Zufallsprozesse Einleitung Stochastische Prozesse Empirische Schtzung stochastischer Prozesse

Zufallsprozesse • Einleitung • Stochastische Prozesse • Empirische Schätzung stochastischer Prozesse Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Einleitung • Bisher: zeitliche Komponente irrelevant • Untersuchung dynamischer Systeme benötigt Auswertemodelle, die den Faktor Zeit berücksichtigen • Ausgangspunkt: Messwerte in enger zeitlicher Abfolge Zeitreihe • Neue Denkweise: Aufeinanderfolgende Realisierungen sind nicht voneinander unabhängig Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Stochastische Prozesse (1) • Stochastischer Prozess = Menge von Zufallsgrößen, die durch Parameter geordnet sind: {X(t)} • t ist nicht zufällig, muss nicht die Zeit sein • Wenn nach Zeit geordnet: zeitvariater stochastischer Prozess oder stochastischer Prozess im engeren Sinne • Stochastische Prozesse mit räumlicher Struktur: Geostatistik Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Stochastische Prozesse (2) • Sind theoretische Größen ähnlich Grundgesamtheit • Können zu jedem Zeitpunkt unendlich viele Werte annehmen • Zu jedem Zeitpunkt kann nur eine endliche Menge davon beobachtet werden • Stichprobe = Zeitreihe • Registrierte Messungen bilden Funktion des Parameters t – eine Realisierung Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Stochastische Prozesse (3) • Mehrere Messwerte je Zeitpunkt: verschiedene Realisierungen • Gesamtheit der Zeitreihen: Menge aller Realisierungen • In der Praxis notwendig: Konstante Schrittweite Dt • Fehlende Daten: Interpolation • Sinnvolle Aussagen: große Anzahl von Realisierungen (>50) Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Stochastische Prozesse (4) Modellierung meist kontinuierlich • Vereinfacht graphische Darstellung • Hinweis darauf, dass beobachtetes Phänomen auch zwischen den Beobachtungszeitpunkten einen Wert hat Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Parameter • • Erwartungswert Varianz Kovarianz Korrelation Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Erwartungswert • Messwerte zum Zeitpunkt ti: Realisierungen einer Zufallsgröße Xi • Somit Erwartungswert definiert • Erwartungswert des Prozesses: • Wert an der Stelle ti: • Definiert eine mittlere Funktion – i. A. keine Gerade Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Varianz • • Für jeden Zeitpunkt gleich der Varianz von Xi • Diagramm mit Mittelwert und Standardabweichungen gibt das Streuungsband Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Kovarianzfunktion • Stochastischer Prozess zu den Zeitpunkten t 1 und t 2: Zufallsgrößen X(t 1) und X(t 2) • Lineare stochastische Abhängigkeit • 2 -dimensionale Autokovarianzfunktion Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Korrelationsfunktion • Normierung der Autokovarianzfunktion • Korrelation der Zufallsgrößen zu verschiedenen Zeitpunkten = innere Zusammenhänge • Aussagen über Erhaltungstendenz – schnell abfallend: „short memory“-Effekt Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Kreuzkovarianz/Kreuzkorrelation • Betrachtung zweier Prozesse, neuer zweidimensionaler Prozess • Kreuzkovarianzfunktion • Kreuzkorrelationsfunktion • Informationen über Wechselbeziehungen zweier Prozesse Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Stationäre Prozesse (1) • Verteilungsparameter invariant gegenüber zeitlicher Verschiebung: stationärer Prozess • Gültig für alle Parameter: starke Stationarität • Nur Erwartungswert und Varianz: schwache Stationarität – Autokorrelationsfunktion nur von Zeitdifferenz abhängig • Beispiele: Rauschen in Elektronenröhren, Fading, Abweichungen selbstregelnder Systeme unter konstanten Bedingungen Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Stationäre Prozesse (2) • Möglicher Grund für Instationarität: Trend (unperiodische zeitliche Veränderung) oder periodische Komponente • Trend und Periode sind deterministische Größen – oft aus physikalischen Modellen bestimmt – entspricht Signal Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Prüfung auf Instationarität • Möglichkeiten: – Zufallskriterium von Cornu mit – Kriterium von Abbe frei von syst. Einflüssen bei A/B=2 • Prüfung auf systematische Einflüsse • In der Praxis oft nur Augenschein Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Gaußsche/Ergodische Prozesse • Gaußscher Prozess: Zufallsgrößen sind normalverteilt – die ersten beiden Momente reichen zur Beschreibung aus keine Unterscheidung zwischen starker und schwacher Stationarität nötig • Ergodischer Prozess wenn eine Realisierung für die Beschreibung ausreicht: – Erwartungswert und Varianz konstant – Kovarianzfunktion stetig, nur von Zeitdifferenz abhängig – Statistische Informationen aus zeitlicher Mittelbildung ableitbar Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Empirische Schätzung (1) Allgemeiner stochastischer Prozess (1) • Voraussetzung: Hinreichend große Anzahl n unabhängiger Realisierungen • Wahl des Anfangspunktes t 0 = 0, davon gleich lange Intervalle Dt abgetragen • In jedem Intervall: arithm. Mittel der Werte • Annäherung der Werte durch geeignete Funktion Mittelwertfunktion Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Empirische Schätzung (2) Allgemeiner stochastischer Prozess (2) • Kovarianzfunktion: Schätzwert über mit den Werten der j-ten Realisierung xj • Durchläuft t 1, t 2 alle Werte: Reihe von Schätzwerten Annäherung durch geeignete Fläche gibt Autokovarianzfunktion • Kreuzkovarianzfunktion analog Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Empirische Schätzung (3) Ergodischer stochastischer Prozess (1) • Anfangspunkt t 0 = 0, gleich lange Intervalle Dt abgetragen • Erwartungswert: arithmetisches Mittel der Klassenmittel • Autokovarianzfunktion: • Bedingung: mind. 10 Werte pro Klasse Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Empirische Schätzung (4) Ergodischer stochastischer Prozess (2) • Zugehöriger zeitlicher Abstand t = k Dt • Gesamter Verlauf der Autokovarianzfunktion: geeignete Funktion durch Stützwerte gelegt • Kreuzkovarianzfunktion analog Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Empirische Schätzung (5) Ergodischer stochastischer Prozess (3) • Stützwerte der Korrelationsfunktion durch Normierung • Autokorrelationsfunktion • Kreuzkorrelationsfunktion Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil