Zahlensysteme und allgemeine Begriffsbestimmungen Karin Goldenits Dezimalsystem lat

Zahlensysteme und allgemeine Begriffsbestimmungen Karin Goldenits

Dezimalsystem (lat. decimus, der zehnte) n n Die Basis des Dezimalsystems ist 10 (Ziffern 0 -9) Der Wert einer Ziffer in einer Zahl hängt von Ihrem Stellenwert ab z. B. 373 H Z E 100 300 n n 10 70 1 3 = 373 Im Dezimalsystem entspricht jede Stelle eine Potenz der Basis 10 (102=100; 101=10; 100=1) z. B. : 373 = 3*102+7*101+3*100 12. 01. 2022 Ing. Karin Goldenits, BEd 2

Binärsystem (od. Dualsystem) n Computer sind Maschinen die nur zwei Schaltzustände annehmen können (binary digit=BIT), anstatt der Ziffern 0 -9, stehen nur die Ziffern 0 und 1 zur Verfügung: q q n n 0 Schalter aus: es fließt kein Strom, nein, aus, falsch 1 Schalter ein: es fließt Strom, ja, an, wahr Zahlensystem mit dem der Computer rechnen und Daten speichern kann Basis ist 2 (0 oder 1) Im Binärsystem entspricht jede Stelle dem Wert einer Potenz der Basis 2(…, 22=4, 21=2, 20=1) z. B. 101=1*22+0*21+1*20 12. 01. 2022 Ing. Karin Goldenits, BEd 3

Umrechnen von Dezimal nach Binär n Die Dezimalzahl ist fortlaufend durch 2 (Basis) zu dividieren. Dabei sind die Quotienten darunter und die Reste daneben anzuschreiben. Als Reste sind nur 0 oder 1 möglich. Die Reste, von unten nach oben gelesen, ergeben die Binärzahl. 12. 01. 2022 2 25 12, 5 1 12 6 0 6 3 3 1, 5 1 1 0, 5 1 Ing. Karin Goldenits, BEd Ergebnis: 11001 0 4

Umrechnen von Binär nach Dezimal Die Bitfolge 1101 hat z. B. den Zahlenwert: 1*23+1*22+0*21+1*20 = 1*8+1*4+0*2+1*1 = 1310 11012 = 1310 wobei der Index angibt in welchem Zahlensystem die Ziffernfolge interpretiert werden soll. 12. 01. 2022 Ing. Karin Goldenits, BEd 5

Hexadezimalsystem n n Ebenfalls in der Computertechnik gebräuchlich ist das Hexadezimalsystem, Basis ist 16 4 Binärstellen entsprechen einer Hexadezimalzahl(16=24). Insgesamt gibt es 16 verschiedene Gruppierungen von 4 Bit. Diese 16 Bitgruppierungen haben daher „Namen“ nämlich die Ziffern von 0 bis 9 und die Zeichen von A bis F. Die Standardeinheit der Informationsgröße ist ein Byte, zwei Ziffern entsprechen einem Byte 12. 01. 2022 Ing. Karin Goldenits, BEd 7

Bit und Byte n n Mit 8 Bits kann man 28 = 256 Zeichen darstellen, d. h. man kann mit 8 Stellen die beiden Ziffern 0 und 1 auf 256 verschiedene Arten anordnen wird zur Zeichendarstellung benutzt 12. 01. 2022 Ing. Karin Goldenits, BEd 8

Hexadezimalzahlen Beispiel: Zahl: 7 A (16) 7 A = 0111 1010 (2), d. h. die Bitfolge 01111010 lässt sich auch durch die Zahl 7 A ausdrücken. Binär=Hexa 0000 = 0 0001 = 1 0010 = 2 0011 = 3 12. 01. 2022 Binär=Hexa 0100 = 4 0101 = 5 0110 = 6 0111 = 7 Binär=Hexa 1000 = 8 1001 = 9 1010 = A 1011 = B Ing. Karin Goldenits, BEd Binär=Hexa 1100 = C 1101 = D 1110 = E 1111 = F 9

Umrechnung von Dezimal- ins Hexadezimalsystem n n Teile die Zahl mit Rest durch 16 Der Divisionsrest ist die nächste Ziffer Für Reste >9 nimmt man die Buchstaben A, B, C, D, E, F Falls der (ganzzahlige) Quotient 0 ist, ist die Rechnung fertig, ansonsten ist der Quotient die neue Zahl Rest 16 122 7 7 0 Schreibweise 10 7 A 7 Ergebnis: 7 A 12. 01. 2022 Ing. Karin Goldenits, BEd 10

Umrechnung von Hexadezimal- ins Dezimalsystem Jede Stelle der Zahl hat den Wert der entsprechenden Potenz von 16; n die rechte Ziffer entspricht 16º=1, die zweite von rechts 16¹=16 usw. , (A=10, B=11, . . . ) n Zahlenwert mal mit der entsprechenden Potenz und summieren. Beispiel: 7*161+A*160 = 7*16+10*1= 112+10= 122 n 12. 01. 2022 Ing. Karin Goldenits, BEd 11

Codierung von Zeichen Um Zeichen in verschiedenen Systemen und Ländern gleich darzustellen, wurden Standards für ihre Codierung entwickelt n ASCII-Code (American Standard Code for Information Interchange), 27 Zeichen codieren n ANSI-Code (American National-Standards Institute), Standard Windows, Mac n Unicode (UCS-4 = 32 Bit, UCS-2 =16 Bit, UTF 8), mehr als 1 Million Zeichen darstellen n EBCDIC (Extended Binary Coded Decimal Interchange Code), Einsatz bei Großrechner 12. 01. 2022 Ing. Karin Goldenits, BEd 12

Masseinheiten bzw. Informationsmengen Binär-Präfixe Dezimal-Präfixe 1 BIT (0, 1) Kleinste Informationseinheit 1 BYTE 8 BIT (Standard-Einheit) 1 KILOBYTE 210 = 1 024 Byte (1 KB) 103 Byte =1. 000 Byte 1 MEGABYTE 220 = 1 048 576 Byte (1 MB) 106 Byte =1. 000 Byte 1 GIGABYTE 230 = 1 073 741 576 Byte (1 GB) 109 Byte =1. 000 Byte 1 TERABYTE 240 = 1. 099. 511. 627. 776 Byte (1 TB) 1012 Byte 12. 01. 2022 Ing. Karin Goldenits, BEd 13

Größenordnung n 1 Byte = 1 Zeichen n 1 Kilobyte = 1 Seite Text n 1 Megabyte = 1 Buch n 1 Gigabyte = 1 Bibliothek n 1 Terabyte = das Weltwissen (Texte) 12. 01. 2022 Ing. Karin Goldenits, BEd 14

Wiederholungsfragen 1. 2. 3. 4. Wie viele Zeichen kann man mit 8 Bits darstellen? Wie viele Bits benötigt man mindestens um 16 Zeichen darstellen zu können? Wie viele Zeichen kann man mit zwei Bytes darstellen? Welche Farbe ergibt #00 FF 00? 12. 01. 2022 Ing. Karin Goldenits, BEd 15

Antworten 1. 2. 3. 4. Man kann 256 Zeichen darstellen, da 28 = 256 ist Man benötigt mindestens 4 Bits, da 24 = 16 ist Mit 2 Bytes kann man 216 = 65536 Zeichen darstellen Grün 12. 01. 2022 Ing. Karin Goldenits, BEd 16

Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit und viel Spaß beim Rechnen! 12. 01. 2022 Ing. Karin Goldenits, BEd 17