Yksiulotteiset kuvaukset S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelm

Yksiulotteiset kuvaukset S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Kim Björkman Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 / 1

Sisältö • Johdanto • Gobweb plot • Kiintopisteiden stabiilisuus • Jaksolliset pisteet S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Kim Björkman Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 / 2

Sisältö • Logistiset kuvaukset – G(x)= 4 x(1 -x) • Herkkä riippuvuus alkutilasta • Kulkureitti • Kotitehtävä S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Kim Björkman Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 / 3

Johdanto • Dynaaminen järjestelmä koostuu: – Tiloista (state) – Säännöstä (rule) jonka perusteella nykyinen tila voidaan ratkaista vanhojen tilojen perusteella • Säännön tulee olla deterministinen • Diskreetti aikainen järjestelmä S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Kim Björkman Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 / 4

Johdanto • Sääntöjä kutsutaan usein kuvauksiksi (map) • Kuvaus on funktio, jonka input avaruus on sama kuin output avaruus • Olkoon x piste ja f kuvaus. x: n rata (orbit) f: ssä on joukko pisteitä • Radan aloituspiste x on radan alkuarvo (initial value) • Jokin piste p on kuvauksen kiintopiste (fixed point), jos f(p)=p S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Kim Björkman Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 / 5

Esimerkki • g(x)=2 x(1 -x) on kuvaus • x=0. 01 rata g: ssä on {0. 01, 0. 0198, …} • g: n kiintopisteet x = 0 sekä x = 1/2 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Kim Björkman Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 / 6

Johdanto funktiota f sovelletaan alkuarvoon k kertaa S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Kim Björkman Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 / 7

Cobweb plot • Radan graafinen kuvaus • Funktio f kuvataan yhdessä diagonaalisen viivan y=x kanssa • Funktion ja viivan risteykset ovat kiintopisteitä S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Kim Björkman Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 / 8

Cobweb plot • Askel 1: pystysuoraan funktiolle, koordinaatit: • Askel 2: Funktiolta vaakasuoraan viivalle y=x • Askel 3: Pystysuoraan viivalta funktiolle • Askel 4: => askel 2 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Kim Björkman Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 / 9

Kiintopisteen stabiilisuus • Ominaisuus, jolloin pisteet lähellä kiintopistettä lähestyvät edelleen kiintopistettä järjestelmän kehittyessä • Realistisen järjestelmän havaittu steady state tulee vastata stabiilia kiintopistettä S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Kim Björkman Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 / 10

Kiintopisteen stabiilisuus • Jos pistettä p (f(p) = p) lähellä olevat pisteet lähestyvät p: tä, kutsutaan p: tä nieluksi (sink) tai puoleensa vetäväksi kiintopisteeksi (attracting fixed point) • Jos on olemassa • Jos läheiset pisteet loittonevat p: stä, on p lähde (source) tai torjuva kiintopiste (repelling fixed point) S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Kim Björkman Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 / 11

Kiintopisteen stabilisuus • Jos nielu • Jos lähde p on • Esim. f(x)=2 x(1 -x) (0, 0. 5) S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Kim Björkman Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 / 12

Jaksolliset pisteet • f(x)=3. 2 x(1 -x) • Kiintopisteet – x=0 ja x=22/32 – molemmat lähteitä • Pyörii pisteiden p 1 = 0. 513 ja p 2 = 0. 7995 välillä S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Kim Björkman Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 / 13

Jaksolliset pisteet • f(p 1)=p 2 ja f(p 2)=p 1 • f²(p 1)=p 1 – eli p 1 on f²=h kiintopiste • Heilahtelu p 1 ja p 2 välillä on stabiilia • Pari {p 1, p 2} on jaksollinen rata S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Kim Björkman Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 / 14

Jaksolliset pisteet • Olkoon f kuvaus, p on jaksollinen piste jaksolla k jos ja k on pienin positiivinen kokonaisluku (period point of period k) • Jakson k jaksollinen rata on rata, jonka alkupiste on p ja koostuu k pisteestä (periodic orbit of period k) S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Kim Björkman Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 / 15

