Wykad IV Ruch harmoniczny Ruch harmoniczny prosty m

Wykład IV Ruch harmoniczny

Ruch harmoniczny prosty m 0 x=0 Siła sprężystości: x

Ruch harmoniczny prosty Równanie ruchu w dowolnej chwili m x równanie różniczkowe na x(t)!

Ruch harmoniczny prosty podstawmy (pokażemy dalej, że w jest prędkością kątową) Szukamy rozwiązania postaci:

Parametry: okres drgań Definicja okresu T: czas, po którym faza drgania jest taka sama Wzór potwierdza słuszność założenia, że to prędkość kątowa. Aby to pokazać, opiszemy ruchu po okręgu.

Ruch jednostajny po okręgu Układ biegunowy y UB – UK UK - UB x

Współrzędne biegunowe W układzie biegunowym prędkość kątowa y Wówczas v = r wektorowo: x

Okres i częstotliwość 1 radian – kąt, dla którego s=r 1 obrót - 2 radianów (1) okres (T) - czas trwania 1 obrotu (2) y częstotliwość (f) - liczba obrotów / sek Z (1) i (2) x

Ruch harmoniczny prosty -rozwiązanie A - amplituda drgań T – okres drgań x = t=0 T = 2 / = T = 2 p A = t

Ruch harmoniczny prosty m x Okres drgań nie zależy od amplitudy!

Prędkość i przyśpieszenie m położenie: x prędkość: przyspieszenie: x. MAX = A v. MAX = A a. MAX = 2 A

A T t t A T A T t

Ruch harmoniczny prosty m x=0 xmax xmaks =A v=0 a=amax Maksymalne wychylenie m x=0 x =0 v=vmaks a=0 Przejście przez położenie równowagi

Ruch harmoniczny prosty -parametry • x = A cos( t + F) A = amplituda t + F = faza = prędkość kątowa F = faza początkowa • T –okres (czas trwania jednego drgania). • f – częstotliwość drgań (liczba drgań w jednostce czasu) f = 1/T = 2 f = 2 / T

Ruch harmoniczny prosty - warunki początkowe • Wykres x(t)=A cos( t - /2) = A sin( t) = /2 A

Warunki początkowe –przykład cd. dla = - /2 x(t) = A cos( t - /2 ) v(t) = - A sin( t - /2 ) a(t) = - 2 A cos( t - /2 ) x(t) = A sin( t) v(t) = A cos( t) a(t) = - 2 A sin( t) x(t) A x(t) -A t

Ruch harmoniczny prosty - energia

Energia kinetyczna m x

Energia potencjalna m x

E(t) E Ep(t) Ek(t) T E=Ep(t)+Ek(t) t

E(x) Ep(x) Ek(x) -A 0 x A

Ruch harmoniczny prosty m x=0 xmaks =A v=0, a=amaks Maksymalne wychylenie, maksymalna energia potencjalna. m x=0 x =0 v=vmaks, a=0 Przejście przez położenie równowagi, maksymalna energia kinetyczna.

Ruch harmoniczny z tłumieniem. k m

Równanie ruchu Tarcie: f = -b v = -b dx/dt (b=const) Z II zasady dynamiki Newtona: -bv k F = -kx v a m x podstawmy

Rozwiązanie równania ruchu T’ T’>T 0

Logarytmiczny dekrement tłumienia

Ruch harmoniczny z tłumieniem – energia mechaniczna E(t) Bez tłumienia: E = 1/2 k A 2 = const Z tłumieniem: E(t) = 1/2 k. A(t)2 = 1/2 k A 2 exp(-2 bt) W ruchu harmonicznym z tłumieniem, całkowita energia mechaniczna maleje wykładniczo z czasem

Ruch harmoniczny tłumiony Dobroć układu drgającego:

Ruch harmoniczny z tłumieniem i silą wymuszającą x(t) = A cos( wymt + )

Rezonans mechaniczny

Drgania wymuszone - rezonans Dla układu o częstości drgań własnych A rezonans występuje, gdy x 0 1

Drgania wymuszone - rezonans A b 3 b 2 b 1 x 0 1 a) Słabe tłumienie

Dobroć układu rezonansowego Dla słabego tłumienia, stosunek amplitudy, którą ma układ dla częstotliwości rezonansowej do wychylenia z położenia równowagi pod wpływem siły równej amplitudzie siły wymuszającej jest równy dobroci układu rezonansowego: Podczas rezonansu siła wymuszająca jest w fazie z prędkością, ponieważ wówczas moc tej siły osiąga największą wartość: