Sylwetka Maclaurina Trysekcja Maclaurina 13 Colin Maclaurin 1698

Sylwetka Maclaurina Trysekcja Maclaurina 1/3 Colin Maclaurin (1698 -1746) studia uniwersyteckie podjął w Glasgow mając 11 lat. W wieku 19 lat został profesorem Uniwersytetu w Aberdeen, a od r. 1725 piastował na Uniwersytecie Edynburskim stanowisko szefa katedry, rekomendowany nań przez Izaaka Newtona (1642 -1727). W roku 1740 uhonorowany został w Paryżu nagrodą tamtejszej Academie des Sciences, wraz z nim takie same wyróżnienie otrzymali Leonhard Euler (1707 -83) i Daniel Bernoulli (1700 -82, syn Johanna, autor Hydrodynamica). Już w Glasgow jego nauczyciel, Robert Simson (1687 -1768, redaktor wydania ksiąg 1 -6, 11 i 12 Elementów Euklidesa), zaraził go entuzjazmem do problemów geometrycznych postawionych w starożytnej Grecji. W opublikowanej w r. 1719 Geometria organica sive descriptio linearum curvarum universalis podejmuje Maclaurin ważne problemy dotyczące m. in. stożkowych i krzywych kubicznych. Próbując rozwiązać problemy starożytnych Greków zdefiniował, w roku 1742, krzywą, dziś zwana krzywą Maclaurina albo trysektrysą Maclaurina, i za jej pomocą przeprowadził trysekcję kąta. Szereg, zwany powszechnie szeregiem Maclaurina, nie był obiektem jego dociekliwości, choć pisał o nim np. w r. 1742 w Treatise of Fluxions. Pierwsze wyrażenia, które obecnie nazywane są rozwinięciami Maclaurina i Taylora, podał w swej książce Methodus incrementorum directa et inversa James Gregory (1638 -75), z którym Brook Taylor (1685 -1731) współpracował.

Równania krzywej Maclaurina Trysekcja Maclaurina 2/3 Krzywa Maclaurina zdefiniowana jest w układzie Oxy współrzędnych prostokątnych (x, y) wzorem x = 1– 4 cos 2(t) y = {1– 4 cos 2(t)}·tg(t), t (– /2, /2). Na rysunku obok widzimy tę krzywą i jej łuk prowadzący przez III ćwiartkę układu współrzędnych od punktu A do punktu O (a więc gdy t biegnie od 0 do /3). Linią kropkowaną wkreślony jest okrąg o środku w (– 3/2, 0). Podstawiając u = tg(t) możemy równaniu krzywej Maclaurina nadać postać x = (u 2– 3)/(u 2+1), y = u·(u 2– 3)/(u 2+1). Otrzymamy równanie bezpośrednio wiążące odciętą x i rzędną y dowolnego punktu na krzywej Maclaurina. Ponieważ cos(t) = {1–x}1/2/2, więc sin(t) = {1–cos 2(t)}1/2 = {3+x}1/2/2 i dlatego y = {1– 4 cos 2(t)}·tg(t) = {1– 4·(1–x)/4}·{1–x}1/2/{3+x}1/2 , (1–x)·y 2 = (3+x)·x 2. czyli Uzyskamy teraz równanie krzywej Maclaurina w układzie Or współrzędnych biegunowych. Promień r i kąt wiążą się z odciętą x i rzędną y równaniami x = r·cos , y = r·sin. Dlatego równanie (1–x)·y 2 = (3+x)·x 2 przyjmuje postać {1–r·cos }·r 2 sin 2 = (3+r·cos }·r 2 cos 2. Po podzieleniu przez r 2 cos 2( ) i skorzystaniu ze wzoru jedynkowego mamy r = 1/cos – 4·cos , (– /2, /2).

Uzasadnienie konstrukcji Konstrukcja 1/3 kąta Trysekcja Maclaurina 3/3 k 1. W III ćwiartce układu współrzędnych kreślimy łuk krzywej Maclaurina i zaznaczamy punkt B = (– 2, 0). k 2. Przez punkt B prowadzimy prostą nachyloną do osi Ox pod danym kątem (0, ). k 3. Prosta ta przecina łuk w punkcie C. k 4. Łączymy punkt C z początkiem O. Kąt nachylenia tego odcinka do osi Ox oznaczamy przez . Jest = /3. u 1. Prosta BC przechodzi przez punkt B i jest nachylona do Osi Ox pod kątem , ma więc równanie y = tg( )·(x+2). u 2. Prosta BC przechodzi przez punkty B i C = (1– 4 cos 2 , {1– 4 cos 2 }·tg ), ma więc równanie {y– 0}/{(1– 4 cos 2 )·tg – 0} ={x–(– 2)}/{(1– 4 cos 2 )–(– 2))}, tzn. y = k·(x+2), gdzie k = tg ·(1– 4 cos 2 )/(3– 4 cos 2 ). u 3. Ponieważ 4 cos 2 – 1 = cos(2 )+2 cos 2 oraz 4 cos 2 – 3 = cos(2 )– 2 sin 2 , więc u 4. A że, na mocy u 1, k = tg , więc tg = tg(3 ), skąd (przy założonym zakresie zmienności kąta ) wynika, iż = /3.