Jaksolliset pisteet • f kuvaus, p jaksollinen piste jaksolla k. p: n jakson k jaksollinen rata on jaksollinen nielu (periodic sink) jos p on nielu kuvaukselle • Jaksollien rata on nielu jos • ja lähde jos S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Kim Björkman Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 / 16

Logistiset kuvaukset • Yksinkertainen neliöllinen kuvaus • Jaksollisten ratojen, bifurkaatioiden, kaaoksen esittämiseen • Yksi kiintopiste a<1, x=0 nielu • Kaksi kiintopistettä 1<a<3, x=(a-1)/a nielu • a>3, kiintopiste on epästabiili S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Kim Björkman Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 / 17

Logistiset kuvaukset • a) a = 0. 8 • b) a = 2 • c) a = 3. 2 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Kim Björkman Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 / 18

Logistiset kuvaukset • Bifurkaatio • Approksimoi kiintopisteitä tai jaksollisia puoleensa vetäviä joukkoja • Bifurkaatio kaavio – – – (1) valitse a (a =1) (2) valitse x umpimähkään [0, 1] (3) laske rata (4) aloita kuvaus 101 iteraatiolla (5) kasvata a ja aloita alusta S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Kim Björkman Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 / 19

Logistiset kuvaukset • a=3. 86 • Kaoottinen attraktori (chaotic attractor) – Voivat yllättäen kadota tai ilmestyä – Tai muuttaa kokoaan – Käännekohta (crisis) S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Kim Björkman Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 / 20

G(x)=4 x(1 -x) • Ei yhtään puoleensa vetävää joukkoa • Hyvin monipuolinen dynaaminen käyttäytyminen • Kaksi epävakaata kiintopistettä • Jokaisen iteraation myötä kiintopisteiden lukumäärä kaksinkertaistuu S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Kim Björkman Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 / 21

G(x)=4 x(1 -x) • Jaksollisia ratoja jokaiselle jaksolle S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Kim Björkman Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 / 22

Herkkä riippuvuus alkutilasta • Kaaoksen tuntomerkki • Ominaisuus, missä kaksi mielivaltaisen lähekkäistä pistettä lopulta ajautuu erilleen • Esim. f(x)=2 x mod 1 – x = 0. 3001 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Kim Björkman Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 / 23

Herkkä riippuvuus alkutilasta S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Kim Björkman Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 / 24

Määritelmä • Pisteellä on herkkä riippuvuus alkutilasta, jos on olemassa d>0 siten, että mikä tahansa lähistö N sisältää pisteen x siten että • Mitä lähempänä x on sitä suurempi k S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Kim Björkman Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 / 25

Kulkureitti (Itineraries) • Kirjanpitomenetelmä • Herkän riippuvuuden tutkimiseen • Radan informaatio voidaan ilmaista diskreetein symbolein – Symbolinen dynamiikka S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Kim Björkman Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 / 26

Esimerkki • G(x)=4 x(1 -x) – L [0, 0. 5], R[0. 5, 1] • Esimerkki S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Kim Björkman Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 / 27

Kulkureitti • Halutaan identifioida alueita yksikköväliltä, missä aloitusarvot saavat saman spesifisen sekvenssin symboleita • Määritettäessä k ensimmäistä kulkureittiä saadaan vaihtoehtoa S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Kim Björkman Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 / 28

Linkkejä • http: //people. uncw. edu/hermanr/Chaos/Chao s. Wiki. htm • http: //www. its. caltech. edu/~mcc/Chaos_Cou rse/Lesson 4/Demos. html S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Kim Björkman Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 / 29

Kotitehtävä • A) – Piirrä Cobweb plot jostain kuvauksesta (min 5 iteraatiota, 1 p) • B) – Etsi f(x)=4 x(1 -x) jakso 2 jaksollinen rata (3 p) – Näytä että jakson 2 jaksollinen rata on lähde (1 p) S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 2 - Kim Björkman Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 / 30