XXIII Olimpiada Thales NMEROS AMIGOS El nmero romano

XXIII Olimpiada Thales

NÚMEROS AMIGOS: El número romano Zipi = CCXX, tiene un gran amigo que, obviamente, se llama Zape es el gran amigo de Zipi porque es la suma de todos los divisores de Zipi (sin contar al propio Zipi). ¿Podrías averiguar qué número es Zape y cómo se expresa en números romanos? Comprueba también que Zipi es el gran amigo de Zape porque es la suma de todos sus divisores (excepto Zape). Solución

Solución: Vayamos por partes… El número romano Zipi = CCXX tiene un gran amigo que… Empecemos averiguando el número Zipi. Recuerda que C=100 y X=10 en números romanos con lo que… Zipi = 220 Sigamos con las pistas del enunciado… Zape es el gran amigo de Zipi porque es la suma de todos los divisores de Zipi (sin contar al propio Zipi)…. Así es que para saber qué número es Zape, ¡tendremos que calcular todos los divisores de 220! Enunciado

Solución: Vamos a empezar factorizando a Zipi: 220 110 55 11 1 2 2 5 11 220 = 1 x 22 x 5 x 11 Para calcular todos sus divisores, basta ir cogiendo sus factores de todas las formas posibles… ¡Fíjate! Enunciado

Solución: 220 = 22 x 5 x 11 2 Un solo factor Factores que cogemos Enunciado 2 X 5 11 X X Divisor 2 5 11

Solución: 220 = 22 x 5 x 11 2 2 X Factores que cogemos Enunciado 11 X Un solo factor Dos factores 5 X X X X X Divisor 2 5 11 2 x 2 = 4 2 x 5 =10 2 x 11=22 5 x 11=55

Solución: 220 = 22 x 5 x 11 2 2 X Factores que cogemos X X X X Tres factores X X X Enunciado 11 X Un solo factor Dos factores 5 X X Divisor 2 5 11 2 x 2 = 4 2 x 5 =10 2 x 11=22 5 x 11=55 22 x 5=20 X 22 x 11=44 X 2 x 5 x 11=110

Solución: 220 = 22 x 5 x 11 2 2 X Factores que cogemos ¡Y los cuatro! Enunciado X X X X Tres factores 11 X Un solo factor Dos factores 5 X X X X Divisor 2 5 11 2 x 2 = 4 2 x 5 =10 2 x 11=22 5 x 11=55 22 x 5=20 X 22 x 11=44 X X X 2 x 5 x 11=110 X X X 220

Solución: Volvamos de nuevo a nuestra pista: Zape es el gran amigo de Zipi porque es la suma de todos los divisores de Zipi (sin contar al propio Zipi)…. Así que para encontrar a Zape, basta sumar todos los divisores de Zipi quitando a Zipi=220. ¡Y que no se nos olvide el 1! 2 2 X 5 11 X X X X Enunciado X X X X Divisor 2 5 11 4 10 22 55 20 44 110 220 1+2+5+11+4+10+22+55+20+44+110 Zape = 284

Solución: Ahora sólo nos queda expresar Zape en números romanos… Recuerda que L=50, V=5 y I=1, así que tenemos que: Zape = 284 Zape = CCLXXXIV Comprobemos ahora que Zape es también la suma de todos los divisores de Zipi: 2 284 2 142 2 71 71 1 284 = 1 x 22 x 71 Quitando a Zape y añadiendo el 1… Enunciado X X X 2 71 X X X Divisor 2 71 4 142 284 1+2+71+4+142=220 ¡¡¡JUSTO ZIPI!!!

Solución: ESO SÍ QUE ES SER BUENOS AMIGOS ¿NO CREES? Enunciado