Wykad 6 5 7 3 Pole elektryczne i

Wykład 6 5. 7. 3 Pole elektryczne i potencjał pochodzące od jednorodnie naładowanej nieprzewodzącej kuli W celu wyznaczenia natężenia posłużymy się prawem Gaussa. E d. A r’ R A’ d. A’ Reinhard Kulessa 1 =const

E d. A r’ Zgodnie z równaniem (5. 17) wyrażenia na natężenie pola i potencjał w odległości r>R od środka naładowanej nieprzewodzącej kuli są następujące: R A’ d. A’ =const (5. 19 a) Powierzchnia sferyczna o promieniu r’ wewnątrz kuli obejmuje tylko część ładunku Q(r’). Reinhard Kulessa 2

Wobec tego zgodnie z prawem Gaussa: r’<R (5. 20) Widzimy więc, że we wnętrzu kuli natężenie pola wzrasta liniowo wraz z odległością od środka kuli Reinhard Kulessa 3

Dla odległości większych niż promień kuli, natężenie pola i potencjał jest takie jak we wzorze (5. 19 a) Na odległości r<R od środka jednorodnie naładowanej kuli potencjał przyjmuje następującą wartość: (proszę obliczyć). (5. 21) E(r) Rysunek obok przedstawia zależność natężenia w zależności od odległości od środka jednorodnie naładowanej kuli. R Reinhard Kulessa r 4

5. 7. 4 Dipol elektryczny Policzymy potencjał i natężenie pola elektrycznego pochodzącego od dipola elektrycznego, czyli układu dwóch jednakowych ładunków o przeciwnych znakach znajdujących się w pewnej PP odległości od siebie. L co s Potencjał w punkcie P liczymy zgodnie z zasadą superpozycji. -Q +Q L Reinhard Kulessa 5

co s L Dla dużych r zachodzi r+ || r- i wtedy możemy napisać -Q +Q L Na potencjał w punkcie P otrzymujemy wyrażenie; Reinhard Kulessa 6

(5. 22) Wyrażenie nazywamy momentem dipolowym. Otrzymujemy więc: (5. 23) Widzimy więc, że potencjał dipola maleje jak 1/r 2, podczas gdy Potencjał ładunku punktowego maleje jak 1/r. Reinhard Kulessa 7

W oparciu o znany potencjał policzmy natężenie pola elektrycznego pochodzące od dipola. Ponieważ mamy symetrię wokół osi x, możemy wykonać obliczenia we współrzędnych biegunowych na płaszczyźnie. y Gradient we współrzędnych biegunowych ma składowe: P x Reinhard Kulessa Mamy więc 8

Czyli, Korzystając z zależności pomiędzy wersorami układów kartezjańskiego i biegunowego: Reinhard Kulessa 9

Składowe równoległa (x) i prostopadła (y) natężenia pola elektrycznego pochodzącego od dipola są następujące: (5. 24) Reinhard Kulessa 10

Linie sił natężenia pola elektrycznego dipola, oraz linie ekwipotencjalne są przedstawione na poniższym rysunku. Reinhard Kulessa 11

5. 7. 5 Jednorodnie naładowany dysk Wyliczymy potencjał i natężenie pola elektrycznego na osi jednorodnie naładowanego dysku, który podzielimy na pierścienie o promieniu y i szerokości dy R y x P dy Na pojedynczym pierścieniu znajduje się ładunek dq. Potencjał pochodzący od żółtego pierścienia w punkcie P wynosi: Reinhard Kulessa 12

Całkowity potencjał uzyskamy całkując po wszystkich pierścieniach Ładunek dq zawarty w pierścieniu wynosi dq = s 2 p y dy. Na całkowity potencjał w punkcie P uzyskamy: Reinhard Kulessa 13

Pole elektryczne ma składową tylko w kierunku x. Mamy więc Reinhard Kulessa 14

Po zróżniczkowaniu otrzymamy na wartość natężenie pola elektrycznego w punkcie P na osi dysku wartość: Reinhard Kulessa 15

5. 8 Rozkład potencjału dla zadanego ładunku na multipole z P r- r d y x Aby obliczyć potencjał w punkcie P pochodzący od zadanego rozkładunku w objętości stosujemy wzór (5. 10). Reinhard Kulessa 16

(5. 10) W ten sposób wyrażony potencjał, który jest funkcją wyrażenia możemy rozłożyć w szereg Taylora. Przypomnienie! Jeśli mamy jakąś ogólną funkcję funkcji w szereg Taylora wokół Reinhard Kulessa to rozwinięcie tej wygląda następująco: 17

Rozwijając w szereg Taylora funkcję; Policzenie odpowiednich pochodnych cząstkowych pozostawiam Państwu. Na następnej stronie przedstawione są otrzymane wyrażenia na pochodne cząstkowe. Reinhard Kulessa 18

i. t. d. A więc dla r> możemy potencjał V(r) przedstawić następująco: Reinhard Kulessa 19

Równanie to możemy napisać w następującej postaci: (5. 25) Potencjał monopola Potencjał dipola Potencjał kwadrupola Widzimy więc, momentem monopolowym jest całkowity ładunek układu Q. Jest to wielkość skalarna. Reinhard Kulessa 20

Składowe wektora momentu dipolowego są następujące: Powyższe jest uogólnieniem wprowadzonego poprzednio momentu dipolowego dwóch ładunków +Q i -Q. Trzeci człon (3 cz) w wyrażeniu (5. 25) możemy przekształcić do następującej postaci: Wskazówka: korzystamy z tożsamości: Reinhard Kulessa 21

W wyrażeniu tym zdefiniowaliśmy tensor momentu kwadrupolowego Qij, , który w układzie kartezjańskim ma następującą postać: (5. 26) Reinhard Kulessa 22

(5. 27) Przedyskutujmy uzyskane wyrażenie: • kolejne składniki maleją ze wzrostem r coraz szybciej wyraz monopolowy 1/r wyraz dipolowy 1/r 2 wyraz kwadrupolowy 1/r 3 • tensor momentu kwadrupolowego zdefiniowany w r. (5. 26 ma tylko pięć niezależnych składników. Wynika to z tego, Qij=Qjj , oraz z faktu, że Qii=0. • Ponieważ V(r) jest skalarem, każdy z momentów jest odpowiednio mnożony przez wielkość zależną od r tak, aby uzyskać skalar. Reinhard Kulessa 23