Wykad 4 1 5 Prdko i przypieszenie c
- Slides: 33
Wykład 4 1. 5 Prędkość i przyśpieszenie c. d. 2. Przykłady ruchu 2. 1 2. 2. 2 2. 3. 1 2. 3. 2 Kinematyczne równania ruchu i ich całkowanie Ruch prostoliniowy Ruch jednostajnie zmienny Ruch ze stałym przyśpieszeniem Rzut poziomy Rzut ukośny 04. 10. 14 Reinhard Kulessa 1
Wiemy, że. Zachodzi więc: (1. 12) (1. 13) (1. 14) (1. 15) Aby udowodnić, że an jest prostopadłe do at, musimy pokazać, że 04. 10. 14 . Policzmy pochodną czasową z iloczynu ^it ·^it. Reinhard Kulessa 2
Ze względu na to, że kwadrat wersora jest liczbą stałą, lewa strona równania jest równa zero. Oznacza to, że składniki iloczynu skalarnego muszą być wektorami prostopadłymi do siebie. Zachodzi więc: . Jeżeli tor w przedziale czasowym [t, t+dt] ds przybliżymy przez okrąg B A o promieniu , to . 04. 10. 14 Reinhard Kulessa 3
ds jest torem zakreślonym w czasie dt. Ze względu na to, że wektor jednostkowym, mamy: jest wektorem . . Możemy więc napisać: . Równanie (1. 15) na składową normalną przyśpieszenia możemy więc napisać jako: 04. 10. 14 Reinhard Kulessa 4
Przypomnijmy więc, że przyśpieszenie możemy rozłożyć na dwie składowe, styczną i normalną do toru. ^i t at Mamy więc: ^in an a (1. 16) 04. 10. 14 Reinhard Kulessa 5
2. Przykłady ruchu 2. 1 Kinematyczne równania ruchu i ich całkowanie Kinematyka jest działem mechaniki zajmującym się opisem ruchu. Głównym zadaniem kinematyki jest znalezienie przyszłej pozycji ciała i jego prędkości w oparciu o bieżące wartości pozycji, prędkości i przyśpieszenia. Znamy już odpowiednie równania, które pozwalają na określić dla określonego czasu t chwilowe wartości prędkości i przyśpieszenia. (2. 1) (2. 2) 04. 10. 14 Reinhard Kulessa 6
Bardzo często mamy do wykonania zadanie odwrotne. Znając przyśpieszenie ciała musimy znaleźć prędkość, położenie ciała, oraz równanie toru. W oparciu o równanie (2. 2) przez operację całkowania znajdujemy prędkość. (2. 3) Z kolei czyli, (2. 3 a) Każde z podanych równań wektorowych jest równoważne trzem równaniom skalarnym dla poszczególnych składowych wektorów prędkości, przyśpieszenia i położenia. 04. 10. 14 Reinhard Kulessa 7
Sprowadza się to do całkowania równań skalarnych. Stałe całkowania C i C’ wyznacza się z tzw. warunków brzegowych, określających prędkość i położenie w chwili t 0. 2. 2 Ruch prostoliniowy Jeżeli tor ruchu ciała jest linią prostą, to zawsze możemy tak dobrać układ współrzędnych, aby jedna z jego osi pokrywała się z torem. Zwykle wybiera się oś x. x r 04. 10. 14 Reinhard Kulessa 8
Prędkość ciała i jego przyśpieszenie wynoszą odpowiednio: . Jeśli wektory przyśpieszenia i prędkości mają zwroty zgodne, mówimy o ruchu przyśpieszonym, a jeśli przeciwny mówimy o ruchu opóźnionym. Skalarna wartość prędkości (szybkość) jest równa. Równanie z prawej strony strzałki możemy scałkować. 04. 10. 14 Reinhard Kulessa 9
(2. 4) Jeśli zaczynamy badać ruch ciała w chwili t 0 i jeżeli zajmuje ono wtedy pozycję x 0 , to możemy obliczyć całkę oznaczoną: (2. 5) Znak prędkości zależy od tego, czy ciało porusza się w kierunku x, czy przeciwnie. Analogicznie mamy: . Wartość prędkości otrzymujemy z całkowania; 04. 10. 14 Reinhard Kulessa 10
