Zeitlich variable Beschleunigung 1 Inhalt Bewegung auf einer

Zeitlich variable Beschleunigung 1

Inhalt • Bewegung auf einer Kreisbahn – Komponenten des Ortsvektors: Funktionen von Radius und Winkel • Periodische Auslenkung • Zusammenhang zwischen beiden 2

Beispiel für eine beschleunigte Bewegung mit konstantem Betrag der Geschwindigkeit: Bewegung auf einer Kreisbahn Es variiert die Richtung der Geschwindigkeit 3

Periode und Winkelgeschwindigkeit Bewegung des Vektors vom Mittelpunkt zum Ort Einheit Periode, Zeit für eine Umdrehung Winkelgeschwindigkeit s 1/s 4

Formulierung von Drehungen in einer Ebene • • Drehungen in einer Ebene ändern einen Winkel und lassen den Radius konstant Ziel: Formulierung der Komponenten des Ortsvektors mit Radius und Winkel 5

Komponenten des Ortsvektors 6

Komponenten des Vektors: Funktionen von Radius und Winkel Einheit 1 m 1 m Komponenten des Vektors 1 m Betrag, „Radius“ 1 rad Winkel 7

Ortsvektor: Funktion von Radius und Winkel Einheit 1 m Ortsvektor 1 m Betrag, „Radius“ 1 rad Winkel 8

Komponenten des Ortsvektors bei einer Drehung Einheit 1 m Ortsvektor 1 m Betrag, „Radius“ 1 rad Winkel 9

Komponente y bei Drehung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit 10

Komponente x bei Drehung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit 11

Versuch • Konstruktion einer Sinus-Kurve durch Aufzeichnung der Projektion einer Kreisbewegung als Funktion der Zeit 12

Kartesische Komponenten und Kreisfrequenz Einheit 1 m 1 m 1/s Komponenten des Vektors Winkelgeschwindigkeit, T Periode 13

Einheit 1 m Ortsvektor 1 m Betrag, „Radius“ 1 rad Winkel 1/s s Winkelgeschwindigkeit Zeit 14

Berechnung der Geschwindigkeit und der Beschleunigung aus der Ableitung des Ortsvektors nach der Zeit • Zur Ableitung eines Vektors nach der Zeit werden die Komponenten nach der Zeit abgeleitet • Die Ableitung eines Vektors ist daher wieder ein Vektor 15

Kreisbahn: Orts-, Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektor Ortsvektor Geschwindigkeitsvektor Beschleunigungsvektor 16

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Orts-, Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektor auf der Kreisbahn Die Beschleunigung weist immer zum Zentrum : Zentrifugalbeschleunigung 18

Beispiel Kreisbahn: Richtung der Vektoren für Ort-, Geschwindigkeit und Beschleunigung 19

Betrag des Orts-, Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektors auf der Kreisbahn Wie berechnet man den Betrag eines Vektors? Skalarprodukt! 20

Betrag des Ortsvektors auf der Kreisbahn Ortsvektor Skalarprodukt des Ortsvektors mit sich selbst 21

Betrag des Orts-, Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektors auf der Kreisbahn Betrag des Ortsvektors Betrag des Geschwindigkeitsvektors Betrag des Beschleunigungsvektors 22

Variable Beschleunigung bei einer geradlinigen Bewegung: Der Weg folge der Sinus-Funktion 0 23

Variable Beschleunigung: Der Weg folge der Sinus. Funktion Weg als Funktion der Zeit: Sinusfunktion Geschwindigkeit als Funktion der Zeit: Kosinus-Funktion (=verschobene Sinus-Funktion) Beschleunigung als Funktion der Zeit: verschobene Sinus. Funktion 24

Weg als Funktion der Zeit: Sinusfunktion Geschwindigkeit als Funktion der Zeit: Kosinus-Funktion (=verschobene Sinus-Funktion) Beschleunigung als Funktion der Zeit: verschobene Sinus-Funktion 25

Wichtigste Eigenschaft der Sinus. Funktion Diese Funktion ist „Form-invariant“ Bei der Ableitung ändern sich nur • die Amplitude und • die Phase Analoges gilt für ihre Integration 26

Beispiele und Versuche für eine „periodische“ Bewegung Auslenkung eines • Feder-Pendels • „Fadenpendels“ 27

Zusammenfassung: Drehungen in einer Ebene und Schwingungen • Drehungen in einer Ebene ändern einen Winkel und lassen den Radius konstant • Formulierung der Komponenten des Ortsvektors mit Radius und Winkel: Produkt aus Radius und – Kosinus des Winkels für die x-Komponente – Sinus des Winkels für die y-Komponente • Schwingungen sind Bewegungen in einer Dimension, mit Auslenkung in Form einer Sinus-Funktion der Zeit 28

Finis 29