n cazul forelor poteniale forte conservative Intoducem notiunea

În cazul forţelor potenţiale (forte conservative) Intoducem notiunea de “potenţialul cinetic” Ec Lagrange sau ecuaţiile diferenţiale mişcării unui SPM

În cazul in care o parte a fortelor generalizate Qj nu sunt conservative depinzand atat de viteze cat si de pozitie: Fortele de frecare =>neconservative si pot fi obtinute din functia disipativa Rayleigh

Ecuatiile Lagrange sunt adevarate in orice sistem de coordonate olonome! Mecanismul obtinerii ecuatiilor dinamice prin metoda Lagrange - Se identifica setul minim de coordonate generalizate compatibile cu legaturile - Se exprima energiile cinetice si potentiale in termenii coordonatelor generalizate si a vitezelor generalizate - Se obtine functia Lagrange L=T-U - Se diferentiaza functia Lagrange in raport cu - Se scrie ecuatia Lagrange pentrru fiecare coordonata generalizata

CONCLUZIE • • “Smecheria” in cazul Formalismului Lagrangian nu consta in abordarea matematica ci in posibilitatea unei alegeri proprii a sistemului de coordonate. Puterea acestei aproximatii consta in: 1. Energia este o functie scalara , Lagrangianul la fel 2. Lagrangianul este invariant in raport cu transformarile de coordonate

Dampingul oscilatorului armonic liniar (un grad de libertate) Energia cinetica: Energia potentiala: Forte de frecare: Functia lagrange:

Miscarea unei particule in camp electromagnetic

NOTIUNI DE CALCUL VARIATIONAL Sa se determine functia y(x) care minimizeaza sau maximizeaza integrala si verifica urmatoarele conditii lalimita:

0 = functionala (Frechet)

Conditia ca o functionala sa fie stationara pentru toate variatiile ECUATIA EULER-LAGRANGE Daca y(x) este o functie admisibila care minimizeaza I atunci ea verifica ec. Euler: stiind ca y’’ este continua iar y(x) verifica cd. la limita. Daca y(x) verifica ec. Euler curba este constransa sa satisfaca cd. la limita , ea se va numi functie extrema. Daca y(x) minimizeaza I este o functie admisibila, dar daca y(x) este o functie admisibila nu va minimize in mod necesar I. Situatia este analoaga cu calculul elementar in care g(x) are derivata nula in x=x 0. Astfel g(x 0) poate avea un minim, un maxim sau un punct de inflexiune. y(x) care satisface ec. Euler =functie stationara iar valoarea integralei pentru functie stationara se va numi valoare stationara. In general əf/əy`, este o functie de x, y, y` si deci ec. Euler se poate dezvolta sub forma:

care este imposibil de rezolvat. Cazuri particulare: 1 Determinati cea mai scurta curba ace uneste (x 1, y 1) cu (x 2, y 2) Trebuie sa minimizam integrala Ecuatiile Euler se reduc la:

Sa aplicam conditiile la limita: care este functia stationara si reprezinta linia dreapta ce uneste cele doua puncte

2. Determinati curba ce uneste (x 1, y 1) cu (x 2, y 2) a carei suprafata de revolutie in jurul axei Ox are aria minima Pare dificil de rezolvat !!

3. Problema brachistochrona

Ecuatiile parametrice ale unei cicloide generate de un cerc de raza k/2 care se rostogoleste in lungul axei Ox. Valoarea lui k se stabileste din conditia de trecere prin (a, b)

When I was in high school, my physics teacher—whose name was Mr. Bader—called me down one day after physics class and said, "You look bored; I want to tell you something interesting. " Then he told me something which I found absolutely fascinating, and have, since then, always found fascinating. . . the principle of least action. —Richard Feynman Principiul Hamilton Drumurile fizice in Spatiul Configuratiilor sunt cele pentru care integrala de actiune este stationara in raport cu toate variatiile infinitezimale care pastreaza fixate punctele de capat