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Intervallschachtelung Hier als Näherungsverfahren zur Bestimmung der Quadratwurzel Anfang Ende

Hinter dem Verfahren steckt die Idee, durch „gezieltes Probieren“ die Quadratwurzel zu finden. Beispiel: Bestimmung der Wurzel aus 10 Zunächst überlegt man sich nur ungefähr, wie groß die Wurzel sein muss. Ich weiß, dass 3² gleich 9 ist. Die 3 ist zu klein! Anfang Hmm, 4²=16, die 4 ist zu groß. Ende

Solche Überlegungen am besten gleich aufschreiben! Die Wurzel aus 10 muss zwischen 3 und 4 liegen: also 3²=9 Nächster Versuch: 3, 3²=10, 89 Ganz gut, aber immer noch zu groß! Anfang 3 < 10 < < 4²= 16 < 4 Die Wurzel muss also zwischen 3 und 3, 3 liegen! Ende

3²=9 3 < < 10 < 3, 3²= 10, 89 < 3, 3 Anstatt „zwischen 3 und 3, 3“ sagt man auch: „im Intervall [3; 3, 3]“ d. h. bei einem Intervall gibt man die Grenzen an! Zurück zur Wurzel aus 10! 3, 15²=9, 9225 Neuer zu klein! Versuch? Anfang Ende

Die Wurzel aus 10 muss zwischen 3, 15 und 3, 3 liegen: „Das heißt, die Wurzel liegt im Intervall [3, 15 ; 3, 3 ]“ 3, 15²=9, 9225 < 3, 15 < 10 < 3, 3²= 10, 89 < 3, 3 So! Bisher sind wir durch Probieren der Wurzel schon ganz schön nahe gekommen. Problem: Wie könnte das ein Computer oder Taschenrechner für uns machen? Anfang Ende

Wir müssen für unser Probierverfahren, eine Art Kochrezept finden – eine immer gleiche Prozedur! Dazu machen wir noch ein zweites Beispiel: Bestimmung der Wurzel aus 2 Vorschlag: Bevor du weiterklickst, versuche doch mal die Wurzel durch das beschriebene Verfahren bis auf 2 Stellen zu bestimmen! Anfang Ende

Kannst du erklären Wir beginnen mit dem Intervall [1; 2] und schauen uns warum? das ganze auf dem Zahlenstrahl an: Falls nein, geh noch mal zurück! Dazwischen muss die Wurzel aus 2 liegen! 1 2 1, 5 = (1+2): 2 Anstatt nun irgendeine Zahl zwischen 1 und 2 zu probieren, nehmen wir die Intervallmitte. 1, 5²= 2, 25 d. h. 1, 5 ist zu groß! Also muss Wurzel aus 2 zwischen 1 und 1, 5 liegen. bzw. im Intervall [1; 1, 5] Anfang Ende

Nun nehmen wir uns das Intervall [1; 1, 5] vor: 1 1, 25 1, 5 2 Wir nehmen die Intervallmitte: (1+1, 5) : 2=1, 25 und überprüfen durch Quadrieren: 1, 25²=1, 5625 Zu klein! Also liegt die Wurzel aus 2 zwischen 1, 25 und 1, 5 bzw. im Intervall [1, 25 ; 1, 5] Anfang Ende

Und nochmal: Intervall [1, 25 ; 1, 5 ] 1 1, 25 1, 375 1, 5 Intervallmitte: Quadrieren: 2 (1, 25+1, 5): 2 = 1, 375²=1, 890625 zu klein! Also liegt zwischen 1, 375 und 1, 5. im Intervall Anfang [1, 375 ; 1, 5] Ende

Rückblick: 1. Schritt: Intervallmitte bestimmen: (untere Grenze+obere Grenze) : 2 (1+2): 2=1, 5 (1, 25+1, 5): 2=1, 375 (1+1, 5): 2=1, 25 1. Intervall: [1 ; 2] 1 2. Intervall: [1 ; 1, 5] 1 1, 25 2. Schritt: Intervallmitte quadrieren und prüfen (zu klein, oder zu groß) 1, 5²=2, 25 1, 375²=1, 890625 1, 25²=1, 5625 1, 5 2 1, 5 3. Intervall: [ 1, 25 ; 1, 5 ] 1, 25 1, 375 1, 5 4. Intervall [1, 375 ; 1, 5] Anfang zu klein! groß! Ende

Zur Übersicht wäre doch eine Tabelle gut: untere Grenze obere Grenze Intervallmitte Quadrat IM Prüfergebnis Bevor du weiterklickst, 1 2 1, 5 1, 25 1, 375 1, 5 versuche selbst eine 2, 25 geeignete Tabelle zu erstellen! 1, 5625 Zu groß Zu klein 1, 890625 Zu klein Ehrlich schon selbst probiert? ? Anfang Ende