Zavod za unapreivanje obrazovanja i vaspitanja Autor rada

Zavod za unapređivanje obrazovanja i vaspitanja ØAutor rada: Tanja Radaković, ЕТŠ” Mihajlo Pupin”, Novi Sad. ØNastavni predmet: ØTема: Matematika ØUzrast: Proporcinalnost duži, Talesova teorema ØPotrebna tehnologija: Prvi razred Računar i projektor Kliknite ovde za unos prikaza časa u Word dokumentu!

Proporcionalnost duži i Talesova teorema

Definicija: Definicija Ako su date duži a, b, k gde je k jedinična duž, i ako je a=mk, b=nk, tada količnik m: n nazivamo razmerom duži a i b, što označavamo a: b=m: n. Ako se radi o paralelnim orijentisanim dužima, npr. a i b, pod njihovom razmerom podrazumevaće se broj k, takav da je a=kb. Iz osobina vektora odavde sledi a: b=│k│, gde je a=│a│ b=│b│. Na taj način, ako je k<0, dobija se negativna razmera suprotno usmerenih orijentisanih duži. Ako dva para duži imaju jednake razmere, onda se kaže da su one proporcionalne, tj. ako je a: b=c: d.

Tales iz Mileta (oko 625 -547. pre n. e. ), jedan od sedmorice helenskih mudraca, filozof, fizičar, astronom i matematičar. Pripisuju mu se dalekovidost u političkim stvarima i svakodnevnim poslovima, izvanredna dovitljivost u rešavanju geometrijskih problema i filozofska generalizacija iskustava. Takva orijentacija je omogućavala napredak od razlomljenih pojedinačnih znanja prema celovitoj koncepciji nauke. Tako Talesova otkrića u izračunavanju visine piramide pomoću njene senke više nemaju karakter pukih radnih pravila.

Osnova Keopsove piramide je kvadrat ivice 233 m, a bočne ivice su jednake među sobom. Kolika je visina piramide, ako štap visine 2 m baca senku dužine 2 m? Udaljenost štapa do piramide je 28, 5 m. h : 2 = 147 : 2 2 h = 294 h = 147 m h 2 m 116, 5 m 28, 5 m 147 m 2 m

Talesova teorema : Ako paralelne prave a i b presecaju pravu p u tačkama A i B, a pravu q u tačkama A 1 i B 1, i ako je S zajednička tačka pravih p i q, tada važi: p B AA 1 SA SA 1 = = BB 1 SB SB 1 A S A 1 a B 1 b q

Dokaz: B A Vektori AA 1 i BB 1 su kolinearni, p pa je AA 1=k. BB 1 , odakle je AA 1 =│k│. BB 1 U ∆SAA 1 važi: AA 1=SA 1 -SA S => U ∆SBB 1 važi: BB 1=SB 1 -SB A 1 SA 1 -SA=k(SB 1 -SB), odnosno q SA 1 -k. SB 1=SA-k. SB. a b Prave p i q nisu paralelne pa je ova jednakost moguća samo ako su leva i desna strana jednakosti nula vektori: B 1 SA 1 -k. SB 1=0 i SA-k. SB=0. SA 1=k. SB 1 i SA=k. SB => SA 1 SA AA 1 =│k│ = SB 1 SB = BB 1

-važi i obrnut stav: Teorema Ako su poluprave Sp i Sq presečene dvema pravim a i b tako da su odsečci Sp i Sq proporcionalni, onda su prave a i b paralelne. Dokaz: S a` a A b p SA SA 1. = SB SB 1 Ako nije a║b, tada postoji prava a`. Po pretpostavci je B A` A 1 B 1 q Tada je, prema Talesovoj teoremi SA SA` = SB SB 1 Uzimajući u obzir pretpostavku proizlazi SA 1=SA`. Tada prema aksiomi A 14 (egzistencija para tačaka podudarnog sa zadatim) sledi A 1=A`. Odatle sledi a`= a, odnosno a║b

ZADACI ZA VEŽBANJE: 1. U trouglu ABC duž DE je paralelna sa AB. Naći dužinu duži BE, ako je AC = 15, AD = 3, BC = 25. 15 D 3 A Iz AC : CD = BC : CE sledi AC : (AC-CD) = BC : (BC-CE), C 25 E X B odnosno AC : AD = BC : BE. Odavde je BE = AD ∙ BC 3 ∙ 25 = =5. AC 15

2. Simetrala unutrašnjeg ugla trougla ABC kod temena A deli naspramnu stranicu BC na odsečke proporcionalne ostalim dvema stranicama, tj. AB : AC. Dokazati. C Neka je AD simetrala ugla CAB, a D CE║AD. Tada su jednaki uglovi: BAD i AEC, DAC i ACE , pa je trougao ACE jednakokrak. Zato je AC = AE. E A Na osnovu Talesove teoreme važi: BD : DC = AB : AC. B BD AB AB = = , odnosno DC AE AC

3. Dat je trapez ABCD sa osnovicama AB = a i CD = b. Odrediti dužinu odsečka koji dijagonale trapeza odsecaju na srednjoj liniji trapeza. D C Na osnovu Talesove teoreme važi: E X Y F AE EX = AD DC DE EY = DA AB A B => EY = 1 1 AB = a 2 2 pa je XY = EY – EX = i (a–b) 2 . 1 1 CD = b 2 2

4. Dat je trougao ABC. Prava p koja je paralelena stranici BC duži AB i AC redom u tačkama D i E. Prava q koja sadrži tačku C i paralelna je pravoj BE seče pravu AB u tački F. Dokazati da je AB² = AD∙AF. p q C E A D B F BC║ED FC║BE AB AC = AD AE AF AC = AB AE AB AF = AD AB => AB² = AD∙AF.

TEST ZADATAK U trouglu ABC duž DE je paralelna sa AB. Naći dužinu duži AC, ako je AD = CE, CD = 4, BE = 9. A Iz AC : CD = BC : CE sledi D 4 C ( AD + 4 ) : 4 = ( AD + 9 ) : AD E 9 B AD ( AD + 4 ) = 4 ( AD + 9 ) AD² + 4 AD = 4 AD + 36 AD² = 36 AD = 6 odakle je AC = AD + DC = 6 + 4 = 10.

DOMAĆI ZADATAK: Zbirka zadataka: strana 123, zadaci: 884 a), v), 889, 891.

DOMAĆI ZADATAK (TEKST) 1. U trouglu ABC duž DE je paralelna sa AB. a) Naći dužinu duži CE, ako je AC = 12, CD = 4, BC = 24. b) Naći dužinu duži BC, ako je AD = 6, CD =14, CE = 7. 2. Dokazati da simetrala spoljašnjeg ugla kod temena A trougla ABC deli stranicu BC u odnosu AB : AC ( AB ≠ BC ). 3. Prava koja sadrži presek dijagonala trapeza ABCD i paralelna je sa osnovicama a i b, seče krake AD i BC redom u tačkama M i N. Odrediti dužinu MN.