Wykad 14 Elementy Rachunku Prawdopodobiestwa c d 16

Wykład 14 Elementy Rachunku Prawdopodobieństwa c. d. 16 stycznia 2002 MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa c. d. Grażyna Mirkowska, PJWSTK 1

Szkic wykładu b b Porównanie pojęć wyłączania się zdarzeń i niezależności Niezależność n zdarzeń Prawdopodobieństwo całkowite Wzór Bayesa b b 16 stycznia 2002 Zmienna losowa Rozkład prawdopodobieństwa Dystrybuanta Wartość oczekiwana MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa c. d. Grażyna Mirkowska, PJWSTK 2

Wyłączanie i niezależność zdarzeń Rozważmy doświadczenie z rzutem dwoma kostkami do gry. Rozważmy następujące zdarzenia: Card(W)=36 (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1) A = „Suma wyrzuconych oczek wynosi 5” B =„W pierwszym rzucie >2 oczka” (3, x), (4, x), (5, x) lub (6, x) dla C = „W drugim rzucie co najwyżej 3 oczka” x =1, 2, 3, 4, 5, 6 D = „Suma wyrzuconych oczek >9” (4, 6) , (5, x) dla x=5, 6 lub (6, y) dla y= 4, 5, 6 (x, 1), (x, 2), (x, 3) dla x =1, 2, 3, 4, 5, 6 P(A) = 4/36 P(B) = 4*6/36 P(C) = 3*6/36 P(D)=6/36 Zdarzenia A i D Zdarzenia A i B nie są niezależne i nie są wyłączają się i nie wyłączające. są niezależne. Zdarzenia B i C nie wyłączają się i są niezależne. 16 stycznia 2002 MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa c. d. Grażyna Mirkowska, PJWSTK 3

Niezależność zbioru zdarzeń Definicja Niech będzie dany ciąg zdarzeń losowych A 1, . . . An. Powiemy, że zdarzenia te są niezależne wttw dla dowolnego podciągu indeksów i 1, . . . , ik P(Ai 1. . . Aik) = P(Ai 1)*. . . *P(Aik) Te zdarzenia nie Przykład (Bernstein) W urnie znajduj a się 4 paski oznaczone 110, 101, To są zdarzenia są niezależne 011, 000. Niech Ai zdarzenie polegające na wybraniu paska z 1 na pozycji parami niezależne i-tej. Zakładamy, że wyciągnięcie każdego paska jest tak samo prawdopodobne. Mamy P(A 1)= P(A 2)=P(A 3)= ½ P(A 1 A 2 A 3) = 0 P(A 1)*P(A 2)*P(A 3) Ale P(A 1 A 2) = ¼ =P(A 1)*P(A 2) P(A 2 A 3) = ¼ = P(A 2)*P(A 3) P(A 1 A 3) = ¼ =P(A 1)*P(A 3) Uwaga Jest możliwe, że zdarzenia są parami niezależne ale nie są niezależne. 16 stycznia 2002 MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa c. d. Grażyna Mirkowska, PJWSTK 4

Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym Jeżeli zdarzenia losowe A 1, . . . An stanowią podział przestrzeni zdarzeń elementarnych W, oraz P(Ai)>0, to dla dowolnego zdarzenia B zachodzi równość: P(B) = P(A 1)*P(B| A 1) + P(A 2) * P(B| A 2) +. . . + P(An) * P(B| An) Prawa rachunku zbiorów Ponieważ Ai Aj = dla i j zatem (Ai B) (Aj B) = dla i j. Dowód B = (A 1 B) . . . (An B). P(B) = P((A 1 B) . . . (An B)) = P(A 1 B) +. . . + P (An B) Z definicji rawdopodobieństwa Korzystając z wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe P(Ai B)= P(Ai)*P(B| Ai), otrzymujemy wzór P(B) = P(A 1)*P(B| A 1) + P(A 2) * P(B| A 2) +. . . + P(An) * P(B| An) cbdo 16 stycznia 2002 MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa c. d. Grażyna Mirkowska, PJWSTK 5

Przykład 1 Z przypadkowo wybranej urny wybieram 1 kulę. Urna 2 Urna 1 Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyciągniemy kulę białą, jeżeli prawdopodobieństwo wybrania każdej z urn wynosi ½? Oznaczenia Niech B oznacza wybranie kuli białej. U 1 wybranie urny pierwszej i U 2 wybranie urny drugiej. Zbiór zdarzeń elementarnych polegających na wybraniu jednej kuli rozpada się na dwa podzbiory: wybrana kula pochodzi z urny U 1, wybrana kula pochodzi z urny U 2. P(B) = P(U 1) *P(B|U 1) + P(U 2) *P(B|U 2) = ½ * 3/5 + ½ * 1/5 P(B) = 2/5 16 stycznia 2002 MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa c. d. Grażyna Mirkowska, PJWSTK 6

