Zavod za unapreivanje obrazovanja i vaspitanja Autor rada
Zavod za unapređivanje obrazovanja i vaspitanja Ø Ø Autor rada: Mirjana Mitrović, ЕТŠ” Mihajlo Pupin”, Novi Sad. Nastavni predmet: Matematika Trigonometrijski krug Ø Тема: Drugi Ø Ø Uzrast: Računar i projektor Potrebna tehnologija: Kliknite ovde za unos prikaza časa u Word dokumentu!
TRIGONOMETRIJSKI KRUG DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA NA TRIGONOMETRIJSKOM KRUGU
Definicija: Definicija Trigonometrijski krug je krug poluprečnika 1 čiji je centar u koordinatnom početku. Tačka A sa koordinatama (1, 0) koja pripada trigonometrijskom krugu zove se početna tačka. y 1 Pozitivan smer -1 0 A 1 x Negativan smer -1 Luk koji se obilazi u pozitivnom smeru, tj. suprotno smeru kazaljke na satu, zove se pozitivan luk, a ako je luk obilaska negativan, luk je negativan. Mera ovih lukova je predstavljena njihovom dužinom sa znakom + ili -.
Na ovaj način svakom orijentisanom luku dodeljujemo realan broj, a može i obrnuto. Neka je M tačka na trigonometrijskoj kružnici. Mera luka AM jednaka je radijanskoj meri ugla ( , OA). Vektor OM OM zove se radijus vektor ugla Definicija: Neka je α= (OA OM , ) proizvoljan orijentisan ugao kojem odgovara orijentisan luk AM. Ako 0 su 0 (x , y ) koordinate tačke M, kosinus i sinus ugla se definišu kao: sinα = y 0 , cosα = x 0
y 1 M(x 0 , y 0) yo sinα -1 α cosα 0 -1 xo 1 x
Primer: Predstavi na trigonometrijskoj kružnici sinα i cosα ako je ugao α u: a) II kvadrantu c) IV kvadrantu y y y 1 1 1 sinα -1 b) III kvadrantu cosα α 0 -1 cosα 1 x -1 α 0 sinα -1 1 x -1 α cosα 0 1 x sinα -1 Zaključak: ak Funkcija sinα je pozitivna u I i II kvadrantu, a negativna u III i IV, dok je funkcija cosα pozitivna u I i IV, a negativna u II i III kvadrantu.
Definicija: Prava x=1 koja prolazi kroz tačku A i paralelna je sa y-osom naziva se osa tangensa. π Ako je OM radijus vektor ugla α, α≠ 2 +k π, gde je k ceo broj, obeležimo sa N tačku preseka prave OM i ose tangensa. Neka 0 su (1, y ) koordinate tačke N. Tada je: o tgα = y Za razliku od sinusa i kosinusa, tangens nije definisan za svaki ugao α. Ako α raste i teži ka π , tg α se neograničeno povećava i u 2 graničnom slučaju α = π , tg α nije definisan. Isto važi za svaki ugao 2 π α = 2 +k π, gde je k ceo broj. Tada pišemo: tg α → +∞, α → π + k π + 0 2
y 1 Osa tangensa y 0 N M tgα α -1 1 0 -1 x
Definicija: Prava y=1 koja prolazi kroz tačku (0, 1) i paralelna je sa x-osom naziva se osa kotangensa. Ako je OM radijus vektor ugla α, α≠ k π, gde je k ceo broj, obeležimo sa L tačku preseka prave OM i ose kotangensa. Neka 0 su (x , 1 ) koordinate tačke L. Tada je: ctgα = x 0 Kao i tangens, ni kotangens nije definisan za svaki ugao α. Ako α raste i teži ka π , ctg α se neograničeno povećava i u graničnom slučaju α = π , ctg α nije definisan. Isto važi za svaki ugao α = k π, gde je k ceo broj. Tada pišemo: ctg α → +∞, α → k π + 0
y Osa kotangensa L 1 M α -1 ctgα 0 -1 1 x 0 x
Primer: Predstavi na trigonometrijskoj kružnici tgα i ctgα ako je ugao α u: a) II kvadrantu b) III kvadrantu c) IV kvadrantu y y y tgα 1 ctgα -1 tgα 1 α 0 -1 α 1 x -1 0 ctgα α 1 x -1 ctgα 0 -1 1 x -1 tgα Zaključak: ak Funkcije tgα i ctgα su pozitivne u I i III kvadrantu, a negativne u II i IV kvadrantu.
Zadatak: Na trigonometrijskoj kružnici odredi trigonometrijske funkcije ugla o o α ako je: a) α =145 b) α =240 o a)Ugao od 145 je u II kvadrantu y 1 sin α ctgα α -1 cos α 0 1 tg α -1 x
o b)Ugao od 240 je u III kvadrantu y tg α 1 cos α -1 α 0 ctgα sin α -1 1 x
Zadatak 2. Odredi ugao α na trigonometrijskoj kružnici ako je dato: 1 a) sin α = - 2 , b) cos α = a) , c) tg α = 2 , b) y α 2 -1 1 2 d) ctg α = -1. 5 y 1 1 α 2 sin α 0 1 x -1 0 cos α 1 2 -1 α 1 -1 1 x
c) d) y y 2 1 tgα 1 -1. 5 α 2 -1 -1 ctg α α 2 α 1 0 1 x -1 -1 0 1 x
Zadaci za vežbu 1. Predstavi na trigonometrijskoj kružnici trigonometrijske funkcije ugla α ako je : a) α = 70 o b) α = 130 o c) α = 250 o d) α = 310 o 2. Odredi ugao α na trigonometrijskoj kružnici ako je dato: a) sin α = 3 4 b) cos α = - 2 3 c) tg α = 2 d) ctg α = -1. 5.
- Slides: 16