Zonska teorija vrstog tijela Uvod Bloch je formirao

Zonska teorija čvrstog tijela

Uvod • Bloch je formirao ovu teoriju 1928. Po njoj slobodni elektroni se kreću u periodičnom polju kristalne rešetke Ova teorija se takođe zove Zonska teorija čvrstog tijela. • Energetska zonska teorija č. t. je osnovni princip fizike poluprovodnika i koristi se za objašnjenje razlika električnih osobina metala, izolatora i poluprovodnika.

Elektron u periodičnom potencijalu – Bloch -ov teorem • Kristalno č. t. se sastoji od rešetke koja se sastoji od velikog broja pozitivnih jona raspoređenih u pravilnim razmacima i od provodnih elektrona koji se slobodno kreću kroz rešetku. • Varijacije potencijala unutar metalnog kristala sa periodičnom rešetkom objašnjavaju se Blochovim teoremom.

+ + + + + + + + + • Potencijal ovdje varira periodično sa periodičnošću kristalne rešetke. Potencijalna energija čestice je nula kada je blizu jezgra jona a maksimalna kada je na pola puta do susjednog jona (joni su na rastojanju a).

V Raspored jona u kristalu + + + + + + + + + X Jednodimenzionalni periodični potencijal u kristalu.

Bloch’ov Teorem • Bloch’ov Teorem tvrdi da za česticu koja se kreće u periodičnom potencijalnom polju kristalasne funkcije ψ(x) imaju oblik: • uk(x) je periodična funkcija sa periodičnpšću potencijala – Njena egzaktna forma zavisi od potencijala koji je pridružen atomima (jonima) od kojih se sastoji č. t.

• Jednodimenzionalna Schrödinger’ova jednačina 1 • Periodični potencijal V(x) može da se definira preko konstante rešetke a kao V(x)=V(x+a) I Bloch je pokazao da jednodimnezionalno rješenje Schrödinger’ove jednačine ima oblik: 2

• Ako posmatramo linearni niz atoma dužine L u jednoj dimenziji, sa N atoma • Ovo se smatra Bloch’ovim uslovom. Slično tome, konjugirano kompleksni oblik j-ne (4) je:

• Ovo znači da je elektron lokalizovan oko bilo kojeg atoma i da je vjerovatnost da se elektron nađe uz bilo koji atom kroz cijeli kristal jednaka.

Bloch’ov Teorem Vjerovatnost nalaženja elektrona uz bilo koji atom u č. t. Je ista!!! • Svaki elektron u kristalnom č. t. “pripada” svakom atomu koji čine č. t.

• Ponašanje elektrona u periodičnom potencijalu: • (Kronig-Penny’jev Model): Ovdje se pusti da V a b 0 Potencijalnana barijera između atoma. U 2(x) V U 1(x) x X=0 X=a X=-b • Ovaj model potencijala koji se nalazi u stvarnom kristalu ima oblik periodičnih pravougaonih jama kao na sl.

• Potencijalna energija je 0 u regionima 0<x<a, i jednaka V 0 u regionima b<x<0. • Talasne funkcije za ova dva regiona dobijaju se rješavanjem slijedećih Schrödinger-ovih jednačina:

• Ako definiramo realne veličine α i β kao: • I pošto talasna funkcija mora imati Bloch-ovu formu možemo očekivati da bude: • Zamjenjujući (4) u (2) dobije se slijedeća jednačina za uk(x) 5

6 Rješenja ovih jednačina se mogu napisati kao: 7 Gdje su A, B, C, D konstante. Ova rješenja moraju zadovoljavati granične uslove: 8

• Prva dva uslova slijede iz zahtjeva za kontinuitet talasne funkcije Ψ i kontinuitet (neprekidnost) njenog prvog izvoda dΨ/dx u tački x=0, pa tako i u i njen izvod du/dx; preostala dva uslova potiču zbog zahtjeva periodičnosti of uk(x). • Kad primijenimo ove uslove na jednačinu (7) dobijemo šetiri linearne homogene jednačine koje sadrže konstante A, B, C, D: • A+B=C+D

9 Koeficijenti A, B, C, D se mogu odrediti rješavanjem ovih jednačina što vodi do slijedeće jednačine ; 10

• Uzimajući da je Vo beskonačno, a b da teži nuli dobije se da Vob ostaje konačno. • veličina lim(Vob) predstavlja jačinu barijere • Na ovaj način jednačina (10) postaje 11 Ako definiramo veličinu P kao

• Onda se (11) svodi na 12 Ovo je uslov postojanja rješenja talasne jednačine. Vidi se da je taj uskov ispunjen samo za one vrijednosti αa za koje je lijeva strana te jednačine u opsegu od +1 do -1; • Posljedice ove jednačine se mogu bolje razumjeti sa slike.

Kronig-Penney-ev Model Granice za αa = np. 1 -2π -π π 0 π 2π 3π aa -1 Ovdje nema rješenja Ovdje je, k 2 < 0 Ovo su regioni gdje je jednačina zadovoljenja tj. gdje postoje rješenja Općenito, kad energija raste (aa raste), svaka slijedeća zona postaje šira, a svaki slijedeći gap uži.

• Dio između vertikalnih osa koji leži između horizontalnih linija predstavlja opseg koji je prihvatljiv za lijevu stranu

• Zaključci: • **Dozvoljeni intervali αa koji dozvoljavaju da postoje mehanička talasna rješenja prikazani su kao osjenčeni intervali tako da je kretanje elektrona u periodičnom polju kristala je okarakterisano zonama dozvoljene energije razdvojenih zonama zabranjenih energija. • ** Sa porastom vrijednosti α raste širina zona dozvoljene energije, a smanjuje se širina zona zabranjene energije.

• ** Ako je jačina potencijalne barijere P velika, funkcija sa desne strane jednačine koja prelazi vrijednosti +1 i -1 čini to u regionima strmije funkcije pa zone dozvoljenih energija postaju šire . Ako P teži u beskonačno dozvoljena zona se reducira na jedan Energetski nivo :

Ako P teži nuli nikakvih energetskih nivoa , sve energije su dozvoljene elektronima.

Brillouin-ove zone (E-k krivulja) • Brillouin-ova zona je predstava dozvoljenih vrijednosti K elektrona u jednoj, dvije ili tri dimenzije. • Tako je energetski spektar elektrona koji se kreće u polju periodičnog potencijala podijeljen u dozvoljene i zabranjene zone.

1 aa -1 Kronig-Penney-jev model nam daje DETALJNA rješenja za zone. Koje su skoro kosinusionalne po prirodi.

E-k dijagram : Energ. gap Prva Brillouin-ova zone Dozvoljene zone

• Kad se parabola koja predstavlja energiju slobodnog elektrona uporedi sa energijom elektrona u periodičnom polju kristala, vidi se da ova druga parabola ima diskontinuitete za vrijednosti od k koje su date sa • k=nπ/a Pošto je k talasni vektor k=2π/λ nπ/a =2π/λ 2 a=nλ I A ovo je oblik Bragg’ovog zakona.

• Rješenje talasne jednačine pod ovim uslovima daje dva stojeća talasa koji pokazuju da su moguća dva položaja elektrona sa različitim potencijalnim energijama a istom vrijednošću od k. To dovodi do prekida na E-K krivulji. • Sa grafikona vidimo da elektron ima dozvoljene energije u regionu od k= -π/a do +π/a. Ova zona se zove prva Brillouin-ova zona

Porijeklo energetskih zona u č. t. • Kada posmatramo izoliran atom, njegovi elektroni su čvrsto vezani i imaju diskretne, oštre energetske nivoe. • Kada se dva identična atoma primaknu bliže, onda se vanjske orbite tih elektrona preklope i intereaguju. • Ako se više atoma približe, stvara se više energetskih nivoa pa za č. t. Sa N atoma , svaki se energetski nivo raspada na N energetskih nivoa. • Ti nivoi su tako blizu jedan drugom da oni formiraju skoro kontinuiranu traku. • Širina ove trake zavisi od stepena preklapanja elektrona susjednih atoma i veća je za najvanjskije elektrone.

