ZOTA LICZBA Ralph Nelson Elliot pisa Pniej zdaem

ZŁOTA LICZBA

Ralph Nelson Elliot pisał: „Póżniej zdałem sobie sprawę, że podstawą moich odkryć było prawo natury znane ludziom, którzy projektowali wielką Piramidę w Gizie, zbudowaną być może aż 5000 lat temu…”

LICZBA PHI

Liczbami i ich własnościami zachwycali się ludzie od tysięcy lat, przypisując im nadprzyrodzone moce. Złota liczba znana jako: „boska proporcja” (boloński mnich Fra Luka Paciolo z Borgo – Divina Proportione- Wenecja 1509 r) lub „szczęśliwy wymiar” w Chinach jeden z klejnotów geometrii- Kepler

Ciągła proporcja n n Niech c=a+b wtedy otrzymamy proporcję ciągłą „par excellence. ” „ Stosunek sumy dwóch rozważanych wielkości do jednej z nich (większej) jest równy stosunkowi wielkości większej do mniejszej. ”

ZŁOTY PODZIAŁ n Złoty podział, podział harmoniczny-podział odcinka na dwie części tak, by stosunek długości całego odcinka do części dłuższej był taki sam, jak części dłuższej do części krótszej = liczbie phi

ZŁOTY PODZIAŁ n n n Złoty podział wykorzystuje się często w estetycznych, proporcjonalnych kompozycjach architektonicznych, malarskich, fotograficznych i muzycznych. Znany był już w starożytności i przypisywano mu wyjątkowe walory. Złota liczba związana ze złotym podziałem zadziwiała przez stulecia matematyków, architektów, botaników, fizyków i artystów niezwykle interesującymi własnościami.

WZORY Kwadrat złotej liczby: Odwrotność złotej liczby:

Inne wzory

ZŁOTY PROSTOKĄT n n Prostokąt którego boki pozostają w złotym stosunku. Po dorysowaniu kwadratu o boku równym dłuższemu bokowi prostokąta znowu mamy złoty prostokąt tylko większy.

KONSTRUKCJA ZŁOTEGO PROSTOKĄTA 1) Rysujemy kwadrat. 2) Kwadrat dzielimy na dwa jednakowe prostokąty.

KONSTRUKCJA ZŁOTEGO PROSTOKĄTA 3) W jednym prostokącie prowadzimy przekątną. 4) Kreślimy łuk o promieniu równym długości przekątnej prostokąta.

KONSTRUKCJA ZŁOTEGO PROSTOKĄTA 5) Prowadzimy prostopadłą do punktu przecięcia łuku z linią podstawy. 1, 00 1, 618…

ZŁOTA SPIRALA n kolejne punkty wyznaczające złoty podział leżą na spirali równokątnej

ZŁOTA WIZYTÓWKA n wizytówki w kształcie złotego prostokąta mają magiczną moc. Uwaga: Jan Kowalski Ul. Złota 16/18 Zam. Partenon 1, 618 1, 00

ZŁOTA SPIRALA W PRZYRODZIE

ZŁOTY TRÓJKĄT Długość ramienia: długość podstawy=1, 618 36 o a 36 o b

PIĘCIOKĄT I PENTAGRAM n |EC|: |DB|=1, 618 E a A D B C

DWUNASTOŚCIAN n Ściany są pięciokatami foremnymi

DWUDZIESTOŚCIAN n W przekroju trzy złote prostokąty;

KANON POLIKLETA n n Poliklet pisał: „Piękno tkwi w proporcji nie żywiołów, lecz części ciała, to jest w proporcji palca do palca, palca do przegubu, jego do dłoni, jej do łokcia, łokcia do ramienia i wszystkich tych części jednych do drugich. Najdoskonalsza z proporcji- tzw. złota reguła – znajduje zastosowanie w konstrukcji świątyń, budowli a także posągów (np. . Apollo Belwederski, Wenus z Milo).

