Numerikus mdszerek Gyakorlat Sajtrtk s a hozz tartoz
- Slides: 10
Numerikus módszerek Gyakorlat Sajátérték és a hozzá tartozó sajátvektor közelítése: inverz hatványmódszer Készítette: dr. Nagy Noémi
Inverz hatványmódszerrel a mátrix abszolútértékben legkisebb sajátértékét és a hozzá tartozó sajátvektort tartalmazza. Az inverz hatványmódszer alapja, hogy ha sajátértékei akkor a mátrix inverzének : Tehát ha a mátrix inverzére alkalmazzuk a hatványmódszert, akkor az eredeti mátrix reciprokai közül megkapjuk a legnagyobb abszolútértékűt, azaz az eredeti sajátértékek közül a legkisebb abszolútértékűt. Maga az algoritmus egy induló vektor megadása után a következő: Az algoritmushoz szükségünk lesz az A mátrix inverzére, amit például Gauss-Jordan módszerrel megkaphatunk:
Inverz hatványmódszer
Inverz hatványmódszer Legyen
Inverz hatványmódszer Legyen
Inverz hatványmódszer Legyen
Inverz hatványmódszer Legyen
Inverz hatványmódszer Legyen Amint látjuk, a negyedik lépésben már elég jó közelítést kapunk. A sajátérték előjelét az előjelváltások mutatják. Így
A módszer hibája és vizsgálata MATLAB-ban A módszerek hibáját többféleképpen is számíthatjuk: A legészszerűbb az utolsó két közelítést használni hozzá: Az utolsó két λ közelítés különbségeként vagy az utolsó két közelítő vektor különbségének normájaként is gondolhatunk a közelítés hibájára.
Inverz hatványmódszer MATLAB-ban Az inverz hatványmódszerre írt függvény csupán néhány, de annál fontosabb dologban különbözik az előző függvénytől: A v érték meghatározásánál a 3. és 9. sorban az A helyett inv(A)-val szorozzuk az előző (v 0) vektort. A sajátérték közelítésénél a 4. és 10. sorban az l értéke a v vektor végtelen normájának reciproka, továbbá a 6 -12. sorban a while ciklus az utolsó két sajátérték (abszolútértékének) különbségétől függ. Egészen pontosan, mivel két szám különbsége negatív is lehet, az algoritmust addig ismételjülk, míg a különség abszolútértéke nagyobb, mint az e érték. A módszereket jóval egyszerűbbé lehetne tenni, ha az algoritmusok során egyszerűen n lépésben ismételnénk az algoritmust, illetve ha v 0 helyett egy beépített indulóvektorral számolna a függvény.