Przykład 2 Telewizory produkują dwie fabryki, z których jedna wykonuje 60% a druga 40% całej produkcji. Pierwsza fabryka wypuszcza na rynek 90% telewizorów bez braków, a druga 80%. Jakie jest prawdopodobieństwo kupienia telewizora bez braku? Oznaczenia Fi=„telewizor wyprodukowała fabryka i-ta” A=„kupiony telewizor nie ma braku” P(F 1)=6/10 P(F 2)= 4/10 P(A|F 1)= 9/10 P(A|F 2)=8/10 16 stycznia 2002 P(F 1) P(F 2) F 1 P(A|F 1) A P(F 1)*P(A|F 1) F 2 P(A|F 2) A’ A’ A P(F 2)*P(A|F 2) Odp. : P(A) = 43/50 MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa c. d. Grażyna Mirkowska, PJWSTK 7

Wzór Bayesa Niech zdarzenia losowe A 1, . . . An stanowią podział przestrzeni zdarzeń elementarnych W, oraz P(Ai)>0 dla i =1, 2. . . n. Załóżmy, że zaszło zdarzenie B. Jakie jest wtedy prawdopodobieństwo zdarzenia Ai? P(Ai|B) = P(Ai)*P(B| Ai) -----------------------------------P(A 1)*P(B| A 1) + P(A 2) * P(B| A 2) +. . . + P(An) * P(B| An) Jeśli zdarzenie B zaistniało, to Możliwe przyczyny zajścia zdarzenia B (skutku): A 1. . . An 16 stycznia 2002 jakie jest prawdopodobieństwo, że przyczyną tego było zdarzenie Ai? Dowód MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa c. d. Grażyna Mirkowska, PJWSTK 8

Przykład ------|--II--|--III-Braki | 3% | 2% | 4% 100 sztuk Fabryka I 50 sztuk 80 sztuk Fabryka III Jakie jest prawdopodobieństwo, że zakupiona wadliwa żarówka pochodzi z fabryki i tej? Zdarzenie A= ‘wadliwa żarówka’ Zdarzenie Fi=‘żarówka z fabryki itej’ Zdarzenie elementarne polega na wybraniu 1 żarówki z 230 możliwych. P(F 1) = 100/230 P(F 2) = 50/230 P(F 3) = 80/230 16 stycznia 2002 P(A|F 1) = 3/100 P(A|F 2) = 2/100 P(A|F 3) = 4/100 oblicz P(F 1 |A)=15/36 P(F 2 |A)= 5/36 P(F 3 |A)= 16/36 MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa c. d. Grażyna Mirkowska, PJWSTK 9

Obliczamy. . . P(F 1 |A)= (10/23 * 3/100)/(10/23 * 3/100 + 5/23 * 2/100 + 8/23 * 4/100 ) P(F 2 |A)= (5/23 * 2/100)/(10/23 * 3/100 + 5/23 * 2/100 + 8/23 * 4/100 ) P(F 3 |A)= (8/23 * 4/100)/(10/23 * 3/100 + 5/23 * 2/100 + 8/23 * 4/100 ) 16 stycznia 2002 MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa c. d. Grażyna Mirkowska, PJWSTK 10

Zmienna losowa Definicja Niech W będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Każdą funkcję określoną na zbiorze W i o wartościach w zbiorze liczb rzeczywistych nazywać będziemy zmienną losową. Nazwa zmiennej Wartość zmiennej Przykład 1 Rzut jedną kostką. dla zdarzenia wi 3 2 1 Y(wi) = 1 gdy i parzyste 4 5 Y(wi) =0 gdy i nieparzyste Przykład 2 Rzut dwoma kostkami. Zdarzenia elementarne wij= (i, j) , gdzie i, j =1, 2, 3, 4, 5, 6 Y(wij) = i/j 16 stycznia 2002 6 X(wi) = i Zmienne dyskretne X(wij) = i+j Z(wij) = max(i, j) MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa c. d. Grażyna Mirkowska, PJWSTK 11

Niezależność zmiennych losowych Przykład Definicję tę można XK (data) - liczba stłuczek samochodowych w Krakowie uogólnić na dowolny XW (data) - liczba stłuczek samochodowych w Warszawie ciąg zmiennych losowych Ilość stłuczek w Warszawie nie powinna mieć wpływu na liczbę stłuczek w Krakowie. Intuicyjnie te zmienne są niezależne. Definicja Powiemy, że dwie zmienne losowe X i Y są niezależne wttw dla dowolnych przedziałów I, J w zbiorze liczb rzeczywistych P (X I i Y J) = P(X I) * P(Y J) W przypadku zmiennych dyskretnych : niezależność wyraża się warunkiem: P(X=x i Y= y) = P(X=x) * P(Y=y) dla dowolnych x, y R. 16 stycznia 2002 MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa c. d. Grażyna Mirkowska, PJWSTK 12

