X Tenosusteooria ja kirjeldav statistika Taimi TammVask Phioskused

X Tõenäosusteooria ja kirjeldav statistika. Taimi Tamm-Vask

Põhioskused. Sündmuste kirjeldamine. Sündmuste tõenäosuse arvutamine. Permutatsioonide ja kombinatsioonide arvu leidmine. Tõenäosuste liitmis- ja korrutamisvalemite kasutamine. Bernoulli valemi kasutamine. Arvandmete korrastamine. Statistiliste andmete esitamine diagrammina. Moodi ja mediaani leidmine. Keskväärtuse ja standardhälbe arvutamine. 2

Kombinatoorika. Variatsioonid n erinevast elemendist m kaupa on ühendid, mis erinevad üksteisest elementide eneste või nende järjestuse poolest (s. t uus järjestus endiste elementidega loetakse uueks ühendiks). Üksteisest erinevate variatsioonide arvu n elemendist m kaupa tähistatakse või 3

Variatsioonid. Siin ( arvu n faktoriaal). Eraldi defineeritakse, et 1! = 1 ja 0! = 1 4

Permutatsioonid on variatsioonid n elemendist n kaupa ja esitavad kõikvõimalikke erinevaid järjestusi n elemendist. Nende järjestuste arvu tähistatakse Pn ja arvutatakse 5

Kombinatsioonid n erinevast elemendist m kaupa on ühendid, mis erinevad üksteisest vähemalt ühe elemendi poolest ( s. t ainult järjestuse muutus uut ühendit ei anna). Erinevate kombinatsioonide arv Kehtib seos kui 6

Tõenäosuse mõiste, omadused ja põhivalemid. Katseid tehes toimuvad teatud sündmused, mida saame liigitada nende toimumise võimalikkuse põhjal järgmiselt: kindel sündmus, võimatu sündmus, juhuslik sündmus. Sündmusi tähistame tähestiku suurte tähtedega. 7

Kindel sündmus on sündmus, mis toimub iga katse korral (s. t alati). Kindlat sündmust tähistatakse kas U või . P(U)=1 8

Võimatu sündmus on sündmus, mis katse käigus toimuda ei saa ja seda tähistatakse V või P(V)=0 9

Juhuslik sündmus on sündmus, mis katse käigus võib toimuda või ka mitte toimuda. 10

Vastandsündmused A ja on sündmused, mille puhul ühe toimumine tähendab, et teine toimuda ei saa. 11

Välistavad sündmused on sündmuste kogum, mille puhul ühe toimumisel on ülejäänud sündmuste toimumine võimatu. 12

Tinglik tõenäosus. On sündmusi A, mille toimumine sõltub teise sündmuse B eelnevast toimumisest või mittetoimumisest. Sellest tuleneb mõiste tinglik tõenäosus, mida tähistatakse P(A/B) ja mis väljendab sündmuse A toimumise tõenäosust eeldusel, et B on juba toimunud. 13

Sündmuste summa A+B ehk ühend on sündmus, mille korral toimub kas sündmus A või sündmus B või mõlemad. 14

Sündmuste summa. Kui sündmused on teineteist välistavad P(A+B)= P(A)+P(B) Kui sündmused on teineteist mittevälistavad P(A+B)= P(A)+P(B) – P(AB) 15

Sündmuste korrutis AB ehk ühisosa on sündmus, mille korral toimub nii sündmus A kui ka sündmus B. 16

Sündmuste korrutis. Kui sündmused on sõltumatud Kui sündmused on sõltuvad 17

Klassikaliseks tõenäosuseks. Sündmuse A klassikaliseks tõenäosuseks nimetatakse sündmuse jaoks soodsate võimaluste m ja kõigi võimaluste n jagatist. 18

Bernoulli valemi abil leitakse tõenäosus juhuks, et n sõltumatu katse korral sündmus A toimub täpselt k korda ning igal üksikkatsel P(A)=p ning 19

Kirjeldav statistika. Juhuslik suurus on suurus, mis katse käigus omandab ühe varem mitteteadaolevatest väärtustest. Juhuslikke suurusi tähistatakse X, Y, . . . ja nende võimalikke väärtusi vastavalt milles i=1, 2, . . 20

Tunnused. Üldkogum on kõikide objektide hulk, millele on määratud mingi tunnus. Tunnus on omadus, mille seisukohalt kogumit uuritakse. Tunnused võivad olla arvulised ehk kvantitatiivsed (pikkus, kaal, hinne) või mittearvulised ehk kvalitatiivsed (rahvus, juuste värv, elukutse). 21

Read. Valim on vaatluseks valitud osa üldkogumist. Statistiline rida on juhuslikule suurusele X katsetes saadud väärtuste xi korrastamata rida. Variatsioonrida on statistilise rea andmete xi kasvavalt või kahanevalt korrastatud rida. , kus 22

Asendit kirjeldavad karakteristikud. Mood on X väärtustest xi kõige sagedamini esinev väärtus. Mediaan on xi väärtus, millest suuremaid ja väiksemaid väärtusi variatsioonreas on ühepalju, ta on jaotuse keskpunkt. Kui variatsioonreas on paarisarv elemente, siis on mediaaniks kahe keskmise liikme aritmeetiline keskmine. 23

Aritmeetiline keskmine on juhusliku suuruse X kõigi väärtuste aritmeetiline keskmine. Suurus ei pruugi olla tegelikkuses ühekski variatsioonreas esinevaks xi väärtuseks. 24

Aritmeetiline keskmine. Kui juhuslik suurus on esitatud jaotustabeliga või sagedustabeliga, siis , kus 25

Sagedustabel on variatsioonreast saadud tabel, milles igale väärtusele xi on seatud vastavusse tema kordumiste arv fi. . . . 26

Jaotustabel seab variatsioonrea igale väärtusele xi vastavusse tema sageduste suhtarvu (suhteline sagedus), mida tähistatakse ja nimetatakse statistiliseks tõenäosuseks. . . 27

Jaotustabel. Soovi korral võib jaotustabeli esitada ka graafiliselt. Saadud tulpdiagrammi nimetatakse ka histogrammiks. Kui diskreetse suuruse väärtusi on väga palju, siis jagatakse väärtused vahemikeks ehk klassideks, mis lühendab tunduvalt nii jaotustabelit kui graafilist pilti. Võimaluse korral võetakse klassid võrdse pikkusega ja nende arvu võib määrata näiteks abil, mille väärtus ümardatakse täisarvuks. Otsmised klassid võivad jääda ka lahtisteks. 28

Hajuvust kirjeldavad karakteristikud. Variatsioonrea ulatus on xi väärtustest vahe Väärtuste xi hälve on vahe ning näitab erinevust keskmisest. Keskmine hälve 29

Dispersioon DX on rea kõigi hälvete ruutude aritmeetiline keskmine 30

Dispersioon. Jaotuse korral: Juhusliku suuruse X keskväärtuseks nimetatakse arvu , kus 31

Standardhälve ehk keskmine ruuthälve enamikel juhtudel on suurem osa xi väärtustest vahemikus Mida suurem on , seda suurem on hajuvus. 32

Variatsioonikordaja. antakse enamasti protsentides ja näitab erinevate tunnuste korral suhtelist hajuvust keskmisega võrreldes. 33