(2. 6) otrzymujemy zależność; Równocześnie z zależności. Po scałkowaniu otrzymujemy: (2. 7) 04. 10. 14 Reinhard Kulessa 11
2. 2. 1 Ruch jednostajny, jest to taki ruch, w którym prędkość jest stała, v=const. Ze wzoru (2. 5) otrzymujemy; . (2. 8) x jest przebytą przez ciało drogą, którą zwykle oznaczaliśmy przez s. Wykres drogi od czasu ma więc postać: 04. 10. 14 Reinhard Kulessa 12
s x 0 + x 0 x= ) t 0 t v( t 0 04. 10. 14 Reinhard Kulessa t 13
04. 10. 14 Reinhard Kulessa 14
2. 2. 2 Ruch jednostajnie zmienny jest to ruch ze stałym przyśpieszeniem a = const. Gdy a > 0 ruch nazywamy przyśpieszonym, a gdy a < 0 ruch jest opóźniony. 04. 10. 14 Reinhard Kulessa 15
W celu wyliczenia prędkości z jaką porusza się ciało musimy rozwiązać równanie: (2. 9) 04. 10. 14 Reinhard Kulessa 16
Uzyskana w chwili t prędkość ciała poruszającego się ze stałym przyśpieszeniem jest liniową funkcją czasu. Jeśli chcemy policzyć drogę przebytą przez takie ciało, wstawiamy ostatnie wyrażenie do wzoru (2. 8). Otrzymamy wynik: . 04. 10. 14 Reinhard Kulessa 17
Wyliczając całki w ostatnim równaniu otrzymujemy: Po krótkich przekształceniach otrzymujemy: (2. 9 a) Droga w ruchu jednostajnie np. przyśpieszonym jest kwadratową funkcją czasu. Narysujmy drogę którą ciało przebywa w czasie t przy założeniu, że t 0 = 0. 04. 10. 14 Reinhard Kulessa 18
s=x 1/2 at 2 v 0 t x 0 t 04. 10. 14 Reinhard Kulessa 19
2. 3 Ruch ze stałym przyśpieszeniem Pamiętamy, że dla ogólnego przypadku ruch jest opisany wzorami (2. 1) i (2. 2). Całkując te wyrażenia otrzymujemy wyrażenia: (2. 10) (2. 11) Jednym z najczęstszych obserwowanych ruchów jest ruch w pobliżu powierzchni Ziemi z przyśpieszeniem g=const. Rozważmy następujący przypadek. 04. 10. 14 Reinhard Kulessa 20
y v 0 H g = -g iy x W polu ciężkości na wysokości H wyrzucamy pod kątem do poziomu z prędkością v 0 jakieś ciało. Możemy tu rozróżnić następujące przypadki: 04. 10. 14 Reinhard Kulessa 21
Tabela 1 1. H=0 =900 v 0 0 2. H 0 =00 v 0 0 3. H 0 =-900 4. H=0 H 0 >0 <0 04. 10. 14 v 0 0 Reinhard Kulessa rzut pionowy rzut poziomy spadek swobodny rzut ukośny 22
2. 3. 1 Rzut poziomy Rzut ten jest przypadkiem 2 w Tabeli 1. Zajmijmy się następującym problemem. Kula armatnia została wystrzelona poziomo ze stałą prędkością v 0 x=100 m/s. Kula spadła na ziemię w odległości 1200 m od miejsca wystrzelenia. Pytamy się o długość drogi pionowej jaką przebyła kula przy zaniedbaniu oporu powietrza. x y=? x = 1200 m y 04. 10. 14 Reinhard Kulessa 23
Ponieważ ruch poziomy jest ruchem jednostajnym, odległość jaką pocisk przebył znajdujemy z wzoru (2. 8). Zakładając, że x 0 = 0, oraz t 0 = 0, mamy: x = v 0 x t, czyli t=x/v 0 x=1200 m/100 m/s = 12 s. Zauważmy, że rozważaliśmy ruch poziomy niezależnie od ruchu pionowego aby wyznaczyć czas lotu kamienia. Ruch pionowy jest spadkiem swobodnym, dla którego mamy: v 0 y = 0 oraz ay =-g =-9. 81 m/s 2. Z równania (2. 9 a) dla ruchu w kierunku osi y mamy y = -1/2 g t 2 = -1/2 · 9. 81 m/s · (12 m)2 = 706. 32 m Zauważmy, że rozważaliśmy ruch pionowy niezależnie od ruchu poziomego aby wyznaczyć wysokość spadku kamienia. Niezależność tych dwóch ruchów implikuje, że pocisk przy v 0 x = 0 w czasie 12 s spadnie o 706. 32 m. 04. 10. 14 Reinhard Kulessa 24