E 1 E 2 E 3 N atoma ΔE N energ. nivoa

• Energetske zone u č. t. su važne za određivanje mnogih fizikalnih svojstava č. t. Dozvoljene energ. zone: (1) Valentna zona (2) Provodna zona • Traka/zona koja odgovara vanjskim elektronima zove se vodljiva/provodna zona, a slijedeća unutrašnja zona se zove valentna zona. Gap između ove dvije dozvoljene zove se zabranjena energetska zona ili energetski gap.

Klasifikacija čvrstih tijela na provodnike, poluprovodnike i izolatore • Na osnovu zabranjene zone ili energetskog gapa čvrsta tijela se dijele na izolatore, poluprovodnike i provodnike. Izolatori: • U slučaju izolatora, zabranjena zona je vrlo široka. • Zbog ovoga elektroni ne mogu preskočiti iz valentne zone u provodnu.

Provodna zona Zabranjena zona IZOLATORI Valentna zona Provodna zona POLUPROVODNICI Zabranjena zona Provodna zona Valentna zona PROVODNICI

Poluprovodnici • U poluprovodnicima zabranjena zona je veoma mala. • Ge i Si su najbolji primjeri poluprovodnika. • Zabranjena zona je reda 0. 7 ev i 1. 1 ev. Provodnici • Kod provodnika nema zabranjene zone. Valentna i provodna zona se preklapaju. • Elektroni iz valentne zone slobodno prelaze u provodnu zonu.

Efektivna masa elektrona • Efektivna masa elektrona nastaje zbog periodičnog potencijala koji stvara rešetka. • Kada se elektron u periodičnom potencijalu rešetke ubrza električnim poljem , onda se masa elektrona mijenja i nju zovemo efektivna masa elektrona m*. • Posmatrajmo elektron naboja e i mase m pod uticajem električnog polja. Ubrzanje nije konstanta u periodičnoj rešeci kristala tako da masa elektrona biva zamijenjena njegovom efektivnom masom m* kada se elektron kreće u periodičnom polju kristala

Posmatrajmo slobodni elektron kao talasni paket koji se kreće brzinom Vg

Efektivna masa elektrona

E a. Promjena E sa K 0 b. Promjena v sa K c. Promjena m* sa K V 0 d. Promjena fk sa K Stepen slobode elektrona se općenito definira faktorom 0

• Promjena v sa k: Promjena brzine sa k sl. (b) kada k=0, brzina je nula nakon čega vrijednost k raste. E 0 V 0 Za k=k 0 (k 0 odgovara prevojnoj tački na E-k krivulji). Iza ove tačke prevoja brzina počinje da opada i konačno uzima vrijednost nula za k=π/a 0

• Promjena m* sa k E 0 V Promjena m* sa k. Za k=0 efektivna masa se primiče m. Kako vrijednost k raste i m* dostižući svoj maksimum u prevojnoj tački E-k krivulje. Nakon prevojne tačke m* postaje negativno dostižući malu negativnu vrijednost za k = π/a. 0 0

• Promjena fksa k: Stepen slobode elektrona: fk=m/m* E 0 V 0 Fk je mjera slobode elektrona koji se nalazi u stanju k. Ako je m* velika , fk je malo, tj. čestica se ponaša kao “teška” čestica. Kada je fk=1 elektron se ponaša kao slobodni elektron. Treba primijetiti da je fk pozitivno u donjoj polovini trake, a negativno u gornjoj polovini. 0