Wykad 4 1 5 Prdko i przypieszenie c

  • Slides: 33
Download presentation
Wykład 4 1. 5 Prędkość i przyśpieszenie c. d. 2. Przykłady ruchu 2. 1

Wykład 4 1. 5 Prędkość i przyśpieszenie c. d. 2. Przykłady ruchu 2. 1 2. 2. 2 2. 3. 1 2. 3. 2 Kinematyczne równania ruchu i ich całkowanie Ruch prostoliniowy Ruch jednostajnie zmienny Ruch ze stałym przyśpieszeniem Rzut poziomy Rzut ukośny 04. 10. 14 Reinhard Kulessa 1

Wiemy, że. Zachodzi więc: (1. 12) (1. 13) (1. 14) (1. 15) Aby udowodnić,

Wiemy, że. Zachodzi więc: (1. 12) (1. 13) (1. 14) (1. 15) Aby udowodnić, że an jest prostopadłe do at, musimy pokazać, że 04. 10. 14 . Policzmy pochodną czasową z iloczynu ^it ·^it. Reinhard Kulessa 2

Ze względu na to, że kwadrat wersora jest liczbą stałą, lewa strona równania jest

Ze względu na to, że kwadrat wersora jest liczbą stałą, lewa strona równania jest równa zero. Oznacza to, że składniki iloczynu skalarnego muszą być wektorami prostopadłymi do siebie. Zachodzi więc: . Jeżeli tor w przedziale czasowym [t, t+dt] ds przybliżymy przez okrąg B A o promieniu , to . 04. 10. 14 Reinhard Kulessa 3

ds jest torem zakreślonym w czasie dt. Ze względu na to, że wektor jednostkowym,

ds jest torem zakreślonym w czasie dt. Ze względu na to, że wektor jednostkowym, mamy: jest wektorem . . Możemy więc napisać: . Równanie (1. 15) na składową normalną przyśpieszenia możemy więc napisać jako: 04. 10. 14 Reinhard Kulessa 4

Przypomnijmy więc, że przyśpieszenie możemy rozłożyć na dwie składowe, styczną i normalną do toru.

Przypomnijmy więc, że przyśpieszenie możemy rozłożyć na dwie składowe, styczną i normalną do toru. ^i t at Mamy więc: ^in an a (1. 16) 04. 10. 14 Reinhard Kulessa 5

2. Przykłady ruchu 2. 1 Kinematyczne równania ruchu i ich całkowanie Kinematyka jest działem

2. Przykłady ruchu 2. 1 Kinematyczne równania ruchu i ich całkowanie Kinematyka jest działem mechaniki zajmującym się opisem ruchu. Głównym zadaniem kinematyki jest znalezienie przyszłej pozycji ciała i jego prędkości w oparciu o bieżące wartości pozycji, prędkości i przyśpieszenia. Znamy już odpowiednie równania, które pozwalają na określić dla określonego czasu t chwilowe wartości prędkości i przyśpieszenia. (2. 1) (2. 2) 04. 10. 14 Reinhard Kulessa 6

Bardzo często mamy do wykonania zadanie odwrotne. Znając przyśpieszenie ciała musimy znaleźć prędkość, położenie

Bardzo często mamy do wykonania zadanie odwrotne. Znając przyśpieszenie ciała musimy znaleźć prędkość, położenie ciała, oraz równanie toru. W oparciu o równanie (2. 2) przez operację całkowania znajdujemy prędkość. (2. 3) Z kolei czyli, (2. 3 a) Każde z podanych równań wektorowych jest równoważne trzem równaniom skalarnym dla poszczególnych składowych wektorów prędkości, przyśpieszenia i położenia. 04. 10. 14 Reinhard Kulessa 7

Sprowadza się to do całkowania równań skalarnych. Stałe całkowania C i C’ wyznacza się

Sprowadza się to do całkowania równań skalarnych. Stałe całkowania C i C’ wyznacza się z tzw. warunków brzegowych, określających prędkość i położenie w chwili t 0. 2. 2 Ruch prostoliniowy Jeżeli tor ruchu ciała jest linią prostą, to zawsze możemy tak dobrać układ współrzędnych, aby jedna z jego osi pokrywała się z torem. Zwykle wybiera się oś x. x r 04. 10. 14 Reinhard Kulessa 8