Policzmy jeszcze trajektorię ruchu. Skorzystamy z równania (2. 9 a) , oraz wyliczonego czasy ruchu t=x/v 0 x. Dla ruchu wzdłuż osi y z podanym czasem ruchu i warunkiem t 0 = 0 , otrzymujemy: . (2. 12) Jest to równanie paraboli. Ogólnie można powiedzieć, że paraboliczna trajektoria jest charakterystyczna dla ruchów ze stałym przyśpieszeniem. Składowe ruchu możemy traktować niezależnie zgodnie z zasadą niezależności ruchu. 04. 10. 14 Reinhard Kulessa 25
Prędkość początkowa Ta sama prędkość początkowa z różnych wysokości Wysokość początkowa Ta sama wysokość, różne prędkości początkowe 04. 10. 14 Reinhard Kulessa 26
2. 3. 2 Rzut ukośny Jest to przypadek, dla którego zgodnie z Tabelą 1 , H = 0 lub H 0, 0 < < 900, v 0 0. y v 0 x Składowe prędkości początkowej wynoszą: 04. 10. 14 Reinhard Kulessa 27
Wstawiając te wartości do wzoru (2. 12) otrzymujemy: (2. 13) Wiemy przy tym, że ay = -g. Mamy więc równanie typu: Ciało w rzucie ukośnym porusza się więc po paraboli. Wiemy, że w rzucie ukośnym parametryczne równania ruchu są zapisane następująco: 04. 10. 14 Reinhard Kulessa 28
(2. 14) Rzut ukośny charakteryzują następujące wielkości: 1. Zasięg rzutu, 2. Maksymalna wysokość Zasięg rzutu otrzymamy licząc odległość poziomą x dla y=0. Równanie to ma dwa rozwiązania: 04. 10. 14 Reinhard Kulessa 29
Maksymalną wysokość rzutu otrzymamy licząc maksimum funkcji przedstawiającej równanie toru, czyli dla dy/dx=0. Otrzymujemy więc: . Podstawiając wyrażenie na x do równania (2. 13), otrzymujemy na maksymalną wysokość poruszającego się rzutem ukośnym wartość: . Widzimy z podanych wzorów, że zarówno maksymalny zasięg rzutu jak i maksymalna wysokość rzutu zależą od wartości i kierunku prędkości początkowej. 04. 10. 14 Reinhard Kulessa 30
Wysokość rz. : Zasięg rz. : Tor ruchu przedstawia przesuniętą parabola o współrzędnych wierzchołka: 04. 10. 14 Reinhard Kulessa 31
Zarówno w rzucie poziomym jak i ukośnym wyrzucaliśmy ciało ze stałą prędkością początkową. Wiedząc, że w kierunku pionowym działa przyśpieszenie ziemskie g, możemy rozważyć jakie są składowe tego przyśpieszenia. Rysując część toru ciała w rzucie ukośnym mamy: v vy at Zauważmy, że w każdym punkcie toru zachodzi: . vx an g Przy czym: . W najwyższym punkcie toru at = 0, a an = g. 04. 10. 14 Reinhard Kulessa 32
Należy jeszcze wspomnieć o szczególnym przypadku rzutu ukośnego, a mianowicie rzutu pod kątem = 900 z prędkością początkową v 0. Taki przypadek nazywamy rzutem pionowym. Przebywana w czasie t droga v 0 wynosi: 1 2 = s v 0 t gt 2 v=gt Maksymalną wysokość uzyskamy z warunku. Czas ruchu ciała do maksymalnej wysokości h wynosi więc: , a uzyskana maksymalna wysokość. 04. 10. 14 Reinhard Kulessa 33