Zakljuak o pristupu nastavi uvijek ii od jednostavnog

Zaključak o pristupu nastavi uvijek ići od jednostavnog prema kompliciranom (dakle induktivno), a ne obrnuto ¢ izreći teorem i onda ići dalje čini se logično, ali to nije podučavanje jer ne doprinosi razumijevanju ¢ matematičaru je najlakša stvar izreći teorem i dati dokaz – podučavanje zahtijeva veći napor ¢ nisu dozvoljene netočnosti, ali dozvoljena su pojednostavljenja ¢

Matematička teorija u nastavi matematike osnovni pojmovi i njihova svojstva ¢ aksiomi ¢ izvedeni pojmovi ¢ teoremi (istiniti sudovi koji su rezultati mat. zaključivanja, u pravilu deduktivnog) ¢

Aksiom ¢ osnovno načelo koje ne traži dokaz jer je neposredno očito osnovna tvrdnja kojom se opisuju temeljna svojstva objekta dane teorije sustav aksioma: nezavisan, neproturječan, potpun ¢ skup N uvodi se aksiomatski ¢ ¢

Pojmovi matematički pojam je objekt ili odnos među objektima (relacija), a zanima nas koja svojstva ima ¢ definicija pojma je navođenje nužnih i dovoljnih svojstava matematičkog pojma ¢ sadržaj pojma je skup svih bitnih obilježja koje imaju svi objekti/relacije obuhvaćeni tim pojmom ¢ opseg pojma je skup svih pojedinačnih objekata/relacija na koje se taj pojam može primijeniti ¢

Primjer: pojam: paralelogram sadržaj pojma: nasuprotne stranice paralelne nasuprotne stranice sukladne dijagonale se raspolavljaju nasuprotni kutevi su sukladni susjedni kutovi su suplementarni opseg pojma: pravokutnik, romb, kvadrat, romboid

Klasifikacija, rod i vrsta pojma klasifikacija je postupak razlikovanja objekata/relacija unutar opsega pojma, nije jednoznačno određena ¢ ako gledamo dva pojma takva da je opseg jednog podskup opsega drugog, onaj većeg opsega je rod za onaj manjeg opsega, a onaj manjeg opsega je vrsta za onaj većeg ¢

Definicija pojma 1. 2. 3. 4. 5. 6. Pomoću najbližeg roda i razlike vrste Nabrajanjem bitnih obilježja Induktivno (za nekakav niz) Genetička definicija (opis kako nastaje) Konvencija (dogovor) Standardne formulacije: “kažemo da je”, “zove se”, . . .

1. Primjer: pravokutnik najbliži rod: paralelogram razlika vrste: jedan unutarnji kut je pravi kut Pravokutnik je paralelogram koje mu je jedan unutarnji kut pravi kut Primjer: romb najbliži rod: paralelogram razlika vrste: dijagonale su okomite susjedne stranice su sukladne Paralelogram kojemu su dijegonale okomite zove se romb. Paralelogram kojemu su susjedne stranice sukladne zove se romb. Primjer: kvadrat najbliži rod: pravokutnik, romb razlika vrste: obzirom na romb: unutarnji kut je pravi kut obzirom na pravokutnik: susjedne stranice su jednake duljine dijagonale su okomite Pravokutnik kojemu su dijagonale okomite zove se kvadrat. Pravokutnik kojemu su susjedne stranice jednake duljine zove se kvadrat. Romb kojemu je jedan unutarnji kut pravi naziva se kvadrat

2. Primjer: kružnica Skup svih točaka ravnine koje su jednako udaljene od jedne čvrste točke te iste ravnine naziva se kružnica. Primjer: sfera Skup svih točaka prostora koje su jednako udaljene od jedne čvrste točke tog prostora naziva se sfera.

3. ¢ ¢ Primjer: Niz kojemu je svaki član jednak produktu prethodnog člana i konstante naziva se geometrijski niz. Primjer: niz kojemu je svaki član jednak zbroju prethodnog člana i konstante naziva se aritmetički niz.

4. ¢ ¢ Primjer: ploha koja nastaje vrtnjom kružnice oko njezina promjera naziva se sfera Primjer: tijelo koje nastaje vrtnjom pravokutnika oko njegove jedne stranice naziva se valjak.

