Wykad 3 4 i 5 Przegld podstawowych transformacji

Wykład 3, 4 i 5: Przegląd podstawowych transformacji sygnałowych • Dyskretny szereg Fouriera • Dyskretna Transformacja Fouriera (DFT) i jej numeryczna aplikacja (FFT) – Przykład zastosowania • Transformacja Fouriera 1

Dyskretny szereg Fouriera Wyprowadzenie DFS gdzie oraz . 2

Dyskretny szereg Fouriera cd Podzielmy okres T na N równych podprzedziałów: . 3

Dyskretny szereg Fouriera cd Oznaczając: Powyższe równanie daje możliwość obliczenia próbki (dyskretnej wartości) funkcji f(t) dla , . 4

Dyskretny szereg Fouriera cd Biorąc pod uwagę, że dla dowolnych liczb naturalnych m i n zachodzi: i wprowadzając tzw. współczynniki aliasingowe: . 5

Dyskretny szereg Fouriera cd Otrzymamy równanie: 6

• Równanie: stanowi okresowy szereg Fouriera funkcji f(t) w dyskretnych chwilach czasu, a współczynniki aliasingowe (nałożeniowe) określone są wzorem: 7

Dyskretny szereg Fouriera cd Przykład • Wyznaczyć dyskretny szereg Fouriera funkcji podanej na rysunku (N=4): 8

Dyskretny szereg Fouriera cd Rozwiązanie • Stosując wzór dla współczynników z „daszkiem”: • otrzymujemy. gdzie 9

Dla n=0, 1, 2, 3, mamy: . Czyli ostatecznie: 10

Dyskretna Transformata Fouriera • DEFINICJA Dany jest ciąg o N liczbach rzeczywistych lub zespolonych. Dyskretną transformatą Fouriera ciągu jest ciąg o N liczbach określony równaniem 11

Transformata odwrotna: UWAGA: Ciąg nie musi być okresowy a jego elementy mogą być liczbami zespolonymi 12

Przykład obliczania DFT • Dany jest ciąg wyznaczyć jego transformatę DFT 13

Z wzoru definicyjnego : dla N=4 14

Skąd ostatecznie 15

16

Właściwości Dyskretnej Transformacji Fouriera (DFT) 17

Szkic uzasadnienia 18

Właściwości Dyskretnej Transformacji Fouriera (DFT) (2) Przesunięcie 19

Uzasadnienie prawdziwości właściwości transformaty DFT Przesunięcie 20

Cd uzasadnienia: 21

Przykład (przesunięcie) 22

Przykład (przesunięcie) cd 23

Przykład (przesunięcie) cd 24

Przykład (przesunięcie) cd 25

Właściwości Dyskretnej Transformacji Fouriera (DFT) (3) Splot okresowy 26

Przykład 1 27

Przykład 1 (cd) odbicie 28

Przykład 1 (cd) 29

Dla analogicznie 30

Właściwości Dyskretnej Transformacji Fouriera (DFT) (4) 31

Szkic dowodu 32

Przykład 2 33

Obliczenia transformaty pierwszego sygnału 34

Obliczenia transformaty drugiego sygnału 35

Obliczenia transformaty drugiego sygnału 36

Sprawdzenie metodą klasyczną 37

Porównanie DFS i DFT 38

Porównanie DFS i DFT (2) 39

40

Algorytm FFT wstęp Stosując wzór: “koszt” znalezienia dla ustalonej wartości n, wynosi: mnożeń sumowań. 41

• Dla n od 0 do N-1 potrzeba (N-1)2 mnożeń i N(N-1) dodawań • Czyli przykładowo, dla N=212 potrzeba 16769025 mnożeń • Proponowana w tej części wykładu “szybka” procedura zwana FFT (STF) zapewnia redukcję mnożeń z poprzedniego przykładu do 24576. 42

Szkic algorytmu DFT ciągu 2 -elementowego gdzie. 43

. W tej transformacie wymagane jest jedynie jedno mnożenie: przez 44

. 45

. 46

• Podane podejście uogólnić można na N-punktowy algorytm pozwalający na znaczne przyspieszenie obliczeń. • Dla użycie FFT daje 223 razy mniej mnożeń niż standardowe DFT. • Niestety, algorytm wymaga określonej liczby próbek funkcji dyskretnej 2 n 47

Zastosowanie DFT (FFT) Wyznaczanie widma okresowych funkcji analogowych 48

Przykład DFT • Chcemy spróbkować ciągły sygnał wejściowy zawierający dwie składowe: 135 o • i wyznaczyć 8 -punktową DFT 49

ms 50

Przykład DFT cd • Szybkość próbkowania: • Liczba próbek N=8 • 8 -elementowy ciąg x(n) jest równy xin(nts): 51

Przykład DFT cd • Wartości częstotliwości N kolejnych punktów na osi częstotliwości, w których wyznaczane są prążki DFT (widmo a-f transformaty), są określane jako: • Czyli dla wybranej częstotliwości fs= 8000 próbek/s wyniki DFT określają składowe sygnału x(n) w punktach osi częstotliwości: 52

