik független változó • Ezután azt választjuk a másik független változónak, amelyiknek a legnagyobb abszolút értékű a parciális korrelációja a függő változóval, feltéve az első független változót. 31

Eredmények: • 1. ) A levonulási idő a vízhozammal és a vízszinttel kb. egyformán (0, 294) korrelál – A maximális parciális korrelációk: • R(Lev. idő, Intenzitás Vízszint)=-0, 3926 • R(Lev. idő, Intenzitás Vízhozam)=-0, 3756 • 2. ) A levonulási idő és az intenzitás korrelációja a második legnagyobb (-0, 26) – a maximális parciális korreláció: • R(Lev. idő, Vízhozam Intenzitás)=0, 2429 – Megj. : ugyanazokat a független változókat kaptuk, mint az első pontban a vízhozam esetén 32

Levonulási idő (Intenzitás, Vízszint) L=0, 0096 H-0, 016 I+0, 81 Reziduálisok 33

Levonulási idő (Intenzitás, Vízhozam) L=-0, 0228 I+0, 00178 Q+7, 12 Reziduálisok 34

Az előrejelzés hibái • Minél jobban eltér az átlagostól a levonulási idő, annál nagyobb hibákat kapunk • A hibák korrelációja a levonulási idővel 0, 886 35

Regressziók eredményei • Az egyváltozós regresszió nem használható előrejelzésre, mivel nagyok a hibák • A legjobb illesztést az intenzitás és a vízhozam esetén kaptuk. Mivel a hibák korrelációja a levonulási idővel nagy, ezért az átlagos árvizek levonulási idejét jól tudjuk becsülni. 36

Metszék szintjének emelése 500 -ra • Az adatok függetlensége és homogenitása elromlik • A várható érték becslése nagyobb, hiszen a levonulási idő pozitívan korrelált a záhonyi vízszinttel • Az adatok szórása nem változott 37

Az adatok még mindig nagy szórást mutatnak a metszék emelése nem segít 38

Összefoglalás • Az árvíz átlagosan 8 nap alatt vonul le • A legjobb közelítést a vízhozam és az intenzitás segítségével kaptuk • A 400 cm-es szint választása tűnik optimálisnak • Nagy szórás mellékvízfolyások nagyon befolyásolóak 39

• Hasznos lenne a Bodrog és a Körösök figyelembevétele • Az adatsor szétválasztása pl. abból a szempontból, hogy áradt-e a Bodrog • A hidrológiai statisztikai vizsgálatokat más nézőpontból (pl. idősoranalízis) lenne célszerű folytatni. 40

Irodalomjegyzék • Csoma J. -Szigyártó Z. : A matematikai statisztika alkalmazása a hidrológiában • Reimann J. -Tóth J. : Valószínűségszámítás és matematikai statisztika • Zbigniew W. Kundzewicz and Alice Robson : Detecting trend and other changes in hidrological data • Zorkóczy Zoltán : Árvízvédelem • Kontur-Koris-Winter : Hidrológiai számítások I-II. • Markó Cs. -Zsuffa I. : Magyarország vizeinek műszakihidrológiai jellemzése • Vízrajzi évkönyvek • VITUKI Központi Vízrajzi Adattár 41

42