Prędkość ciała i jego przyśpieszenie wynoszą odpowiednio: . Jeśli wektory przyśpieszenia i prędkości mają

Prędkość ciała i jego przyśpieszenie wynoszą odpowiednio: . Jeśli wektory przyśpieszenia i prędkości mają zwroty zgodne, mówimy o ruchu przyśpieszonym, a jeśli przeciwny mówimy o ruchu opóźnionym. Skalarna wartość prędkości (szybkość) jest równa. Równanie z prawej strony strzałki możemy scałkować. 04. 10. 14 Reinhard Kulessa 9

(2. 4) Jeśli zaczynamy badać ruch ciała w chwili t 0 i jeżeli zajmuje

(2. 4) Jeśli zaczynamy badać ruch ciała w chwili t 0 i jeżeli zajmuje ono wtedy pozycję x 0 , to możemy obliczyć całkę oznaczoną: (2. 5) Znak prędkości zależy od tego, czy ciało porusza się w kierunku x, czy przeciwnie. Analogicznie mamy: . Wartość prędkości otrzymujemy z całkowania; 04. 10. 14 Reinhard Kulessa 10

(2. 6) otrzymujemy zależność; Równocześnie z zależności. Po scałkowaniu otrzymujemy: (2. 7) 04. 10.

(2. 6) otrzymujemy zależność; Równocześnie z zależności. Po scałkowaniu otrzymujemy: (2. 7) 04. 10. 14 Reinhard Kulessa 11

2. 2. 1 Ruch jednostajny, jest to taki ruch, w którym prędkość jest stała,

2. 2. 1 Ruch jednostajny, jest to taki ruch, w którym prędkość jest stała, v=const. Ze wzoru (2. 5) otrzymujemy; . (2. 8) x jest przebytą przez ciało drogą, którą zwykle oznaczaliśmy przez s. Wykres drogi od czasu ma więc postać: 04. 10. 14 Reinhard Kulessa 12

s x 0 + x 0 x= ) t 0 t v( t 0

s x 0 + x 0 x= ) t 0 t v( t 0 04. 10. 14 Reinhard Kulessa t 13

04. 10. 14 Reinhard Kulessa 14

04. 10. 14 Reinhard Kulessa 14

2. 2. 2 Ruch jednostajnie zmienny jest to ruch ze stałym przyśpieszeniem a =

2. 2. 2 Ruch jednostajnie zmienny jest to ruch ze stałym przyśpieszeniem a = const. Gdy a > 0 ruch nazywamy przyśpieszonym, a gdy a < 0 ruch jest opóźniony. 04. 10. 14 Reinhard Kulessa 15

W celu wyliczenia prędkości z jaką porusza się ciało musimy rozwiązać równanie: (2. 9)

W celu wyliczenia prędkości z jaką porusza się ciało musimy rozwiązać równanie: (2. 9) 04. 10. 14 Reinhard Kulessa 16

Uzyskana w chwili t prędkość ciała poruszającego się ze stałym przyśpieszeniem jest liniową funkcją

Uzyskana w chwili t prędkość ciała poruszającego się ze stałym przyśpieszeniem jest liniową funkcją czasu. Jeśli chcemy policzyć drogę przebytą przez takie ciało, wstawiamy ostatnie wyrażenie do wzoru (2. 8). Otrzymamy wynik: . 04. 10. 14 Reinhard Kulessa 17

Wyliczając całki w ostatnim równaniu otrzymujemy: Po krótkich przekształceniach otrzymujemy: (2. 9 a) Droga

Wyliczając całki w ostatnim równaniu otrzymujemy: Po krótkich przekształceniach otrzymujemy: (2. 9 a) Droga w ruchu jednostajnie np. przyśpieszonym jest kwadratową funkcją czasu. Narysujmy drogę którą ciało przebywa w czasie t przy założeniu, że t 0 = 0. 04. 10. 14 Reinhard Kulessa 18

s=x 1/2 at 2 v 0 t x 0 t 04. 10. 14 Reinhard

s=x 1/2 at 2 v 0 t x 0 t 04. 10. 14 Reinhard Kulessa 19

2. 3 Ruch ze stałym przyśpieszeniem Pamiętamy, że dla ogólnego przypadku ruch jest opisany