• Rezultaty DFT dla N=8: 53

Widmo amplitudowe okresowego przebiegu x(n) 54

Widmo fazowe x(n) 55

• Wnioski dla DFT funkcji x(n) przy całkowitej liczbie okresów w przedziale N próbek. – Aby otrzymać widmo amplitudowe funkcji xin(n) z widma transformaty DFT należy uwzględnić, że: – Wartości DFT dla m>=N/2 są nadmiarowe (uwzględniamy m=0, 1, 2, 3, 4) – Widmo fazowe podlega twierdzeniu o przesunięciu (w naszym przypadku nie trzeba go stosować) 56

ms 57

widmo przebiegu x(n) ze składową stałą 58

Co to jest „przeciek widma”? • Chcemy ponownie spróbkować ciągły sygnał wejściowy zawierający dwie składowe: • i wyznaczyć 8 -punktową DFT przy szybkości próbkowania i N=8: 59

60

Widmo amplitudowe okresowego przebiegu x(n) 61

Widmo fazowe okresowego przebiegu x(n) 62

Co to jest “przeciek” DFT • DFT próbkowanych sygnałów rzeczywistych prowadzi do wyników w dziedzinie częstotliwości, które mogą być mylące =>jedynie kiedy próbkowany przedział (N próbek) stanowi wielokrotność okresu badanego przebiegu nie ma problemu • Jeśli sygnał wejściowy zawiera składową o pewnej częstotliwości pośredniej (np. 1. 5 fs/N) to ta składowa sygnału ujawni się w pewnym stopniu we wszystkich N wyjściowych wartościach częstotliwości DFT 63

Podstawy transformacji Fouriera Sygnał x(t) 64

• Ponieważ x(t) nie jest sygnałem okresowym, nie może być przedstawiony w postaci szeregu Fouriera. Jednakże, metoda szeregu Fouriera może być zastosowana do przedstawienia x(t) w dowolnym przedziale: W tym celu tworzymy okresowy sygnał : o okresie pokrywający się z dla każdego t należącego do . 65

gdzie 66

Oznaczmy: otrzymamy 67

Dla 68

Wyznaczamy ze wzoru: 69

stanowią parę przekształceń Fouriera. to transformata Fourier funkcji czasu jest odwrotną transformatą Fouriera nazywana jest całką Fouriera 70

Warunki wystarczające istnienia przekształcenia Fouriera musi być bezwzględnie całkowalna W skończonym przedziale ma conajwyżej skończoną liczbę punktów ekstremalnych. W skończonym przedziale ma conajwyżej skończoną liczbę punktów nieciągłości i w każdym z tych punktów owe nieciągłości mają wartości skończone. 71

72

Przykład • Przykładowy impuls prostokątny 73

74

75

Wyjaśnienie istoty transformacji Fouriera: 76

Transformata Fouriera pojedynczego impulsu prostokątnego Wniosek: Moduł stanowi obwiednię dla 77

Moduł stanowi obwiednię dla 78

79

80

81

W konsekwencji, dyskretne widmo łąńcucha impulsów prostokątnych staje się ciągłym widmem określonym obwiednią czyli Współczynniki wykładniczego szeregu Fouriera spełniają zależność Podczas gdy transformata Fouriera poj. prostokąta wyraża się zależnością Ciągłe widmo amplitudowe, ciągłe widmo fazowe, nieokresowego sygnału x(t) 82

Niektóre właściwości przekształcenia Fouriera Liniowość Transformata sumy: Jest postaci: Skalowanie 83

Widmo amplitudowe jest parzyste a fazowe nieparzyste: Przesunięcie w dziedzinie czasu Jeśli: to Wniosek: WIDMO AMPLITUDOWE NIE ULEGA ZMIANIE natomiast fazowe jest przesunięte o 84

Przesunięcie w dziedzinie częstotliwości: Transformata pochodnej: Splot Twierdzenie o splocie 85

86

To samo graficznie: 87

Transformaty Fouriera wybranych sygnałów: impuls jednostkowy (Diraca) . impuls przesunięty: 88

Czyli lub 89

Transformata Fouriera funkcji Ponieważ: 90

Transformata Fouriera funkcji cosinus 91

Transformata Fouriera funkcji Ponieważ: 92

Transformata Fouriera funkcji sinus 93

Szybka transformacja Fouriera (FFT) uzasadnienie schematu 94

DFT dwupunktowa 95

Graficzna interpretacja 96

(e) (f) (g) (h) 97

Uwzględniając relacje (i): Przedstawiamy współczynniki DFT w funkcji w 2 oraz w 4 98

(j) (k) (l) (m) 99

(n) (o) 100

(p) (r) (s) (t) 101

(u) (v) (w) (x) 102

Graf motylkowy dla N=4 103

N=8 104

(a) (b) (c) (d) 105