Zklady elektrotechniky Symbolickokomplexn metoda een obvod Komplexn slo

Základy elektrotechniky Symbolicko-komplexní metoda řešení obvodů

Komplexní číslo Řešení střídavých obvodů pomocí algebraického výpočtu je pracné a složité. Střídavé veličina má harmonický průběh a je funkcí času. Složitější obvody je proto výhodnější počítat pomocí komplexních čísel, kdy se fázor harmonické veličiny rozdělí na složky x a y a převede se do Gaussovy roviny komplexních čísel. Složkový tvar Komplexní tvar imaginární osa - jy y y jb x x = x + y a reálná osa - x = x + y = a + jb

Matematické operace s komplexními čísly jy Zápis komplexního čísla: jb Osa x je reálná osa, osa y je imaginární osa a x Definice imaginární jednotky: Absolutní hodnota komplexního čísla: Zápis komplexního čísla Složkový tvar: jednoduché sčítání a odčítání Goniometrický tvar: Exponenciální tvar: jednoduché násobení, dělení, umocňování

Matematické operace s komplexními čísly Komplexně sdružené komplexní číslo: Sčítání a odčítání komplexního čísla: Násobení komplexního čísla: Dělení komplexního čísla:

Symboly pro obvody střídavého proudu Î Prvky střídavého obvodu: ÛC C ÛR R Û Impedance: ÛL L Napětí Příklad Napětí: Impedance: Proud: Û = U = 25 V (kapacitní charakter obvodu)

Symboly pro obvody střídavého proudu Î Prvky střídavého obvodu: ÎC ÎL ÎR Û L C R Admitance: Proudy Příklad Napětí: Admitance: Û = U = 25 V Proud: (indukční charakter obvodu)

Řešení smíšených obvodů Střídavý obvod může být zadám jako: U I 2 I 1 I ? dvojpól (jednobran) U 1 ? U 2 Z čtyřpól (dvojbran) Pomocí dvojpólu lze řešit například spotřebič, pomocí čtyřpólu vedení nebo transformátor. Nejčastější zadání: a) dvojpól je dáno napětí nebo proud a jsou známy parametry dvojpólu. Řeší se proud nebo napětí a poměry uvnitř dvojpólu. b) čtyřpól je dáno výstupní napětí nebo proud, zátěž a parametry čtyřpólu. Řeší se hodnoty vstupních veličin.

Výpočet dvojpólu Příklad Napětí v daném obvodu je 50 V. Parametry obvod – R=1 k , XC=5 k , XL=2 k. Vypočítejte proudy v obvodu a nakreslete fázorový diagram Impedance v 1. větvi: ÎRL R L ÛR ÛL ÛC C ÎC Î Û Impedance ve 2. větvi: Proud v 1. větvi: Proud ve 2. větvi: Celkový proud:

Výpočet dvojpólu Příklad Napětí v daném obvodu je 50 V. Parametry obvod – R=1 k , XC=5 k , XL=2 k. Vypočítejte proudy v obvodu, celkovou admitanci a nakreslete fázorový diagram ÎRL R L ÛR ÛL ÛC C ÎC Î Û Û ÛL ÛR Celková admitance: Î ÎC ÎRL 1. Fázor celkového napětí - Û 4. Fázor celkového proudu - Î 5. Fázor úbytku napětí na rezistoru – ÛR 2. Fázor proudu - ÎRL 6. Fázor úbytku napětí na cívce – ÛL 3. Fázor proudu - ÎC

Výpočet čtyřpólu Při řešení čtyřpólu začínáme od jeho konce – od zátěže a jedné výstupní veličiny (většinou výstupní napětí). Pro výpočet využíváme 1. a 2. Kirchhoffův zákon a Ohmův zákon. Î R 1 ÎL L 2 ÎRL ÛL L 1 Î2 ÎC C Výstupní proud – I 2 Û Proud na RL - IRL Úbytek napětí na cívce a odporu - URL Z Proud IC Napětí na cívce (celkové napětí) - UL Proud na cívce - IL Celkový proud - I

Î R 1 ÎRL ÎL L 1 ÛRL C ÛL L 2 ÎC Fázorový diagram Î2 Û 2 Z Û Û ÛL 1 ÎRL ÎL Î Î C Û 2 Î2 Výstupní proud (volíme RL zátěž) – I 2 Proud IC Proud na RL - IRL ÛR Úbytek napětí na odporu R 1 - UR Úbytek napětí na cívce L 1 – UL 1 Napětí na cívce (celkové napětí) – UL=U Proud na cívce - IL Celkový proud - I

Příklad Vypočítejte vstupní napětí a proud, je-li výstupní napětí 100 V, X C=1 k , Z=(1+2 j)k , R 1=2 k , XL 1=1 k , XL 2=2 k. Určete absolutní hodnoty. Î R 1 ÎL L 2 ÎRL L 1 ÛRL ÛL Výstupní proud – I 2 ÎC C Û Î2 Û 2 Z Proud IC Proud na RL - IRL Úbytek napětí na cívce a odporu - URL Napětí na cívce (celkové napětí) - UL

Příklad Vypočítejte vstupní napětí a proud, je-li výstupní napětí 100 V/50 Hz, XC=1 k , Z=(1+2 j)k , R 1=2 k , XL 1=1 k , XL 2=2 k. Určete absolutní hodnoty. Î R 1 ÎL L 2 ÎRL ÛL L 1 ÎC C Û Celkový proud - I Absolutní hodnota napětí Absolutní hodnota proudu Î2 Û 2 Proud na cívce – IL Z

Simulace Multisim

Výkony v komplexní rovině Výpočet výkonu v komplexní rovině lze provést dvěma způsoby: 1. varianta n Vrchní znaménko platí vždy pro indukční charakter výkonu indukční výkon je záporné znaménko, kapacitní výkon je kladné znaménko 2. varianta n Vrchní znaménko platí vždy pro indukční charakter výkonu indukční výkon je kladné znaménko, kapacitní výkon je záporné znaménko V silnoproudé elektrotechnice se používá 1. varianta. Napětí se pokládá do reálné osy, proud zůstává ve stejném komplexním tvaru. Indukční výkon (proud) je záporný, kapacitní výkon (proud) je kladný.

Příklad Vypočítejte vstupní výkon, výstupní napětí je 100 V Î R 1 ÎRL ÎL L 2 ÛRL ÛL L 1 Výstupní proud – I 2 ÎC C Î2 Û 2 Z Û Výpočet vstupních hodnot v předcházejícím příkladu Vstupní proud Vstupní napětí Výstupní výkon Vstupní výkon P 2 = 2 W, Q 2 = 4 var ind. , P 1 = 10 W, Q 1 = 11 var ind.

Materiály Blahovec Elektrotechnika 2 http: //www. leifiphysik. de/index. php http: //www. zum. de/dwu/umaptg. htm