Wykad 4 Relacje rwnowanoci 24 padziernika 2001 Matematyka

  • Slides: 11
Download presentation
Wykład 4 Relacje równoważności 24 października 2001 Matematyka Dyskretna, G. Mirkowska PJWSTK 1

Wykład 4 Relacje równoważności 24 października 2001 Matematyka Dyskretna, G. Mirkowska PJWSTK 1

Relacja Równoważności Przykład. Niech X oznacza zbiór samochodów oraz x, y X. 1. x

Relacja Równoważności Przykład. Niech X oznacza zbiór samochodów oraz x, y X. 1. x y wttw x i y są samochodami tej samej marki 2. x y wttw x i y mają tę samą pojemność, 3. x y wttw x i y zostały wyprodukowane tego samego roku R P M F Zwrotność 24 października 2001 1500 600 2000 1999 1998 2000 + symetria 2001 + przechodniość Matematyka Dyskretna, G. Mirkowska PJWSTK 2

Przykłady X zbiór studentów studiujących w Warszawie. Przyjmijmy, że każdy x X jest studentem

Przykłady X zbiór studentów studiujących w Warszawie. Przyjmijmy, że każdy x X jest studentem tylko jednej Uczelni. 1. x y wttw x i y są studentami tej samej Uczelni. 2. x y wttw x i y są kobietami lub x i y są mężczyznami 3. x y wttw zarówno x jak i y śpią na wykładzie UW SGGW SGPi. S PJWSTK 24 października 2001 PW kobiety mężczyźni Matematyka Dyskretna, G. Mirkowska PJWSTK 3

Definicja Relacja binarna w zbiorze X, X X jest relacją równoważności wttw jest relacją

Definicja Relacja binarna w zbiorze X, X X jest relacją równoważności wttw jest relacją Każda relacja równoważności zwrotną, symetryczną i przechodnią. w zbiorze X tzn. dla dowolnych x, y, z X, x x jeżeli x y, to y x jeżeli x y i y z, to x z Uwaga Każda funkcja f : X X wyznacza w zbiorze X relację równoważności taką, że x y wttw f(x)= f(y). 24 października 2001 Matematyka Dyskretna, G. Mirkowska PJWSTK wyznacza pewną funkcję zwaną odwzorowaniem kanonicznym f : X P(X) taką, że f(x) = [x]. 4

Przykład Relacji Równoważności Przykład Dany jest graf niezorientowany <V, E>, gdzie V jest zbiorem

Przykład Relacji Równoważności Przykład Dany jest graf niezorientowany <V, E>, gdzie V jest zbiorem wierzchołków a E zbiorem krawędzi grafu. Definiujemy x y wttw y jest osiągalne z x, tzn. istnieje droga łącząca wierzchołki x i y w grafie G. Uwaga Tak zdefiniowana relacja jest tranzytywnym (przechodnim) domknięciem relacji sąsiedztwa E i jest relacją równoważności. Przykład Relacja inkluzji w zbiorze P(X) nie jest relacją równoważności. Dlaczego? 24 października 2001 Matematyka Dyskretna, G. Mirkowska PJWSTK 5

Gdyby w zbiorze [x] [y] był chociaż jeden element z, to byłoby z x

Gdyby w zbiorze [x] [y] był chociaż jeden element z, to byłoby z x oraz z y. Zatem z przechodniości mielibyśmy x y, co oznaczałoby, że [x]=[y]. Sprzeczność. Lemat Klasa abstrakcji (równoważności) elementu x Jeśli x y, to dla dowolnego Oznaczenie Niech będzie relacją równoważności w zbiorze z [x] mamy z x, zatem z X, wtedy dla dowolnego x X, [x] = {y Xprzechodniości : x y}. relacji mamy z y, tzn. z [y]. [x] [y]. Podobnie Jeżeli jest relacją równoważności w. Zatem zbiorze X, [y] [x]. to dla dowolnych x, y X, x [x] = [y] wttw x y Jeżeli [x] [y] , to [x] [y] = 24 października 2001 Matematyka Dyskretna, G. Mirkowska PJWSTK Bo relacja jest zwrotna. Jeśli [x]=[y], to w szczególności x [y], czyli x y. 6

