y La mthode dEuler 1707 1783 t Ou

y La méthode d’Euler (1707 -1783) t Ou comment connaître (à peu près) le futur avec y - des conditions initiales connues, - Une équa diff du premier degré que l’on ne sait pas résoudre t

Les contenus (p. 85 B. O. ) Chute verticale avec frottement (Placée avant la chute libre) Application 2ème loi de N. à un mouvement de chute verticale : forces appliquées au solide (poids, poussée d’Archimède, force de frottement fluide) Équa diff du mouvement ;

Les contenus (Suite) Résolution de l’équa diff par une méthode numérique itérative Régime initial et asymptotique (dit « permanent » ) Vitesse limite ; notion de temps caractéristique

Connaissances et savoir-faire exigibles - Appliquer la deuxième loi de Newton à un corps en chute verticale dans un fluide et établir l’équation différentielle du mouvement, la force de frottement étant donnée. - Connaître le principe de la méthode d’Euler pour la résolution approchée d’une équa diff. - Savoir exploiter des reproductions d’écrans d’ordinateur (lors de l’utilisation d’un tableur-grapheur) correspondant à des enregistrements expérimentaux

Connaissances et savoir-faire exigibles (suite) - Savoir exploiter des courbes VG = f(t) pour : -Reconnaître le régime initial et/ou le régime asymptotique -Évaluer le temps caractéristique -Déterminer la vitesse limite - Dans le cas de la résolution par la méthode itérative de l’équa diff, discuter la pertinence des courbes obtenues/ aux résultats expérimentaux

Principe mathématique de la méthode y Y(t) = f (t, x(t)) t dt

À un instant quelconque, on peut écrire : y(t+dt) = y(t) + v(t). dt + O(t 2) Ordre en t 2 négligé De même, v(t+dt) = v(t) + a(t). dt + O(t 2) Ordre en t 2 négligé

Cas de la chute libre avec frottement Ecoulement à nombre de Reynolds supérieur à 1000 (turbulent) Frottement f(t) = k. V 2(t) (avec k = ½. Cx. r. S. Balle de Ping-pong ou balle de tennis)

Solutions : Balle de tennis, boule de pétanque : Si on lâche à hauteur d’homme, écart à l’arrivée 2 cm (!) BUP 815

Méthode itérative Date Position Vitesse Accélération ti yi vi ai ti+1 yi+1 vi+1 ai+1 k = Donc Yi+1 = Yi + Vi. dt Vi+1 = Vi + Ai. dt

Exploitation avec un tableur type Excel Pas Altitude Vitesse Accélér V/Vlim d’itération Y A 2 V B 2 0 A 3 Y 1 Y 2 = A 3 + 0, 05. B 3 a C 2 D 2 0 B 3 9, 81 C 3 0 D 3 V 1 a 1 0, 05 (ex) Vlim(m/s) 5, 8

Une seule ligne définie, toutes les autres calculées par un simple « copier/coller » Conditions initiales Définitions des cellules par des « formules » Rien à faire. Le logiciel calcule grâce à un copier/coller