Przykład Zmienne X i Z nie są niezależne Rozważmy doświadczenie z rzutem dwoma kostkami do gry. Definiujemy zmienne losowe X , Y i Z : X(i, j)= i , Y(i, j) = j, Z(i, j)=i+j Zdarzenie A= „liczba oczek na kostce 1 jest nie większa niż 3” X 3 Y 5 Zdarzenie B = „liczba oczek na drugiej kostce wynosi co najmniej 5 Uwaga P(A) = 1/2 = P(X 3) P(B) =1/3 =P(Y 5) Dla dowolnych k i l mamy P(X=k i Y=l) = 1/36 = P(X=k) * P(Y=l) 16 stycznia 2002 tzn. X i Y są zmiennymi niezależnymi MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa c. d. Grażyna Mirkowska, PJWSTK 13

Rozkład prawdopodobieństwa Niech X będzie zmienną losową określoną w przestrzeni W. Definicja Funkcję f. X określoną na zbiorze R i o wartościach w zbiorze [0, 1] taką, że f. X(x) = P(X=x) dla x R nazywamy rozkładem prawdopodobieństwa zmiennej losowej X Przykład Rozważmy zmienne X, Y, Z rozpatrywane w przykładzie z rzutem dwoma kostkami do gry. f. X(x) = 16 stycznia 2002 1/6 dla x=1, 2, 3, 4, 5, 6 0 dla pozostałych x f. Z (x) = 1/36 dla x=2 i x= 12 2/36 dla x=3 i x=11 3/36 dla x=4 i x=10 4/36 dla x=5 i x=9 5/36 dla x=6 i x=8 6/36 dla x=7 0 dla pozostałych x MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa c. d. Grażyna Mirkowska, PJWSTK 14

Przykład Rzucamy n-krotnie monetą. Niech Orzeł Xi (w i-tym rzucie wypadł orzeł) = 1 Xi (w i-tym rzucie wypadła reszka) = 0 Niech Sn= X 1 + X 2 +. . . + Xn Reszka Mamy P( Xi = 1)= 1/2 Liczba orłów w n rzutach monetą k orłów w n rzutach monetą P(Sn = k) = (n nad k)/ 2 n Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych są następujące: dwumianowy f. Xi(x) = 16 stycznia 2002 1/2 dla x=0, 1 0 dla pozostałych x f. Sn(x) = (n nad x)/ 2 n dla x N 0 dla pozostałych x MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa c. d. Grażyna Mirkowska, PJWSTK 15

Dystrybuanta Definicja Niech X będzie zmienną losową określoną na dowolnej przestrzeni zdarzeń losowych W. Dystrybuantą zmiennej X nazywamy funkcję F : R [0, 1] taką, że FX(x) = P(X x) dla x R W przypadku zmiennej losowej dyskretnej mamy FX(x) = S y x f. X(y) Przykład Dystrybuanta zmiennej losowej X w rzucie jedną kostką do gry: Dystrybuanta akumuluje wartości rozkładu prawdopodobieństwa 1 5/6 4/6 3/6 1 2 3 4 5 6 7 8 16 stycznia 2002 MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa c. d. Grażyna Mirkowska, PJWSTK 16

Przykłady Przykład Zliczanie liczby orłów w n rzutach monetą. Dystrybuanta każdej ze zmiennych Xi jest określona: FX(y) = 0 gdy y <0 FX (y) = 1/2 gdy 0 y <1 FX (y)=1 dla y 1 Dystrybuanta zmiennej S ma postać F(y) = S x y (n nad x) / 2 n Zmienna jednostajna Przykład Wybieramy losowo liczbę z przedziału [0, 1). W = [0, 1). Niech U będzie zmienną losową taką że dla x [0, 1), U(x)=x. P( U [a, b))= b-a b>a i b, a [0, 1) Dystrybuanta FU(y) = P(U y) To nie jest dyskretna zmienna losowa 16 stycznia 2002 FU(y) = 0 gdy y<0 y gdy 0 y<1 1 gdy y 1 MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa c. d. Grażyna Mirkowska, PJWSTK 17

Wartość oczekiwana Definicja W - skończona przestrzeń zdarzeń elementarnych, X zmienna losowa określona w W. Wartością oczekiwaną zmiennej X nazywamy liczbę E(X) = S w W X(w)* P({w}). Jeśli wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne, to P({w}) = 1/card(W) czyli Przykład Rzucamy jedną kostką do gry. Liczba wyrzuconych oczek X jest zmienną losową o wartościach 1, 2, 3, 4, 5, 6 i ma rozkład jednostajny P(X=i)=1/6. Zatem E(X)= (1+2+. . . 6)/6 = 3. 5 16 stycznia 2002 MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa c. d. Grażyna Mirkowska, PJWSTK 18

Przykład Niech prawdopodobieństwo wyboru obu wartości = 1/2 (np rzucamy monetą) Rozważmy program P : x: = 0; p : = false; while p = false do x. = x+1; p : = random({true, false}) od Niech X oznacza zmienną losową taką, że X = i, jeśli program P zatrzymuje się po i-krokach (tzn. w której iteracji po raz pierwszy wypadło ‘true’ ) Ile wynosi oczekiwany średni czas oczekiwania na zatrzymanie się tego programu? Ponieważ P(X=k)= 1/2 k Zatem 16 stycznia 2002 E(X) = S k N k/ 2 k =2 MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa c. d. Grażyna Mirkowska, PJWSTK 19