2. 3 Ruch ze stałym przyśpieszeniem Pamiętamy, że dla ogólnego przypadku ruch jest opisany wzorami (2. 1) i (2. 2). Całkując te wyrażenia otrzymujemy wyrażenia: (2. 10) (2. 11) Jednym z najczęstszych obserwowanych ruchów jest ruch w pobliżu powierzchni Ziemi z przyśpieszeniem g=const. Rozważmy następujący przypadek. 04. 10. 14 Reinhard Kulessa 20

y v 0 H g = -g iy x W polu ciężkości na wysokości

y v 0 H g = -g iy x W polu ciężkości na wysokości H wyrzucamy pod kątem do poziomu z prędkością v 0 jakieś ciało. Możemy tu rozróżnić następujące przypadki: 04. 10. 14 Reinhard Kulessa 21

Tabela 1 1. H=0 =900 v 0 0 2. H 0 =00 v 0

Tabela 1 1. H=0 =900 v 0 0 2. H 0 =00 v 0 0 3. H 0 =-900 4. H=0 H 0 >0 <0 04. 10. 14 v 0 0 Reinhard Kulessa rzut pionowy rzut poziomy spadek swobodny rzut ukośny 22

2. 3. 1 Rzut poziomy Rzut ten jest przypadkiem 2 w Tabeli 1. Zajmijmy

2. 3. 1 Rzut poziomy Rzut ten jest przypadkiem 2 w Tabeli 1. Zajmijmy się następującym problemem. Kula armatnia została wystrzelona poziomo ze stałą prędkością v 0 x=100 m/s. Kula spadła na ziemię w odległości 1200 m od miejsca wystrzelenia. Pytamy się o długość drogi pionowej jaką przebyła kula przy zaniedbaniu oporu powietrza. x y=? x = 1200 m y 04. 10. 14 Reinhard Kulessa 23

Ponieważ ruch poziomy jest ruchem jednostajnym, odległość jaką pocisk przebył znajdujemy z wzoru (2.

Ponieważ ruch poziomy jest ruchem jednostajnym, odległość jaką pocisk przebył znajdujemy z wzoru (2. 8). Zakładając, że x 0 = 0, oraz t 0 = 0, mamy: x = v 0 x t, czyli t=x/v 0 x=1200 m/100 m/s = 12 s. Zauważmy, że rozważaliśmy ruch poziomy niezależnie od ruchu pionowego aby wyznaczyć czas lotu kamienia. Ruch pionowy jest spadkiem swobodnym, dla którego mamy: v 0 y = 0 oraz ay =-g =-9. 81 m/s 2. Z równania (2. 9 a) dla ruchu w kierunku osi y mamy y = -1/2 g t 2 = -1/2 · 9. 81 m/s · (12 m)2 = 706. 32 m Zauważmy, że rozważaliśmy ruch pionowy niezależnie od ruchu poziomego aby wyznaczyć wysokość spadku kamienia. Niezależność tych dwóch ruchów implikuje, że pocisk przy v 0 x = 0 w czasie 12 s spadnie o 706. 32 m. 04. 10. 14 Reinhard Kulessa 24

Policzmy jeszcze trajektorię ruchu. Skorzystamy z równania (2. 9 a) , oraz wyliczonego czasy

Policzmy jeszcze trajektorię ruchu. Skorzystamy z równania (2. 9 a) , oraz wyliczonego czasy ruchu t=x/v 0 x. Dla ruchu wzdłuż osi y z podanym czasem ruchu i warunkiem t 0 = 0 , otrzymujemy: . (2. 12) Jest to równanie paraboli. Ogólnie można powiedzieć, że paraboliczna trajektoria jest charakterystyczna dla ruchów ze stałym przyśpieszeniem. Składowe ruchu możemy traktować niezależnie zgodnie z zasadą niezależności ruchu. 04. 10. 14 Reinhard Kulessa 25

