Theoretische Informatik und Algorithmen Post und Kleene Agenda

Theoretische Informatik und Algorithmen Post und Kleene

Agenda: 1. Einleitung 2. Post 2. 1 2. 2 2. 3 2. 4 3. Biographie Wissenschaftliche Tätigkeit Bekannte Theorien Bedeutung für die Informatik Kleene 3. 1 3. 2 3. 3 3. 4 Biographie Wissenschaftliche Tätigkeit Bekannte Theorien Bedeutung für die Informatik

Ausgangslage Ende der 20 er Jahre: Weltweite Kontroversen zwischen Mathematikern Grund: Begriff des Algorithmus 1. 2. 3. 4. Axiomatischer Ansatz (Church, Kleene) Maschinen-Ansatz (Turing) Semiotischer Ansatz (Markov, Post) Beweistheoretischer Ansatz (Gödel)

EMIL LEON POST 11. Februar 1897 in Augustów, Polen † 21. April 1954 in New York, USA • 1904 Emigration in die USA • Studium am City College, New York • „Postgraduate Research“ an der Columbia University • 1920 Promotion • 1 -jähriger Aufenthalt als „Proctor Fellow“ in Princeton, dann Rückkehr nach Columbia • 1932 Anstellung am City College

Wissenschaftliche Tätigkeit (Post) Die bekanntesten Veröffentlichungen: • Introduction to the General Theory of Elementary Propositions (1920) • Finite Combinatory Processes (1936) • Recursively Enumerable Sets of Positive Integers and their Decision Problems (1944)

Wissenschaftliche Tätigkeit (Post) Die bekanntesten Theorien • „Fließbandarbeiter“ • Postsches Korrespondenzproblem = „Klassiker“ der Unendscheidbarkeit • Untersuchung der Systeme der mehrwertigen Aussagenlogik

Postscher Fließbandarbeiter • • Bewegung in Symbolraum (= unendliche Folge von Feldern, sind leer oder enthalten Markierung) „Arbeiter“ führt in (auf) diesem Band folgende Anweisungen (Operationen) aus: a) b) c) d) e) Marking the box he is in (assumed empty) Erasing the mark in the box he is in (assumed marked) Moving to the box on his right Moving to the box an his left Determining whether the box he is in, is or is not marked

Bedeutung für die Informatik (Post) • • • 1936 unabhängig von Turing Entwicklung der gleichen Idee, auf Basis der Beobachtung und Abstraktion der Realität Beide verbinden mit einem Algorithmus etwas „Mechanisches“ Einziger Unterschied Turing = Maschine Post = Fließbandarbeiter Idee: „Postsche Papierfabrik“ = Gedankenexperiment

Postsches Korrespondenzproblem • • • Beweis der Unentscheidbarkeit Einführung einer Klasse von konkreten Problemen nach dem Turing-Berechenbarkeitsmodell nicht lösbar PKP ist entschieden für P = 1 und P = 2 Für P >= 7 ist die Unentscheidbarkeit bewiesen Offen ist die Entscheidbarkeit für 3 <= P <= 6

Stephen Cole Kleene 5. Januar 1909 in Hartford, Conneticut, USA † 25. Januar 1994 in Madison, Wisconsin, USA • Studium am Amherst College, 1930 BA • 1934 Promotion in Princeton • 1935 University of Wisconsin, Madison • 1948 Status eines „full professor“ in Madison, bleibt dort bis • 1979 Rente

Wissenschaftliche Tätigkeit (Kleene) Die bekanntesten Veröffentlichungen: • Introduction to Metamathematics (1952) • Mathematical Logic (1962) • The Foundations of Intuitionistic Mathematics (1965, zusammen mit Richard E. Vesley)

Wissenschaftliche Tätigkeit (Kleene) Die bekanntesten Theorien: • Reguläre Ausdrücke • Definition des Algorithmusbegriffs, Algorithmentheorie • Berechenbarkeit Entscheidbarkeit

Weitere bekannte Theorien • • • Theorie rekursiver Funktionen partielle rekursive Funktionen „Kleene‘s Theorem“ Begründete Hierarchie der arithmetischen Mengen Behandelt Probleme der klassischen Interpretation intuitionistischer Logik + Mathematik Automatentheorie: Kalkül der regulären Ereignisse

Algorithmus „An algorithm is a finitely described procedure, sufficient to guide us to the answer to any one of infinitely many questions, by finitely many steps in the case of each question. “ (Kleene) Beinhaltet alle Eigenschaften des intuitiven Algorithmusbegriffs • • • Eindeutigkeit Endlichkeit Determiniertheit Unterscheidbarkeit Allgemeinheit

Berechenbarkeit vs Entscheidbarkeit 1. Yes-or-no Questions Algorithmus ist entscheidbar 2. What-Questions Algorithmus ist berechenbar

Lambda-Definierbarkeit • • Von Kleene und Church in den 30 er Jahren entwickeltes Konzept Kleene bewies 1936 die Äquivalenz von allgemeinrekursiven und Lambda-berechenbaren Funktionen Jede algorithmisch berechenbare Funktion ist intuitiv. (Church)

Schlussbemerkung Post und Kleene sind weniger bekannt als Turing und Church, sie sind jedoch genauso wichtig wie ihre bekannteren Kollegen.