Uvođenje novih pojmova U skladu s načelom primjerenosti ¢ Poželjna je jednoznačnost, a eventualnu nejednoznačnost treba istaknuti ¢ Razine uvođenja: intuitivna – pojmovna (kvalitativna) – simbolička (kvantitativna) ¢

Razumijevanje pojma osigurat će: motivacija ¢ induktivno uvođenje ¢ precizna formulacija ¢ bogata ilustracija na primjerima svih dijelova definicije ¢ primjena ¢ svijest učenika da to mora znati ¢

Konvencionalne definicije dogovorene definicije ¢ primjer: metar, točka, pravac 0! ¢

Pravila kojih se moramo držati pri definiranju: ¢ ¢ Definicija mora biti primjerena definiranom pojmu, ni preuska ni preširoka i mora razotkrivati bit pojma Definicija mora biti pregledna Ne smije biti negativna ako može biti pozitivna Opseg pojma koji se definira ne smije biti prazan skup

Narušena pravila Za dva pravca kažemo da su paralelni ako se oni ne sijeku ili ne podudaraju. ¢ Paralelogram je četevrokut koji ima 2 para međusobno paralelnih stranica jednakih duljina. ¢ Kut čiji kraci su međusobno okomiti je pravi kut. ¢

Što je teorem? matematički sud čija se istinitost utvrđuje dokazom (teoremom postaje kad se ta istinitost utvrdi, dotad je hipoteza) ¢ dokaz je logičko zaključivanje iz aksioma, definicija i prethodno dokazanih teorema ¢ mora biti jasno istaknuto uz koje se uvjete određeni objekt razmatra i što se o tom objektu tvrdi ¢

Oblik teorema ¢ teoremi su u pravilu oblika P Q ¢ obrat teorema: Q P ¢ ekvivalencija: P Q

Vrste dokaza (teorema tj. tvrdnje P Q) ¢ direktni ¢ indirektni P se zove pretpostavka teorema, Q je tvrdnja teorema, a implikacija Q P zove se obrat teorema dokaz ekvivalencije je dokaz obje implikacije!!!

Direktni dokaz ¢ ako je tvrdnja oblika P Q, treba konstruirati niz tvrdnji P 1, . . . , Pn tako da je svaka tvrdnja u nizu ili aksiom ili definicija ili je dobivena iz prethodno dokazanih teorema po nekom pravilu zaključivanja

Indirektni dokaz tvrdnje ekvivalentne tvrdnji P Q ¢ glavni oblici su: ¢ obrat po kontrapoziciji: dokazuje se Q P ¢ reductio ad apsurdum (svođenje na kontradikciju): dokaže se P& Q L=neka očigledno lažna tvrdnja pa je negacija od P Q lažna tj. P Q je istinita pa vrijedi Q ¢

Na početku je pitanje “A zašto? ” recimo da obrađujemo račun s decimalnim brojevima i da su djeca usvojila zbrajanje, oduzimanje, množenje, a treba obraditi dijeljenje ¢ moguće pitanje: “A zašto uopće možemo dijeliti s decimalnim brojem? ” ¢ standardno će učitelj odgovoriti: kako znamo je 100: 2 isto što i 1000: 20, pa po uzoru na to je i 10: 0, 2 ili 1: 0, 02 to isto tj. 5 ¢ to se teško može nazvati “uvjerljivom pričom” ! ¢

neuvjerljivost je npr. u tome što 100 kn možemo podijelit među 20 djece ili 10 kn među 2 djece, ali ne možemo podijeliti 1 kn među 0, 2 djece. . . ¢ kako onda to objasniti? ¢ npr. ovako: tko želi isplatiti 1 kn u kovanicama od 20 lp=0, 2 kn, treba 5 kovanica tj. Za 10 kn po 2 kn treba jednako mnogo kovanica kao za 1 kn po 20 lp ¢ što smo time napravili? kao argument smo koristili predodžbu kojom dijete raspolaže umjesto formalnog računa koji djeluje više kao trik ¢ pitanje “zašto” je na početku svakog saznanja!!! ¢

Argumentiranje ¢ ¢ pitanje “zašto” je na početku potrage za uvjerenjem – a ta potraga se javlja zbog nekog individualnog ili kolektivnog uvjerenja pitanje “zašto možemo dijelit s decimalnim brojem? zašto je 10: 0, 2 isto što i 100: 2? ” je posljedica uvjerenja da je dijeljenje (raspodjela) moguće samo na prirodno mnogo dijelova sumnja argumenti za drugačije shvaćanje dijeljenja uklanjaju tu sumnju ako se u nastavi matematike njeguje argumentiranje, doprinosi se ne samo matematičkom znanju, nego i uvježbavanju jasnog mišljenja i kritičke racionalnosti