Prędkość początkowa Ta sama prędkość początkowa z różnych wysokości Wysokość początkowa Ta sama wysokość,

Prędkość początkowa Ta sama prędkość początkowa z różnych wysokości Wysokość początkowa Ta sama wysokość, różne prędkości początkowe 04. 10. 14 Reinhard Kulessa 26

2. 3. 2 Rzut ukośny Jest to przypadek, dla którego zgodnie z Tabelą 1

2. 3. 2 Rzut ukośny Jest to przypadek, dla którego zgodnie z Tabelą 1 , H = 0 lub H 0, 0 < < 900, v 0 0. y v 0 x Składowe prędkości początkowej wynoszą: 04. 10. 14 Reinhard Kulessa 27

Wstawiając te wartości do wzoru (2. 12) otrzymujemy: (2. 13) Wiemy przy tym, że

Wstawiając te wartości do wzoru (2. 12) otrzymujemy: (2. 13) Wiemy przy tym, że ay = -g. Mamy więc równanie typu: Ciało w rzucie ukośnym porusza się więc po paraboli. Wiemy, że w rzucie ukośnym parametryczne równania ruchu są zapisane następująco: 04. 10. 14 Reinhard Kulessa 28

(2. 14) Rzut ukośny charakteryzują następujące wielkości: 1. Zasięg rzutu, 2. Maksymalna wysokość Zasięg

(2. 14) Rzut ukośny charakteryzują następujące wielkości: 1. Zasięg rzutu, 2. Maksymalna wysokość Zasięg rzutu otrzymamy licząc odległość poziomą x dla y=0. Równanie to ma dwa rozwiązania: 04. 10. 14 Reinhard Kulessa 29

Maksymalną wysokość rzutu otrzymamy licząc maksimum funkcji przedstawiającej równanie toru, czyli dla dy/dx=0. Otrzymujemy

Maksymalną wysokość rzutu otrzymamy licząc maksimum funkcji przedstawiającej równanie toru, czyli dla dy/dx=0. Otrzymujemy więc: . Podstawiając wyrażenie na x do równania (2. 13), otrzymujemy na maksymalną wysokość poruszającego się rzutem ukośnym wartość: . Widzimy z podanych wzorów, że zarówno maksymalny zasięg rzutu jak i maksymalna wysokość rzutu zależą od wartości i kierunku prędkości początkowej. 04. 10. 14 Reinhard Kulessa 30

Wysokość rz. : Zasięg rz. : Tor ruchu przedstawia przesuniętą parabola o współrzędnych wierzchołka:

Wysokość rz. : Zasięg rz. : Tor ruchu przedstawia przesuniętą parabola o współrzędnych wierzchołka: 04. 10. 14 Reinhard Kulessa 31

Zarówno w rzucie poziomym jak i ukośnym wyrzucaliśmy ciało ze stałą prędkością początkową. Wiedząc,

Zarówno w rzucie poziomym jak i ukośnym wyrzucaliśmy ciało ze stałą prędkością początkową. Wiedząc, że w kierunku pionowym działa przyśpieszenie ziemskie g, możemy rozważyć jakie są składowe tego przyśpieszenia. Rysując część toru ciała w rzucie ukośnym mamy: v vy at Zauważmy, że w każdym punkcie toru zachodzi: . vx an g Przy czym: . W najwyższym punkcie toru at = 0, a an = g. 04. 10. 14 Reinhard Kulessa 32

Należy jeszcze wspomnieć o szczególnym przypadku rzutu ukośnego, a mianowicie rzutu pod kątem =

Należy jeszcze wspomnieć o szczególnym przypadku rzutu ukośnego, a mianowicie rzutu pod kątem = 900 z prędkością początkową v 0. Taki przypadek nazywamy rzutem pionowym. Przebywana w czasie t droga v 0 wynosi: 1 2 = s v 0 t gt 2 v=gt Maksymalną wysokość uzyskamy z warunku. Czas ruchu ciała do maksymalnej wysokości h wynosi więc: , a uzyskana maksymalna wysokość. 04. 10. 14 Reinhard Kulessa 33