Podział Zbioru Definicja Podziałem zbioru X nazywamy taką rodzinę (X i) i I niepustych

Podział Zbioru Definicja Podziałem zbioru X nazywamy taką rodzinę (X i) i I niepustych podzbiorów zbioru X, że Xi Xj = oraz Xi = X. w 1 Zasada abstrakcji Każda relacja równoważności w niepustym zbirze X wyznacza podział zbioru X na niepuste i rozłączne podzbiory, a mianowicie na klasy abstrakcji relacji , w taki sposób, że dwa elementy x, y należą do tego samego zbioru podziału, gdy x y. 24 października 2001 Matematyka Dyskretna, G. Mirkowska PJWSTK 7

Zastosowanie 1 Rozważmy relację binarną w zbiorze N: To jest relacja równoważnośc i (n,

Zastosowanie 1 Rozważmy relację binarną w zbiorze N: To jest relacja równoważnośc i (n, m) (k, l) wttw n+l = m+k. Oczywiście jest relacją zwrotną i symetryczną. Ponadto jest to relacja przechodnia, bo Jeśli (n, m) (k, l) oraz (k, l) (u, w), to n+l = m+k oraz k+w = l+u. Stąd n+w = m+u. Ogólnie: klasa [(m, n)] wyznacza liczbę 0 gdy m=n, liczbę całkowitą k, gdy m>n i m = n+k oraz liczbę całkowitą –k, gdy m<n i n = m+k. 24 października 2001 Matematyka Dyskretna, G. Mirkowska PJWSTK Klasy abstrakcji tej relacji wyznaczają liczby całkowite. Np. . : [(1, 1)] = [(4, 4)] wyznacza liczbę całkowitą 0. Klasa [(2, 1)] wyznacza liczbę 1. 8

Zastosowanie 2 Rozważmy relację binarną Z Z{0} (n, m) (k, l) wttw n *

Zastosowanie 2 Rozważmy relację binarną Z Z{0} (n, m) (k, l) wttw n * l = m * k. To jest relacja równoważności Zbiór klas abstrakcji tej relacji, to zbiór liczb wymiernych Q. Oczywiście jest relacją zwrotną i symetryczną. Klasie [(m, n)] Relacja jest przechodnia, bo charakteryzuje liczbę wymierną m/n. Jeśli (n, m) (k, l) oraz (k, l) (u, w), to n*l = m*k oraz k*w = l*u. Stąd Co więcej, na klasach n*(k*l)*w = m*(k*l)*u. abstrakcji można określić O ile k*l 0, to otrzymujemy n*w = m*u. . operacje odpowiadające Jeśli k*l = 0, to k=0. Ale wtedy n=0 i u=0, działaniom arytmetycznym. czyli n*w = m*u. . 24 października 2001 Matematyka Dyskretna, G. Mirkowska PJWSTK 9

Zastosowanie 3 Rozważmy relację binarną w zbiorze ciągów liczb wymiernych spełniających warunek Cauchy’ego, określoną

Zastosowanie 3 Rozważmy relację binarną w zbiorze ciągów liczb wymiernych spełniających warunek Cauchy’ego, określoną następująco (an) (bn) wttw lim n (an-bn) = 0. . To jest relacja równoważności Metoda Cantora konstrukcji liczb rzeczywistych Istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość między zbiorem klas abstrakcji tej relacji a liczbami rzeczywistymi. 24 października 2001 Matematyka Dyskretna, G. Mirkowska PJWSTK 10

Przykład Niech X klasa funkcji f : N R+. W 3 Notacja asymptotyczna f

Przykład Niech X klasa funkcji f : N R+. W 3 Notacja asymptotyczna f g wttw istnieją stałe c 1, c 2, n 0 N takie, że g(n) c 1*f(n) i g(n) c 2*f(n) dla n>n 0 Wtedy klasą abstrakcji funkcji f jest (f), czyli wszystkie funkcje, mające ten sam rząd co f. Funkcje lg n, n, n log n, n 2, n 3 , nk dla k>3, 2 n, 3 n, nn wyznaczają różne klasy równoważności ze względu na relację . 24 października 2001 Matematyka Dyskretna, G. Mirkowska PJWSTK 11