CZŁOWIEK WITRUWIAŃSKI RYSUNEK LEONARDO DA VINCI KANON PROPORCJI

APOLLO BELWEDERSKI POCIĘTY ZŁOCIŚCIE n |AU|: |IU|=|IU|: |AI|= =|IU|: |IO|=|IO|: |OU|= =1, 618…

PROFIL GŁOWY, RĘKA I DŁOŃ

PIRAMIDA w Gizie

ZŁOTA LICZBA W PIRAMIDZIE 1 2

AKROPOL-PARTENON |AB|: AC|=1, 618 A C B

MUZYKA A ZŁOTY PODZIAŁ q q q W artykule zamieszczonym w roku 1996 w piśmie American Scientist Mike Kay pisze o tym, że : większość z sonat Mozarta podzielona była na dwie części dokładnie z zachowaniem złotej proporcji. Intuicja czy świadomość? ? Inni badacze odnajdowali złote proporcje w : Piątej Symfonii Beethovena oraz w muzyce takich wirtuozów jak Bartok, Debussy, Schubert i Satie. Stradivarius korzystał ze złotego podziału podczas konstruowania swoich najlepszych wiolonczeli.

ZŁOTY PODZIAŁ W FOTOGRAFII n „Złoty podział płaszczyzny” czyli zasada umieszczania najważniejszego na zdjęciu obiektu na przecięciu prostych łączących punkty podziału boków prostokąta na trzy odcinki.

ZŁOTY PODZIAŁ W BOTANICE n Między każdymi dwiema parami listków trzecia leży w miejscu złotego cięcia. n |KM|: KL|=|KL|: |LM|= = 1, 618…

„Spróbujmy uwolnić naszą wyobraźnię. Pomyślmy o wszechświecie, o gwiazdozbiorach, galaktyce. Popatrzmy jak piękne są kształty wszystkich cudów natury: drzew, oceanów, kwiatów, roślin, zwierząt a nawet drobnoustrojów wdychanych z powietrzem. (. . ) Być może niektórzy z Was będą zaskoczeni dowiadując się, że we wszystkich tych zjawiskach jeden wspólny element – ciąg Fibonacciego. ”

LEONARDO FIBONACCI n n Podróżnik i kupiec z Pizy Autor „Liber abaci” – kompendium ówczesnej wiedzy matematycznej (1202 r. ), Zwolennik i propagator dziesiątkowego systemu pozycyjnego, Autor słynnego zadania o królikach. Leonardo Pisano 1170 -1250

ZADANIE FIBONACIEGO Ile par królików może spłodzić jedna para w ciągu roku, JEŚLI: q każda para rodzi nową parę w ciągu miesiąca, q para staje się płodna po miesiącu, q króliki nie zdychają?

CIĄG FIBONACCIEGO I ILORAZY KOLEJNYCH WYRAZÓW ILORAZ: a(n+1)/a(n) Stała Fibonacciego 1 1 1, 00000 1, 6180339887 2 2, 00000 1, 6180339887 3 1, 500000 1, 6180339887 5 1, 666667 1, 6180339887 8 1, 600000 1, 6180339887 13 1, 6250000000 1, 6180339887 21 1, 6153846154 1, 6180339887 34 1, 6190476190 1, 6180339887 55 1, 6176470588 1, 6180339887 89 1, 618182 1, 6180339887 144 1, 6179775281 1, 6180339887 233 1, 6180555556 1, 6180339887 377 1, 6180257511 1, 6180339887 610 1, 6180371353 1, 6180339887 987 1, 6180327869 1, 6180339887

Ilorazy kolejnych wyrazów

POSTAĆ REKURENCYJNA CIĄGU

LICZBY FIBONACCIEGO W PRZYRODZIE n n n Łuski ananasa, szyszek sosnowych, pestki w słonecznikach tworzą dwa układy linii spiralnych prawoskrętnych i lewoskrętnych. Liczby tych spiral to kolejne liczby Fibonacciego. Liczby Fibonacciego rządzą układem liści prawie wszystkich roślin. Niektóre drzewa rozrastają się według modelu Fibonacciego: każda gałąź przez pierwszy rok jedynie wzrasta, a w każdym następnym roku wypuszcza jedną młodą gałąź.

DRZEWO FIBONACCIEGO

LITERATURA n n n Złota liczba- Matila C. Ghyka Śladami Pitagorasa – Szczepan Jeleński Przez rozrywkę do wiedzy – Stanisław Kowal Księga liczb – John Conway i Richard Guy Złota liczba z Cabri II- Iwona Kusz, Bronisław Pabich I liczne strony internetowe

THE FLOWER OF LIFE